参数设置
梁的类型
假设形状函数
梁长 L [m]
1.0 m
弯曲刚度 EI [N·m²]
1000 N·m²
单位长度质量 ρA [kg/m]
5.0 kg/m
—
瑞利估算 [Hz]
—
有限元参考解 [Hz]
—
误差 [%]
—
Dunkerley [Hz]
—
有效质量比
理论公式
瑞利商（Rayleigh Quotient）：
$$\omega_n^2 \approx R[\varphi] = \frac{\displaystyle\int_0^L EI\left(\frac{d^2\varphi}{dx^2}\right)^2 dx}{\displaystyle\int_0^L \rho A\,\varphi^2\, dx}$$悬臂梁假设形状（多项式）： $\varphi(x) = 1 - \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2L}\right)$
Dunkerley公式（含集中质量）：
$$\frac{1}{\omega_n^2} \approx \frac{1}{\omega_0^2} + \sum_i \frac{m_i \delta_{ii}}{1}$$悬臂梁理论值： $f_n = \dfrac{1.875^2}{2\pi L^2}\sqrt{\dfrac{EI}{\rho A}}$
上限定理： $R[\varphi] \geq \omega_1^2$（等号成立当且仅当 $\varphi = \phi_1$）
CAE应用： 有限元分析前的手算妥当性验证 / 设计变更时固有频率变化的快速估算 / 与模态试验结果的一致性检验 / 使用静力挠度形状时通常误差在1～2%以内。