梁参数
假定模态形状
推定结果
梁
蓝线：假定模态形状 虚线：厳密解的1阶模态 红箭头：边界条件
误差
改变形状系数 c 时瑞利商的灵敏度（固有圆振动数 ω₁）
均匀梁的厳密解（各种边界条件）
$\omega_n = (\alpha_n L)^2 \sqrt{\dfrac{EI}{\rho A L^4}}$
SS: α₁L=π, α₂L=2π … |
CC: α₁L=4.730, α₂L=7.853 … |
CF: α₁L=1.875, α₂L=4.694 … |
CS: α₁L=3.927, α₂L=7.069 …
理论·主要公式
瑞利商
$$\omega^2 = \frac{\int_0^L EI\,[y'']^2\,dx}{\int_0^L \rho A\,[y]^2\,dx}$$
假定形状越接近真实模态，ω 越接近真值（上限定理）。
什么是瑞利-里兹法
🙋
「瑞利-里兹法」是什么？计算固有振动数时，为什么要使用「假定的形状」？
🎓
简单地说，即使不知道真实的振动形状，通过假定一个看起来合理的形状来计算，也能得到固有振动数的「上限值」。这是一个非常方便的方法。比如，在这个模拟器里选择「两端固定」，然后拖动上面的「形状系数 c」滑块试试看。当假定的梁挠度曲线形状改变时，计算出的振动数也会改变。
🙋
哦，是这样！我试过了。改变 c 时图形也在变化，计算值也在变化。但这些哪一个才是正确答案呢？
🎓
这正是关键所在。无论你假定什么形状，计算值总是大于或等于真实值（上限定理）。因此，假定形状中最小的计算值就是最接近真实值的最好估计。试试这个工具中的「多项式次数」，增加它来尝试更复杂的形状。你会看到随着次数增加，值逐渐接近真实值（厳密解）。
🙋
我明白了！是通过拖动参数来寻找最小值的感觉。但现场的工程师会手工进行这样的计算吗？
🎓
手工计算只限于简单的模型。这个想法的发展就是有限元法（FEA）。在有限元中，结构被分成小的单元（网格），每个单元的变形用简单的函数（形状函数）来假定。将它们连接在一起来计算整体的刚度和质量，所以本质上和这个瑞利-里兹法是一样的。试着在这个工具中改变「弯曲刚度 EI」或「线质量密度 ρA」，体会材料或断面变化时振动数的变化规律。
物理模型和主要公式
本工具的核心是「瑞利商」。从假定的位移形状 y(x)，计算系统最大应变能（刚度）与最大动能（惯性）的比值，推定固有角振动数 ω 的平方。
$$\omega^2 = R(\mathbf{y}) = \frac{\text{刚度能量}}{\text{惯性能量}}= \frac{\int_0^L EI(x) \,[y''(x)]^2\,dx}{\int_0^L \rho A(x) \,[y(x)]^2\,dx}$$
ω: 推定的角振动数 [rad/s]
EI(x): 位置 x 处的弯曲刚度 [N·m²]
ρA(x): 位置 x 处单位长度的质量 [kg/m]
y(x): 假定的挠度形状（包括必须满足的边界条件）
y''(x): 挠度形状的二阶导数（曲率）
瑞利-里兹法将假定形状 y(x) 表示为参数化函数的和（例如多项式），对瑞利商关于这些参数求最小值。这就是里兹法的步骤。
$$ y(x) = \sum_{i=1}^{n}c_i \, \phi_i(x) $$
$$\frac{\partial R(\mathbf{c})}{\partial c_i} = 0 \quad (i=1,...,n) $$
φ_i(x): 假定模态（试函数）。满足边界条件。
c_i: 需要确定的系数（本工具中的「形状系数 c」等）
n: 使用的假定模态数（与本工具中的「多项式次数」相关）
对系数 c_i 关于偏导数取零，确定系数，此时的 R 值为最小值（最佳推定值）。
常见问题
选择满足边界条件（固定、简支、自由等）的函数。例如，对于悬臂梁，y(x)=x² 等简单形式就可以。越接近真实固有模态的假定形状，推定精度就越高。但首先用简单形状试试，改变形状观察瑞利商的变化是学习的关键。
是的。瑞利-里兹法基于上限定理，推定值总是大于或等于真实的固有振动数。因为假定形状与厳密模式的偏离会导致刚度能量的高估。用多个形状计算，最小的计算值最接近真实值。
可以。分布荷载通过惯性能量项中的 ρA(x) 来反映。有集中质量时，将其位置的动能 m·y(x)² 添加到积分中。刚度能量可以通过 EI(x) 的分布来处理。
可以，但假定形状需要在适当的位置包含节点（位移为零的点）。例如，2阶模态需要设定一个节点。对于悬臂梁，可以尝试 y(x)=x³−Lx² 这样的形状。但低阶模态精度更高，高阶模态的误差通常较大。
实际应用
结构物的简易振动检查： 在制作详细的有限元模型之前，用简单梁模型和经验假定模式快速估算桥梁或建筑物的基本振动数。在设计初期快速掌握「大约是多少Hz」很有效。
有限元法的理解和验证： 有限元软件内部基于瑞利-里兹法的思想来组装矩阵。验证模拟结果时，用简单梁模型和此类工具的手工计算结果进行比较，可以发现网格是否适当或边界条件设置是否有误。
机械零件的设计： 对于要求轻量化的汽车发动机支架或飞机机翼肋梁等零件，需要设计使其固有振动数满足目标（例如避免与特定发动机转速的共振）。用简易模型快速掌握断面厚度、肋板配置等设计参数变化对振动数的影响规律很有帮助。
与实验模态分析的比较： 将用锤击试验等实测的实际振动数与理论模型（瑞利-里兹法的简易模型）推定值进行比较。若差异很大，说明模型不能准确描述现实（例如固定条件实际上是「弹性支持」而非「刚性固定」），这成为改进模型的线索。
常见误解和注意事项
使用此工具时，容易在几个地方犯错。首先，「随意改变形状系数 c，出现的所有值都是候选正确答案」这样的想法是错的。要牢记瑞利商总是大于或等于真实固有值的上限定理。例如，仅在两端固定梁中试两个 c 值（c=0.1 和 c=0.5），然后判断「较小的是更好的近似」是太草率了。真正好的近似是瑞利商尽可能最小化的形状。为此，本工具中有增加「多项式次数」来同时优化多个系数的功能（工具内自动计算）。比起用1次多项式费力，增加到2次或3次次数，能得到远更好的推定值。请验证一下。
其次，假定的形状 y(x) 必须满足边界条件，这是大原则，不能忘记。例如悬臂梁的固定端「挠度=0、斜率=0」的条件。本工具的假定模式从最开始就设计得满足这些条件，但自己设定函数时要特别注意。不满足条件的函数会导致刚度的低估或高估，结果会严重偏离。
最后，此方法最擅长推定基本振动数（1阶模态），这是其局限性。要推定高阶模态时，需要选择能很好表达该模态形状的假定模式。例如，2阶模态有一个节点，所以要选择通过该节点位置的函数族，否则得不到好结果。