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対話型シミュレーター

質量拡散・フィックの法則シミュレーター

半無限体と有限板の濃度分布を比較。一様・手描き初期分布、曲線保存、条件を再現できる共有URLに対応。

このツールで分かること

一定の拡散係数Dで、表面から内部へ濃度がどう変化するかを比較します。表面はC/Cs=1に固定し、半無限体または裏面流束ゼロの有限板を選択。結果は濃度比と正規化フラックスであり、材料の安全性判定ではありません。

検算できる2つの実例
パラメータ設定
拡散係数の参考設定（材料保証値ではありません）
拡散係数 D [m²/s]
10⁻¹⁴ ～ 10⁻⁸ m²/s（対数スケール）
観察長さ／有限板厚 L [mm]
mm
境界モデル（表面 C/Cs=1）
初期濃度比 C₀/C_s
表示時刻数
最大時間 t_max [h]
h
初期濃度プロファイル
チャートをクリックして初期濃度分布の点を設定できます。クリックした位置に濃度ポイントが追加され、線形補間されます。
再生コントロール
0.00 s
濃度分布スナップショット

計算結果
—
拡散長 √(Dt) [μm]
—
濃度増分10%深さ [μm]
—
平均濃度 C̄/Cs
—
正規化表面フラックス J₀/Cs [m/s]
—
平均濃度増分50%時間 [h]
差分
理論・主要公式

一定Dの拡散方程式

$$\frac{\partial c}{\partial t}=D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}$$

一様初期濃度 q=C₀/Cs の半無限体解（t>0）

$$c(\xi,t)=q+(1-q)\,\mathrm{erfc}\!\left(\frac{\xi}{2\sqrt{Fo}}\right)$$

有限板解：λₙ=(n+1/2)π、Fo=Dt/L²（t>0）

$$c(\xi,t)=q+(1-q)\left[1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2\sin(\lambda_n\xi)}{\lambda_n}e^{-\lambda_n^2Fo}\right]$$

有限板の平均濃度

$$\bar c=q+(1-q)\left[1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{\lambda_n^2}e^{-\lambda_n^2Fo}\right]$$

一様初期分布の正規化表面フラックス

$$\left.\frac{J_0}{C_s}\right|_{\rm semi}=(1-q)\sqrt{\frac{D}{\pi t}},\qquad \left.\frac{J_0}{C_s}\right|_{\rm finite}=\frac{2D(1-q)}{L}\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\lambda_n^2Fo}$$

これらの閉形式は一様な初期分布用です。手描き分布には同じ境界条件のGaussian核／固有関数による分布の発展を用い、グラフ・平均・流束を同じ初期分布から求めます。表示アニメーションのコマ数は、数値解の安定性を決める時間刻みではありません。

フィックの法則で、何を比較できる？

🙋
同じ10時間でも、拡散係数を変えるとどれくらい違いますか？
🎓
下の実例AはD=10⁻¹¹ m²/s、10時間で拡散長が600 μmになる条件です。Dを4倍にすると同じ時間の拡散長は2倍になります。まず実例を適用し、曲線を保存してからDを変えると、元の条件と比較できます。
🙋
平均濃度増分50%時間が160.60時間なのに、表示は10時間までなのはなぜ？
🎓
表示の最大時間はグラフの範囲だけです。50%時間は、0〜Lの平均濃度が初期平均と表面濃度の中間へ最初に達する時刻を別に求めています。中心点が50%になる時間ではありません。
🙋
有限板の裏側から物質が跳ね返るのですか？
🎓
波の反射ではありません。この有限板モデルは、x=Lで外へ物質が流れない条件です。両面を同じ条件で処理する対称な板の半分を考える場合は、Lを全厚の半分として中心面の対称条件を表せます。

座標・初期条件・境界条件

横軸はξ=x/L、縦軸はc=C/Csです。x=0が濃度を固定する表面で、正の流束は内部へ向かう流入を表します。Dは空間・時間に依存しない一定値、移流や反応は含めません。

半無限体はx≥0へ続く領域のうち0〜Lを表示・平均します。このモードのLは物理的な裏面ではなく観察長さです。有限板は0≤x≤L、表面c(0,t)=1、裏面∂c/∂x(L,t)=0です。裏面を別の固定濃度にする機能や、一定流束を与える機能はありません。

結果の読み方

拡散長 √(Dt)
拡散の長さスケールです。特定の濃度閾値や硬化深さとは同じではありません。
濃度増分10%深さ
c(x,t)−c初期(x)≥0.1[1−c初期(x)]を満たす、表面からつながった領域の最初の終端です。手描き分布では離れた内部領域を数えません。≥Lは観察範囲の端まで条件を満たした意味で、Lより先の深さを測った値ではありません。
平均濃度 C̄/Cs
0〜Lの空間平均です。半無限体でも領域全体ではなく、この観察範囲の平均を表示します。
正規化フラックス J₀/Cs [m/s]
濃度比しか入力しないため、絶対流束ではありません。Csをmol/m³で別途与えれば、この値を掛けてmol/(m²·s)へ換算できます。質量濃度を使う場合はその濃度単位に対応する流束になります。
平均濃度増分50%時間
初期平均c̄₀から1までの増加分の半分、(1+c̄₀)/2へ最初に達する時間です。手描きの半無限体では観察範囲からの再分配により平均が単調とは限らないため、後の到達時刻を代用しません。

手描き分布・時刻0・数値判定の限界

グラフを2点以上クリックすると、一様初期濃度に代わって折れ線状の初期分布を使います。端から最初・最後の点までは端点値を一定で延長し、半無限体ではx>Lも最後の値を維持します。初期濃度スライダーを動かすか「初期分布をクリア」で一様分布へ戻ります。共有URLは描いた点と境界モデルを復元します。保存した比較曲線はこのタブ内のみで、共有URLには含みません。

時刻0では初期分布を表示します。初期の表面濃度が1と異なる場合、一定表面濃度を課した直後の理想的な流束は発散し「特異（t=0+）」と表示します。初期表面が1と一致する場合は、その分布の表面勾配に対応する流束です。深さは時刻0で0を表示する慣例です。

全域c=1の初期分布では濃度変化はなく、50%時間は0、正の時刻の深さは≥Lとなります。ほぼ飽和した分布、閾値への接触、設定した探索精度・評価回数では確定できない場合は「数値判定不可」と表示します。小さな数値や後の根を確定値として代用しません。個別例の照合は全ての手描き分布の誤差保証ではありません。

よくある質問

拡散する物質、母材、相、温度、濃度範囲が一致する文献や測定値を使ってください。参考設定は数値の変化を見るための例で、特定材料の保証値ではありません。温度依存は一般にD=D₀ exp(−Q/RT)で表されますが、このページは温度やD₀、QからDを計算しません。
選べません。表面c=1に固定し、半無限体または裏面流束ゼロの有限板を比較します。別の境界条件が必要な問題へ、この結果をそのまま流用しないでください。
このツールは解析解・分布の積分／級数で各時刻を評価し、時間積分する有限差分法ではありません。自動時間刻み調整機能はありません。Lが小さくなると特性時間L²/Dが短くなるため、グラフの最大時間を小さくして初期の変化を観察してください。
そのまま使えません。表示値は局所の初期濃度からの増分に対する、このページの10%基準です。実際の硬化深さや合否には、材料・熱処理・組織・硬さ等に対応する別の判定基準が必要です。
表示するのはJ₀/Csなのでm/sです。絶対表面濃度Csをmol/m³で別途定めた場合にだけ、表示値×Csをmol/(m²·s)の流束として換算できます。
どちらでもありません。0〜Lの平均濃度が初期平均から表面濃度1へ向かう増加分の半分に最初に達する時刻です。最大表示時間を変えても同じ物理条件の50%時間は変わりません。
2点以上で折れ線状の初期分布を有効にし、その分布から濃度曲線・平均・流束・指標を計算します。共有URLは描いた点と入力条件を復元します。比較用に保存した曲線はタブ内のみで、共有URLには含みません。
初期表面と固定表面濃度が不一致なら、理想的なt=0+流束の特異性を明示しています。「数値判定不可」は閾値探索が設定精度等で確定できない状態で、確定した深さや時刻ではありません。条件・分布を見直し、必要なら別の解析と照合してください。
判定できません。このモデルは濃度拡散の比較用で、応力、材料組織、トラップ、損傷や破壊判定を含みません。濃度比・深さ・50%時間だけで安全性や寿命を結論づけないでください。

入力から比較までの使い方

  1. まず境界モデルを選び、使用条件に合うDをm²/sで設定します。D欄はlog₁₀(D)の数値です。
  2. Lは半無限体では観察長さ、有限板では表面から裏面までの長さです。一様初期濃度C₀/Csを設定するか、グラフへ2点以上追加します。
  3. 最大時間と表示時刻数を選びます。通常表示の結果カードは最大時間の結果、再生・1コマ進める表示はその表示時刻の結果です。
  4. 曲線を保存して条件を変えると比較できます。共有は入力条件と手描き分布を復元します。比較曲線はタブ内のみです。

検算できる2つの実例

材料の設計値ではなく、同じ境界条件を再現して検算するための設定例です。ボタンは一様初期分布と指定条件を設定します。既存の比較曲線は残ります。

実例A：半無限体の観察

D=10⁻¹¹ m²/s、L=5 mm、C₀/Cs=0、10 h。拡散長600.0 μm、10%増分深さ1395.7 μm、平均濃度0.135、J₀/Cs≈9.40×10⁻⁹ m/s、50%時間160.60 h。表示範囲より後の50%時間も別に求めます。

実例B：裏面流束ゼロの有限板

D=10⁻¹¹ m²/s、L=1 mm、C₀/Cs=0.2、10 h。拡散長600.0 μm、10%増分深さ≥1000.0 μm、平均濃度0.733、J₀/Cs≈6.59×10⁻⁹ m/s、50%時間5.46 h。50%の目標平均は0.6であり、中心点の0.5ではありません。

一様半無限体のerfc解と、有限板の混合境界の正弦級数を独立に評価して照合した値です。表示の丸めを含みます。

適用範囲と実務上の注意