参数设置
固有角频率 ω₀ [rad/s]1.00
阻尼比 ζ0.050
非线性系数 ε+0.30
激励力幅值 F0.20
频率比范围 Ω/ω₀0.1–2.5
Duffing方程：
$\ddot{x} + 2\zeta\omega_0\dot{x} + \omega_0^2 x + \varepsilon x^3 = F\cos(\Omega t)$
$\ddot{x} + 2\zeta\omega_0\dot{x} + \omega_0^2 x + \varepsilon x^3 = F\cos(\Omega t)$
—
峰值振幅 X_max
—
峰值频率比 Ω/ω₀
—
跳跃频率比
—
弹簧类型
▲ 非线性频率响应曲线（FRC）与骨架曲线（Backbone）
▲ 非线性势能 V(x) = ½ω₀²x² + ¼εx⁴
理论公式（谐波平衡法）
一阶近似振幅方程（$x \approx A\cos\Omega t$）：
$$\left[(\omega_0^2 + \tfrac{3}{4}\varepsilon A^2 - \Omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\Omega)^2\right]A^2 = F^2$$骨架曲线（无阻尼自由振动）：
$$\Omega_{bb} = \omega_0\sqrt{1 + \frac{3\varepsilon A^2}{4\omega_0^2}}$$跳跃现象发生在三值响应区域的折叠分岔点处
CAE应用： FEM中的几何非线性（大变形）会自然产生Duffing型刚化效应。ANSYS采用全Newton-Raphson求解器+Newmark-β积分；LS-DYNA采用显式积分。非线性弹簧可通过COMBIN39（ANSYS）或MAT_SPRING_NONLINEAR_ELASTIC（LS-DYNA）定义。