パラメータ設定
固有角周波数 ω₀ [rad/s]1.00
減衰比 ζ0.050
非線形係数 ε+0.30
励振力振幅 F0.20
周波数比 Ω/ω₀ 範囲0.1–2.5
Duffing方程式：
$\ddot{x} + 2\zeta\omega_0\dot{x} + \omega_0^2 x + \varepsilon x^3 = F\cos(\Omega t)$
$\ddot{x} + 2\zeta\omega_0\dot{x} + \omega_0^2 x + \varepsilon x^3 = F\cos(\Omega t)$
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最大振幅 X_max
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ピーク周波数比
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ジャンプ周波数比
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ばね特性
▲ 非線形周波数応答曲線（FRC）と骨格曲線（Backbone）
▲ 非線形ポテンシャル V(x) = ½ω₀²x² + ¼εx⁴
理論式（調和バランス法）
一次近似の振幅方程式（$x \approx A\cos\Omega t$）：
$$\left[(\omega_0^2 + \tfrac{3}{4}\varepsilon A^2 - \Omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\Omega)^2\right]A^2 = F^2$$骨格曲線（減衰ゼロの自由振動）：
$$\Omega_{bb} = \omega_0\sqrt{1 + \frac{3\varepsilon A^2}{4\omega_0^2}}$$ジャンプ現象は3値解の折り畳み点（Fold）で発生
CAE連携： 非線形振動はANSYSのTransient Structural（Newmark β法）やLS-DYNAの陽解法で解析。ハードニング型ばね特性はゴムマウント・免震ベアリングのFEMモデルで現れる。ENFORCEDモーションと組み合わせた非線形応答解析が実務では重要。