有限要素法（FEM）入門ガイド

有限要素法とは

有限要素法（Finite Element Method：FEM）は、複雑な形状や荷重条件を持つ構造物の変形・応力・温度分布などを数値的に解析する手法です。1960年代にNASAの宇宙開発プログラムで実用化され、現在は機械・土木・電磁気・流体など工学全般で不可欠なツールになっています。

FEMの基本的な考え方は「連続体を有限個の要素（エレメント）に分割し、各要素内では変位を多項式で近似する」というものです。これにより、解析的に解けない複雑な問題を連立方程式に変換して数値的に解くことができます。

FEMの基本手順

1. モデル化とメッシュ分割

解析対象をCADデータや手作業で形状モデル化し、三角形・四辺形（2D）または四面体・六面体（3D）の要素に分割します。応力集中部や境界付近はメッシュを細かく、単純な部分は粗くする「適応メッシュ」が効果的です。

2. 要素剛性行列の作成

各要素について、変位とひずみの関係（ひずみ-変位行列 [B]）と材料の応力-ひずみ関係（弾性係数行列 [D]）から、要素剛性行列 [k] = ∫[B]ᵀ[D][B]dV を計算します。

3. 全体剛性行列の組み立て

各要素の剛性行列を「アセンブル」して全体剛性行列 [K] を作ります。節点番号に従って各要素の寄与を加算していくプロセスです。

4. 境界条件の設定

固定端（変位ゼロ）や荷重（力・圧力）などの境界条件を設定します。これにより不定となっている剛性方程式 [K]{u} = {F} が解けるようになります。

5. 連立方程式を解く

ガウス消去法・LU分解・共役勾配法などで {u} = [K]⁻¹{F} を解き、節点変位を求めます。変位からひずみ・応力を計算して結果を可視化します。

FEM要素の種類

無料でFEMを体験できるツール

以下のツールで、ブラウザ上で実際にFEMの概念を体験できます：

FEM解析の精度を上げるポイント

• メッシュ収束確認：メッシュを細かくしても結果がほとんど変わらない状態が「収束」。2〜3段階メッシュを変えて確認する。
• 要素次数の選択：線形要素よりも二次要素（節点数が多い）の方が精度が高いが計算コストも高い。
• 材料非線形：降伏後の塑性変形を扱う場合は弾塑性解析が必要。小変形仮定が崩れる場合は幾何学的非線形も考慮。
• 境界条件の妥当性：実機の拘束状態を正確にモデル化する。完全固定と単純支持で結果が大きく異なる。

FEM vs 他の数値解析手法