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Diffusion Simulator

质量扩散与菲克定律仿真器

比较半无限域与有限平板的浓度分布。支持手绘初始分布、曲线保存及可复现输入条件的共享链接。

本工具可以比较什么

在扩散系数D恒定时，比较表面向内部的浓度变化。表面固定为C/Cs=1，可选择半无限域或背面通量为零的有限平板。结果是浓度比和归一化通量，不是材料安全性判定。

两个可复现的验算示例
参数设置
扩散系数参考设置（非材料保证值）
扩散系数 D [m²/s]
10⁻¹⁴ ～ 10⁻⁸ m²/s（对数刻度）
观察长度／有限板厚 L [mm]
mm
边界模型（表面 C/Cs=1）
初期浓度比 C₀/C_s
表示小时刻数
最大时间 t_max [h]
h
初期浓度曲线
点击图表设置初始浓度分布点。在点击位置添加浓度点并进行线性插值。
播放控制
0.00 s
浓度分布快照

计算结果
—
扩散長 √(Dt) [μm]
—
浓度增量10%深度 [μm]
—
平均浓度 C̄/Cs
—
归一化表面通量 J₀/Cs [m/s]
—
平均浓度增量50%时间 [h]
Diff
理论与主要公式

D恒定时的扩散方程

$$\frac{\partial c}{\partial t}=D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}$$

均匀初始浓度q=C₀/Cs的半无限域解（t>0）

$$c(\xi,t)=q+(1-q)\,\mathrm{erfc}\!\left(\frac{\xi}{2\sqrt{Fo}}\right)$$

有限平板解：λₙ=(n+1/2)π，Fo=Dt/L²（t>0）

$$c(\xi,t)=q+(1-q)\left[1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2\sin(\lambda_n\xi)}{\lambda_n}e^{-\lambda_n^2Fo}\right]$$

有限平板的平均浓度

$$\bar c=q+(1-q)\left[1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{\lambda_n^2}e^{-\lambda_n^2Fo}\right]$$

均匀初始分布的归一化表面通量

$$\left.\frac{J_0}{C_s}\right|_{\rm semi}=(1-q)\sqrt{\frac{D}{\pi t}},\qquad \left.\frac{J_0}{C_s}\right|_{\rm finite}=\frac{2D(1-q)}{L}\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\lambda_n^2Fo}$$

这些闭式表达适用于均匀初始浓度。手绘分布使用相同边界条件下的高斯核／特征函数进行演化，曲线、平均浓度和通量均来自同一初始分布。动画帧数不是决定数值解稳定性的时间步长。

如何用菲克定律比较扩散过程？

🙋
学生：同样是10小时，改变扩散系数会有多大影响？
🎓
教授：示例A使用D=10⁻¹¹ m²/s，10小时的扩散长度是600 μm。将D增大到4倍，同一时刻的扩散长度变为2倍。先加载示例并保存曲线，再改变D，就能直接比较新旧条件。
🙋
学生：图只显示到10小时，为什么50%时间却是160.60小时？
🎓
教授：最大显示时间只决定图的时间范围。50%时间另行计算，指0〜L的平均浓度首次达到初始平均与表面浓度之间的中点，并不是中心点达到50%的时间。
🙋
学生：有限平板的背面会把物质反弹回来吗？
🎓
教授：这是扩散，不是波的反射。本模型在x=L不允许物质向外流出。对于两面条件相同、初始分布对称的板，可以取半个区域，以全厚的一半作为L，用中心面的对称条件表示背面零通量。

坐标、初始条件与边界条件

横轴为ξ=x/L，纵轴为c=C/Cs。x=0是浓度固定的表面；正表面通量表示向内部流入。D在空间和时间上均为常数，不包含对流或反应。

半无限域沿x≥0延伸，但图和平均浓度只统计0〜L。在此模式下，L是观察长度，不是实际背面。有限平板为0≤x≤L，表面c(0,t)=1，背面∂c/∂x(L,t)=0。不提供背面其他固定浓度或指定恒定通量的选项。

如何解读计算结果

扩散长度√(Dt)
扩散的特征长度，不等同于某一浓度阈值深度或硬化层深度。
浓度增量10%深度
满足c(x,t)−c初始(x)≥0.1[1−c初始(x)]、且从表面连续相连的区域的第一个终点。不计入手绘分布中与表面断开的内部区域。≥L表示条件满足到观察范围的末端，不是测得了L以外的深度。
平均浓度C̄/Cs
0〜L内的空间平均。即使采用半无限域，也不是整个无限区域的平均。
归一化通量J₀/Cs [m/s]
只输入浓度比，因此不是绝对通量。若另行给出单位为mol/m³的Cs，乘以该值可得到mol/(m²·s)。若使用质量浓度，则得到相应质量通量单位。
平均浓度增量50%时间
平均浓度从初始平均c̄₀向1增加，首次达到(1+c̄₀)/2的时刻。手绘半无限域分布可能向观察范围外重新分配物质，平均值不一定单调；不能用后一次穿越替代首次到达。

手绘分布、时刻零与数值限制

在图上至少点击2点，可用分段线性初始分布替代均匀初始浓度。第一点和最后一点的值分别向区间端点作恒定延伸；半无限域中，x>L也沿用最后一点的值。改变初始浓度滑块或清除初始分布会恢复均匀分布。共享链接恢复手绘点和边界模型。保存的比较曲线只保留在当前标签页，不包含在共享链接内。

时刻零显示初始分布。若初始表面值不等于1，随后施加固定表面浓度会产生理想t=0+通量的奇异性，并显示“奇异（t=0+）”。若初始表面已等于1，则通量由其表面梯度决定。时刻零的深度按约定显示为0。

若初始分布处处为1，浓度不会变化：50%时间为0，正时刻的深度显示为≥L。接近饱和、与阈值相切，或在设定精度／评估次数内无法确定的情况显示“数值无法判定”。不将人为小值或较后的根当作确定答案。示例验算不代表所有手绘分布的误差都得到保证。

常见问题

请使用与扩散物质、母材、相、温度和浓度范围一致的文献或测量数据。参考设置只用于观察数值变化，不是特定材料的保证值。温度关系常写为D=D₀ exp(−Q/RT)，但本页不根据温度、D₀和Q计算D。
不可以。表面固定为c=1，可选择半无限域或背面通量为零的有限平板。需要其他边界条件的问题，不能直接使用这里的结果。
本工具通过解析解及分布的积分／级数评估各时刻，不是逐步时间积分的有限差分求解器，也没有自动时间步长调整功能。L减小时，L²/D变短；请缩小显示时间范围以观察更快的初期变化。
不能直接等同。这里采用各位置相对于初始浓度的10%增量标准。实际硬化深度或合格判据需要材料、热处理、组织、硬度等独立信息。
显示的是J₀/Cs，单位为m/s。只有另行给出单位为mol/m³的绝对表面浓度Cs，才能用显示值乘以Cs换算为mol/(m²·s)。
都不是。它指0〜L的平均浓度从初始平均向表面值1增加，首次完成一半增量的时刻。物理条件不变时，改变最大显示时间不会改变该结果。
至少2点会启用分段线性初始分布，并用于浓度曲线、平均值、通量和指标计算。共享链接恢复这些点及输入条件。保存的比较曲线只属于当前标签页，不包含在共享链接中。
初始表面浓度与固定值不一致时，理想t=0+通量存在奇异性，这里明确显示该性质。“数值无法判定”表示阈值搜索未在设定精度或限制内确定，并非确定的深度或时间。请检查条件和分布，必要时与其他分析方法对照。
不能。它用于比较浓度扩散，不包含应力、组织、陷阱、损伤或断裂判据。不能仅凭浓度比、深度或50%时间得出安全性或服役寿命结论。

从输入到比较的操作步骤

  1. 先选择边界模型，再设置符合使用条件的D，单位为m²/s。D数值栏填写log₁₀(D)。
  2. 半无限域的L是观察长度；有限平板的L是表面到背面的距离。设置均匀C₀/Cs，或在图上添加至少2点。
  3. 选择最大时间和显示时刻数。概览结果卡使用最大时间；播放或单帧视图使用当前显示时刻。
  4. 先保存曲线，再改变条件进行比较。共享恢复输入和手绘分布，比较曲线仅保留在本标签页。

两个可复现的验算示例

这些是复现边界条件的验算输入，不是材料设计值。按钮设置均匀初始分布和指定参数；已有比较曲线会保留。

示例A：半无限域的观察

D=10⁻¹¹ m²/s，L=5 mm，C₀/Cs=0，t=10 h。扩散长度600.0 μm；10%增量深度1395.7 μm；平均浓度0.135；J₀/Cs≈9.40×10⁻⁹ m/s；50%时间160.60 h。显示范围以后的50%时间也会单独求解。

示例B：背面通量为零的有限平板

D=10⁻¹¹ m²/s，L=1 mm，C₀/Cs=0.2，t=10 h。扩散长度600.0 μm；10%增量深度≥1000.0 μm；平均浓度0.733；J₀/Cs≈6.59×10⁻⁹ m/s；50%时间5.46 h。目标平均为0.6，不是中心点浓度0.5。

以上数值通过独立评估均匀半无限域的erfc解及有限平板混合边界的正弦级数进行对照，包含显示舍入。

适用范围与工程注意事项