試料幅は w = 10 mm 固定、電気素量 q = 1.602e-19 C。キャリア密度は対数スケールのスライダーで、ホール電圧の大きさのみを扱います。
直方体の試料に縦方向の電流 I、紙面外向きの磁場 B、横方向に発生するホール電圧 V_H を表示
横軸＝log₁₀(n)、縦軸＝|V_H|（対数）／V_H ∝ 1/n の直線／黄点＝現在の運転点
定常状態のホールバーでは、キャリアに働くローレンツ力と試料端に蓄積した電荷による電界が釣り合います。これより、ホール電圧 $V_H$ と電流 $I$、磁場 $B$、キャリア密度 $n$、厚さ $t$ の関係が導けます。
ホール電圧：
$$V_H = \frac{I\,B}{n\,q\,t}$$
ホール係数とホール電界：
$$R_H = \frac{1}{n\,q},\qquad E_H = \frac{V_H}{w}$$
電流密度：
$$j = \frac{I}{w\,t}$$
$q = 1.602\times10^{-19}$ C は電気素量、$w$ は試料幅、$t$ は試料厚さです。本ツールでは大きさのみを扱い、$R_H$ の符号によるキャリアの種類判定は考慮しません。
ホール効果 シミュレーターとは
🙋
半導体のキャリア密度ってどうやって測るんですか？電子顕微鏡で数えるわけじゃないですよね。
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いい質問だね。実はホール効果という現象を使うのが標準なんだ。試料に電流 I を流して垂直に磁場 B をかけると、電流と磁場の両方に直交する方向に電位差 V_H が出る。これが $V_H = IB/(nqt)$ と書けるから、V_H を測って I, B, t がわかっていれば n を一発で求められる。本ツールでスライダーを動かして、$V_H$ と $n$ の関係が反比例（両対数で傾き−1）になることを確認してみて。
🙋
なんで電流と磁場に直交する方向に電圧が出るんですか？
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動いている電荷にはローレンツ力 $F = qv \times B$ が働く。電流方向に動くキャリアは、$v$ と $B$ の外積方向に押されて試料の片側に蓄積する。片側に電荷がたまると静電気的な反発電界が生まれて、その電界がローレンツ力と釣り合ったところで定常状態になる。この釣り合い電界に試料幅 $w$ をかけたのがホール電圧だ。
🙋
既定値で V_H ≈ 3 mV って出ました。これって測れる大きさなんですか？
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十分測れる大きさだ。実験室ではナノボルト級のロックインアンプを使うから、μV や nV でも問題ない。逆に金属（log₁₀ n = 28〜29）にしてみると V_H が μV 以下に落ちて測定が難しくなる。半導体（log₁₀ n = 22〜25）で V_H が大きく出るからこそ、ホール効果による特性評価が産業で標準になっているわけだ。
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$R_H = 1/(nq)$ は試料の幾何形状に依存しない物質固有の量で、論文ではこの値で半導体を比較する。さらに $R_H$ の符号を見ると電子伝導（負）か正孔伝導（正）かが判別できる。本ツールは大きさだけ扱うけど、実機ではこの符号が n型・p型半導体の同定に直結する重要情報だよ。
よくある質問
なぜ試料厚さ t は薄いほど V_H が大きくなるのですか？
同じ電流 I を厚い試料に流すと電流密度 j = I/(wt) が下がります。ホール電圧は実質的に「単位面積あたりに流れるキャリア×磁場」で決まるため、t が薄いほど j が大きくなり V_H も大きくなります。本ツールで t を 100 μm から 1 μm にすると V_H が 100 倍になることを確認できます。市販のホール素子は数 μm の極薄チップを使うことで、産業用センサとして十分な出力電圧を得ています。
電子と正孔ではホール電圧の符号は逆になりますか？
はい、符号が逆になります。電子（負電荷）は電流と逆向きに動き、正孔（正電荷）は電流方向に動くため、ローレンツ力 $F = qv\times B$ が両者に与える方向が同じになり、結果として同じ側に電荷が蓄積します。しかし符号が逆なので、検出される電位差の極性が反転します。実験では V_H の符号を測って n型半導体か p型半導体かを判別します。本ツールは大きさのみを扱うため、極性表示は行いません。
金属より半導体のほうが V_H が大きいのはなぜですか？
金属のキャリア密度は約 $10^{28}$〜$10^{29}$ /m³ と非常に高く、半導体（ドープレベルで $10^{20}$〜$10^{25}$ /m³）に比べて 4〜9 桁大きいためです。$V_H \propto 1/n$ なので、キャリアが多い金属では同じ条件で V_H が桁違いに小さくなります。本ツールでスライダーを log₁₀(n) = 28〜29 に設定して、V_H が μV〜nV まで落ちるのを確認してみてください。実用的なホールセンサが InSb や GaAs などの低キャリア密度半導体を使う理由がよくわかります。
移動度 μ_H はこのツールで求められますか？
直接は表示していませんが、本ツールの $V_H$ と別途測定したシート抵抗 $R_s$ から $\mu_H = R_H/\rho$（$\rho$ は抵抗率）として求められます。これがホール移動度と呼ばれる量で、半導体の品質指標として最も重要なパラメータの一つです。実際のホール測定では van der Pauw 法と組み合わせて、同じ試料からシート抵抗とホール電圧を測り、$n$ と $\mu_H$ を同時に決定するのが標準的なプロトコルです。
実世界での応用
半導体プロセスのキャリア濃度評価： イオン注入や拡散ドーピングを行った後、目的のキャリア濃度が達成されているかをホール測定で確認します。van der Pauw 法と組み合わせれば、厚さ数 μm のシリコンウェハ上のシート抵抗とホール電圧から $n$ と $\mu_H$ を同時に決定でき、デバイスの電気特性予測に必須のデータが得られます。半導体産業のクリーンルームでは、各プロセス工程の後にホール測定装置が組み込まれていることがほとんどです。
自動車用ホールセンサ： クランクシャフトやカムシャフトの回転位置を非接触で検出するセンサに、低キャリア密度の InSb や InAs を使ったホール素子が組み込まれています。GMR や TMR センサが普及した今でも、温度安定性と耐ノイズ性で勝るホール素子が広く採用されており、1台あたり数十個のホールセンサを搭載するハイブリッド車も珍しくありません。ABS・電動パワステ・電池電流モニタなど、自動車エレクトロニクスの基幹素子です。
磁気センサと電流計測： クランプ式電流計は、電流が作る磁場をホール素子で測ることで配線を切らずに大電流（〜1000 A）を測れます。同じ原理がスマートフォンのデジタルコンパスやノートPCの開閉検出スイッチにも使われています。固体素子なので機械的な摩耗がなく、寿命が事実上無限なのが他のセンサに対する強みです。
量子ホール効果と国際単位系： 強磁場・極低温下では V_H が量子化され、$R_H = h/(ne^2)$ の整数倍となる量子ホール効果が現れます。この値は試料に依存しない普遍定数で、2019年の国際単位系（SI）改訂ではキログラムの定義に使われるプランク定数 $h$ の高精度測定にも応用されています。本ツールが扱う古典領域のホール効果は、その量子版の入口でもあります。
よくある誤解と注意点
最も多い誤解は、「ホール電圧は試料を厚くしても変わらない」と思い込む ことです。実際には $V_H = IB/(nqt)$ なので厚さ $t$ に反比例し、薄いほど V_H が大きくなります。本ツールで t を 100 μm から 5000 μm に増やすと V_H が 50 倍小さくなることが確認できます。市販のホール素子が数 μm まで極薄に作られているのはこのためで、SNを稼ぐ最も効果的な設計パラメータの一つです。
次に多いのが、「磁場 B を 0 にしてもバイアスでホール電圧が残る」現象を異常と捉える ことです。実機では電流端子と電圧端子のアライメントが完全でないため、B=0 でも有限のオフセット電圧（ミスアライメント電圧）が出ます。これは試料の縦抵抗成分が漏れ込んだもので、磁場の極性を反転して測定して差を取る「対称化」処理で除去します。本ツールは理想化されたモデルなので B=0 で V_H=0 になりますが、実機との比較ではこのオフセットを意識する必要があります。
最後に、$V_H$ の符号からキャリア種別を判断できる、と誤って覚える 注意点です。確かに $R_H$ の符号はキャリアの符号と一致しますが、これは「磁場と電流の幾何配置を固定したとき」の話で、回路の引き出し線の極性や磁場の方向が違うと符号反転が二重にかかって混乱します。実機では基準試料（n型 Ge など）で極性のキャリブレーションを取ってから本測定に入るのが鉄則です。本ツールは大きさのみを表示しています。