梁参数
假设振型
估算结果
Beam
蓝线：假设振型 虚线：精确解一阶振型 红色箭头：边界条件
Error
形状系数 c 变化时瑞利商的敏感性（固有圆频率 ω₁）
均匀梁的精确解（各边界条项）
$\omega_n = (\alpha_n L)^2 \sqrt{\dfrac{EI}{\rho A L^4}}$
SS: α₁L=π, α₂L=2π … |
CC: α₁L=4.730, α₂L=7.853 … |
CF: α₁L=1.875, α₂L=4.694 … |
CS: α₁L=3.927, α₂L=7.069 …
理论与主要公式
瑞利商
$$\omega^2 = \frac{\int_0^L EI\,[y'']^2\,dx}{\int_0^L \rho A\,[y]^2\,dx}$$
假设形状越接近真实振型，ω越收敛于精确值（上界定理）。
什么是瑞利-里兹法
🙋
“瑞利-里兹法”听起来好复杂，它到底是什么呀？
🎓
简单来说，它就像一种“猜猜看”的聪明方法。我们想算一个结构（比如一座桥的桥面）自己会以什么频率振动，但精确的振动形状很难直接算。我们就先“猜”一个大概的振动形状，然后用一个叫“瑞利商”的公式算出一个频率。这个猜的频率有个特点：它永远比真实的频率要高一点。你可以在模拟器里，试着拖动“多项式阶数”的滑块，看看我们猜的振型（蓝色曲线）是怎么变化的。
🙋
诶，真的吗？为什么猜的频率一定会比真实的高呢？
🎓
这就像你拉一根橡皮筋，如果你不是按照它最自然的形状去拉，就需要花更大的力气（能量）。瑞利商本质上就是刚度能量和惯性能量的比值。我们猜的形状如果不是最“省力”的真实振型，算出来的能量比值（也就是频率的平方）就会偏大。这就是著名的“上界定理”。你改变上面“形状系数c”看看，瑞利商的计算结果（估算频率）会变化，但它永远在精确解（橙色横线）的上方。
🙋
那在实际工程中，怎么让这个“猜”的结果变得更准呢？
🎓
关键就是让我们“猜”的形状更自由、更接近真实情况。里兹法就是瑞利法的升级版，它允许我们用多个基础形状叠加起来去“猜”。在模拟器里，你把“多项式阶数”调高，就等于用了更多、更复杂的形状函数去组合。你会看到蓝色曲线越来越贴近红色的精确振型，同时估算频率（瑞利商结果）也会快速下降，逼近那条橙色的精确频率线。这就是收敛的过程！
物理模型与关键公式
最核心的公式是瑞利商，它通过假设的位移振型函数 y(x) 来估算圆频率 ω 的平方。
$$\omega^2 = R(\mathbf{y}) = \frac{\text{势能（弯曲应变能）}}{\text{动能（参考动能）}}= \frac{\int_0^L EI\,[y''(x)]^2\,dx}{\int_0^L \rho A\,[y(x)]^2\,dx}$$
其中，$EI$ 是梁的弯曲刚度（N·m²），$y''(x)$ 是假设振型的曲率（二阶导数），$\rho A$ 是线密度（kg/m），$y(x)$ 是假设的横向位移振型，$L$ 是梁的跨度（m）。分子代表结构的刚度，分母代表结构的惯性。
在里兹法中，假设振型由一组基函数（如多项式）的线性组合构成：
$$y(x) = \sum_{i=1}^{n} c_i \, \phi_i(x)$$
其中，$\phi_i(x)$ 是满足几何边界条件的基函数（例如，对于悬臂梁，可选用 $x^2, x^3, ...$），$c_i$ 是待定的“形状系数”。将上述表达式代入瑞利商，并通过变分原理（$\partial R / \partial c_i = 0$）将其最小化，最终可转化为一个标准的矩阵特征值问题，从而解得多个逼近的固有频率和振型。
现实世界中的应用
航空航天结构设计：在飞机机翼或火箭壳体的初步设计阶段，工程师需要快速估算其最低阶固有频率（基频），以避免与发动机或气动载荷发生共振。使用瑞利-里兹法，只需根据支撑条件假设一个合理的变形形状，就能快速得到一个安全的频率上界，用于指导初始设计。
土木工程桥梁评估：对于一座现有桥梁，想知道它在风或行人荷载下是否容易发生大幅振动。可以通过现场简单测量或经验，假设一个桥面的振动形态，代入材料的EI和ρA参数，快速估算其基频，从而判断其动力特性，成本远低于复杂的有限元分析。
机械与转子动力学：在设计高速旋转的涡轮机叶片或机床主轴时，必须确保其工作转速远离自身的固有频率。利用瑞利法，结合叶片的简化模型和假设的弯曲/扭转振型，可以高效地扫掠一系列设计参数（如厚度、长度），找出对频率最敏感的因素。
有限元法的理论基础与验证：现代CAE软件（如Abaqus, ANSYS）中的模态分析，其核心就是里兹法的扩展。理解瑞利-里兹法有助于工程师解读有限元结果。同时，它也是验证复杂有限元模型是否正确的一个“标尺”——用简单梁模型的瑞利商解来快速核对软件输出的基频是否合理。
常见误解与注意事项
开始使用此工具时，有几个容易陷入的误区需要注意。首先，人们常认为“随意调整形状系数c，得出的所有值都是可能的正确解”，但务必理解瑞利商必定大于或等于真实特征值这一上限定理的含义。例如，在两端固定梁问题中，仅尝试c=0.1和c=0.5两个值就断定“较小值对应更优近似”为时尚早。真正的优质近似出现在找到能使瑞利商尽可能最小化的形态之时。为此，本工具提供了通过增加“多项式次数”来同时优化多个系数（工具内自动计算）的功能。相较于执着于一次多项式的简单形态，尝试将次数提升至2或3次往往能获得显著更优的估计值。
其次，切勿忘记假设形态y(x)必须满足所有边界条件这一基本原则。例如悬臂梁固定端需满足“挠度=0，转角=0”的条件。本工具的预设模态已按此要求设计，但若自行设置函数则需格外注意。使用不满足条件的函数可能导致刚度被低估等问题，使结果产生严重偏差。
最后，需了解本方法最擅长估计基频（一阶模态）的局限性。若要估计高阶模态，必须选择能有效表征该模态形态的假设函数。例如二阶模态需包含一个节点（不振动的点），若未选择能通过该节点位置的函数系，则难以获得理想结果。