パラメータ設定
梁の種類
仮定形状関数
梁長 L [m]
1.0 m
曲げ剛性 EI [N·m²]
1000 N·m²
単位長さ質量 ρA [kg/m]
5.0 kg/m
—
レイリー推定 [Hz]
—
FEM参照解 [Hz]
—
誤差 [%]
—
Dunkerley [Hz]
—
有効質量比
理論式
レイリー商（Rayleigh Quotient）：
$$\omega_n^2 \approx R[\varphi] = \frac{\displaystyle\int_0^L EI\left(\frac{d^2\varphi}{dx^2}\right)^2 dx}{\displaystyle\int_0^L \rho A\,\varphi^2\, dx}$$片持ち梁 仮定形状（多項式）： $\varphi(x) = 1 - \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2L}\right)$
Dunkerley式（集中質量付き）：
$$\frac{1}{\omega_n^2} \approx \frac{1}{\omega_0^2} + \sum_i \frac{m_i \delta_{ii}}{1}$$片持ち梁の理論値： $f_n = \dfrac{1.875^2}{2\pi L^2}\sqrt{\dfrac{EI}{\rho A}}$
上限定理： $R[\varphi] \geq \omega_1^2$（等号は $\varphi = \phi_1$ のとき）
CAE応用： FEM解析前の手計算による妥当性確認 / 設計変更時の固有振動数変化の素早い見積もり / モーダル試験結果との整合性チェック / 静的たわみ形状を使えば通常1〜2%以内の精度。