電位の地形を「転がる」試験電荷（ライブ）
正の試験電荷が等電位線に直交して電位の高い所から低い所へ転がります（E=−∇V）。
理論・主要公式
$V = k\sum_i \dfrac{q_i}{r_i}$
$k = 9\times10^9\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$
電場と電位の関係：
$\mathbf{E} = -\nabla V$
$E_x = -\dfrac{\partial V}{\partial x},\quad E_y = -\dfrac{\partial V}{\partial y}$
赤: V > 0（正）/ 青: V < 0（負）
💬 電場と電位 — 「見えない力」の地形図を読む
🙋電位ってなんですか？電場は力の向きって習ったんですが、電位は何の「位」なんでしょう？
🎓電位は「高さ」のイメージが一番わかりやすい。山の地形図で標高が高いほど「位置エネルギーが高い」ように、電位が高い場所は正電荷が動きにくい（=そこに持ってくるのに仕事が必要）。電場は電位の「傾き」で、山が急なほど勾配（傾斜）が大きい=電場が強いということだ。カラーマップの赤い場所が「山頂」、青い場所が「谷底」と思えばいい。
🙋等電位線って等高線と同じ感じですよね？でも電場ベクトルが等電位線に必ず直交するのはなぜですか？
🎓電場は $\mathbf{E} = -\nabla V$、つまり電位の勾配の逆向きだ。そして勾配ベクトルは等高線（等電位線）に必ず垂直になる——これは微分幾何学の基本的な性質だ。山を歩くとき、最も急な下り斜面は等高線に垂直な方向になるよね。それと同じで、電気力線（電場の方向）は等電位線と常に直交する。
🙋双極子の電位分布って対称じゃないですよね？正電荷側が赤、負電荷側が青になっている。
🎓そうだ。双極子は +q と -q が近くにあって、+q の近くでは V > 0（赤）、-q の近くでは V < 0（青）、2つを結ぶ直線の垂直二等分面では V = 0 になる。この V = 0 の面が等電位面の中心にある。遠くに離れると電位は 1/r より速く落ちる——単極子なら 1/r、双極子なら 1/r² で落ちるのがポイントだよ。
🙋同符号（+q と +q）の場合は、中央に特別な点があるように見えますが？
🎓その「特別な点」は電場がゼロになる点——「鞍点（サドルポイント）」と呼ばれる。2つの正電荷の中間点では互いのクーロン力がちょうど打ち消し合い、電場 $\mathbf{E} = 0$ になる。でも電位はゼロじゃない（むしろその点でも正）。電位がゼロでなくとも電場がゼロになれる——これは「電位の勾配がゼロ = 電位が平坦」という意味で、ちょうど山の頂上や鞍部（山と山の間の低いところ）に対応する。
🎓電位計算はコンデンサ設計・静電気シールド・MRI装置の磁場設計など幅広い。CAE（計算機援用工学）では有限要素法（FEM）でポアソン方程式 $\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0$ を解いて電位分布を求める。電場の「集中」が起きると絶縁破壊（放電）の危険があるから、設計時に電場分布を確認するのは電気設計の基本だ。例えばコンデンサの端部（エッジ）で電場が急に高くなる「端部効果」も、このツールで2電荷モデルを使うと直感的に理解できる。
よくある質問
電位 $V$ はスカラー量（単位: V）で、無限遠から単位正電荷を運ぶのに必要な仕事量です。電場 $\mathbf{E}$ はベクトル量（単位: V/m）で、正電荷が受ける力の向きと強さを表します。両者の関係は $\mathbf{E} = -\nabla V$ で、電位が高い方から低い方へ電場が向きます。スカラーの電位を計算してからベクトルの電場を導出する手順が実用的です。
電場は電位の勾配（$\mathbf{E} = -\nabla V$）です。数学的に、勾配ベクトルは等値線（等電位線）に垂直になります。等電位線に沿って動いても電位は変化しないため、その方向の電位変化率はゼロ、つまり電場成分がゼロ——これは電場が等電位線に垂直であることと同義です。実験的にも確かめられており、電磁気学の最も根本的な性質の一つです。
単極子（点電荷1つ）では $V \propto 1/r$（距離の逆数）です。双極子（+q と -q の組）では遠方での電位は $V \propto 1/r^2$（距離の二乗の逆数）です。これは正負の寄与が部分的にキャンセルするためです。4重極子では $1/r^3$、一般に $2^n$ 極子は $1/r^{n+1}$ となります。距離が増えるにつれて双極子の影響は単極子より急速に減衰します。
2つの正電荷 $q_1$ と $q_2$ が距離 $d$ 離れている場合、電場がゼロになる点は両電荷を結ぶ直線上にあります。位置は $x = d \cdot \sqrt{q_1} / (\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2})$（$q_1$ 側からの距離）です。等量の場合は中点になります。この点は「平衡点」とも呼ばれ、試験電荷を置いても力を受けない位置ですが、不安定平衡（わずかにずれると大きな力を受ける）です。
点電荷モデルは真空中の解析解が求められますが、現実の設計では複雑な形状の電極・誘電体・導体が混在します。このような場合、電位がポアソン方程式 $\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon$ に従うことを利用し、有限要素法（FEM）で数値的に解きます。マルチフィジックスCAEやCAEソフト Maxwellなどのツールが代表的で、形状に応じたメッシュを生成して計算します。