ラウス・フルビッツ安定判別シミュレーター

制御系の特性方程式の係数を入力すると、ラウス配列を自動で組み立て、第1列の符号変化を数えてシステムが安定か不安定かを判定します。根を解かずに安定性が分かる仕組みを、s平面プロットとステップ応答で同時に確かめられます。

パラメータ設定

特性方程式の次数

4次系は a₀ まで使用、3次系は a₀ を無視します

係数 a₃（最高次の1つ下）

係数 a₂

係数 a₁

係数 a₀（定数項・4次系のみ）

3次系を選ぶと a₀ は計算に使われません

計算結果

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不安定極の数（右半面）

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安定判定

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第1列の符号変化数

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Routh第1列 b₁

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Routh第1列 c₁

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最右極の実部

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複素s平面 — 特性方程式の極配置

虚軸が安定境界です。左半面（緑）に極があれば安定、右半面（赤）に極があれば不安定。点は特性方程式の根を表します。

ラウス配列第1列

単位ステップ応答 y(t)

理論・主要公式

$$P(s)=s^4+a_3 s^3+a_2 s^2+a_1 s+a_0$$

4次系の特性多項式。最高次の係数は 1 に正規化してあります。3次系では a₀ を落とした $P(s)=s^3+a_3 s^2+a_2 s+a_1$ を扱います。

$$b_1=\frac{a_3 a_2-a_1}{a_3},\qquad c_1=\frac{b_1 a_1-a_3 a_0}{b_1}$$

ラウス配列の s²行・s¹行の先頭要素。各要素は直上2行の2×2行列式を、直前の行の先頭で割って得られます。

$$\text{第1列}=[\,1,\ a_3,\ b_1,\ c_1,\ a_0\,]$$

この第1列がすべて正であれば、システムは安定（全ての極が左半面）です。符号変化の回数が右半面の極の個数になります。

ラウス・フルビッツ安定判別とは

🙋

「ラウス・フルビッツ安定判別」って、制御の授業で出てきましたけど…結局これって何を調べているんですか？

🎓

ざっくり言うと「このフィードバック系、放っておくと暴走する？それとも落ち着く？」を調べる方法だよ。制御系には特性方程式という分母の多項式があって、その根（＝極）が全部複素平面の左半面にあれば応答が減衰して安定、一つでも右半面にあると時間とともに発散して不安定になる。ラウス・フルビッツは、その判定を係数だけでやってしまう手法なんだ。

🙋

え、根を求めなくていいんですか？4次方程式とか手で解くの大変ですよね…。

🎓

そこがこの手法のうまいところ。係数を並べて「ラウス配列」という表を作るんだ。左の例だと P(s)=s⁴+10s³+35s²+50s+24。s⁴行に [1,35,24]、s³行に [10,50,0] と並べて、下の行はクロス計算で埋めていく。b₁=(10·35−50)/10=30、c₁=(30·50−10·24)/30=42 という具合。こうして第1列に [1,10,30,42,24] が出てくる。

🙋

その第1列の数字が出たら、どう見ればいいんですか？

🎓

第1列の符号を上から順に見ていくだけ。さっきの [1,10,30,42,24] は全部プラスだから、符号変化はゼロ回。つまり右半面の極はゼロ個＝安定だ。試しに左の a₁ スライダーを 200 くらいまで上げてごらん。b₁ が負になって、符号が「プラス→マイナス→…」と変化するだろう。その変化の回数が、そのまま不安定極の数になるんだよ。

🙋

符号変化の回数がそのまま不安定極の数って、なんだか不思議ですね。なぜそうなるんですか？

🎓

これはラウスの定理という結果で、コーシーの偏角原理から導かれる。直感的には「第1列の符号がひっくり返る回数 = 虚軸をまたいで右側に行ってしまった根の数」と覚えればいい。だから0次から何次の系でも、第1列さえ作れば右半面の極数が分かる。下のs平面の絵で、赤い領域に入った極の数と符号変化の数が一致しているのを確かめてみて。

🙋

第1列の途中にちょうど 0 が出てしまったら、割り算ができなくて困りませんか？

🎓

いい質問だ。第1列にゼロが出ると、それは極が虚軸上に乗っているサインで、減衰も発散もしない「限界安定（持続振動）」の状態なんだ。計算上はゼロを微小な正の数 ε に置き換えて続ける。実務では限界安定は不安定とほぼ同じ扱いで、ゲインを少し変えて余裕を持たせる。本ツールはこの状況を検出すると、判定を黄色で「限界安定の可能性」と出すよ。

よくある質問

特性方程式（閉ループ系の分母多項式）の係数だけを使って、根を一つも解かずにシステムの安定・不安定を判定する方法です。係数からラウス配列という表を組み立て、その第1列の符号がすべて同じなら安定、符号の変化が1回でもあれば不安定と判定します。第1列の符号変化の回数は、そのまま右半面（実部が正）にある根＝不安定極の個数に等しくなります。多項式の次数が高くなっても根を求めずに安定性が分かるため、設計初期のチェックに広く使われます。

ラウス配列の第1列の符号変化の回数が、特性方程式の右半面の根の個数と一致するという定理（ラウスの定理）に基づいているからです。これはコーシーの偏角原理から導かれる結果で、実係数多項式に対して厳密に成り立ちます。したがって第1列を作るだけで、何次の系でも『右半面に極がいくつあるか』が分かり、0個なら安定、1個以上なら不安定と即座に結論できます。本ツールは判定の根拠が見えるよう、参考としてDurand-Kerner法で実際の根も計算して表示します。

4次系 P(s)=s⁴+a₃s³+a₂s²+a₁s+a₀ の場合、s³行は [a₃, a₁]、s⁴行は [1, a₂] です。s²行の先頭 b₁ は b₁=(a₃a₂−a₁)/a₃ で求めます。続く s¹行の先頭 c₁ は c₁=(b₁a₁−a₃a₀)/b₁ です。s⁰行は a₀ そのものです。こうして第1列は [1, a₃, b₁, c₁, a₀] となり、これら5つがすべて正なら安定です。各要素は2×2行列式を直前の行の先頭で割る形（クロス計算）になっています。

第1列の途中にゼロが現れると、そのままでは次の行が計算できません（ゼロ割り）。この場合は微小な正の数 ε に置き換えて計算を続けます。最終的に ε→0 で符号変化が残れば不安定、残らなければ虚軸上に極があり『限界安定（持続振動）』です。限界安定は減衰せずに振動し続ける状態で、設計上は不安定に準じて扱います。本ツールはこの状況を検出すると判定を『限界安定の可能性』として黄色で表示します。

実世界での応用

フィードバック制御系のゲイン設計：PID制御器のゲインやモータ駆動系のフィードバックゲインを決めるとき、特性方程式の係数はゲインの関数になります。ラウス・フルビッツ判別を使えば、ゲインを変数として残したまま「どの範囲なら安定か」を不等式の形で求められます。例えば b₁>0 と c₁>0 をゲインについて解くと、安定なゲインの上限・下限がそのまま出てきます。シミュレーションを回す前の設計レンジ決めに直結します。

サーボ・ロボット関節の制御：位置サーボや多関節ロボットの関節制御では、機械の共振やセンサ遅れによって閉ループの次数が3次・4次と上がります。本ツールのように低次系で符号変化と極配置の関係を体感しておくと、現場で「ゲインを上げたら振動し始めた」という現象が、右半面に極が移った結果だと直感的に理解できます。

電力系統・電源回路の安定性：系統連系インバータやスイッチング電源の制御ループも、特性方程式の安定判別が設計の要です。負荷条件で係数が変わるため、最悪条件で第1列が正に保たれるかを確認します。ラウス・フルビッツは数値的に軽く、組み込み設計のレビューでも手早く使えます。

制御工学教育とCAE前の検算：根を数値的に求める前の「答えの当たりづけ」としても有用です。MATLAB等で根を計算する前に第1列の符号を見れば、安定か不安定かが即座に分かります。逆に数値計算の根がラウス判別と矛盾していれば、係数の入力ミスやモデル化の誤りを疑うサニティチェックになります。

よくある誤解と注意点

まず多いのが、「全ての係数が正なら安定」という思い込みです。係数が全て正であることは安定の必要条件にすぎず、十分条件ではありません。3次以上の系では、係数が全部プラスでもラウス配列の b₁ や c₁ が負になり不安定になることがあります。例えば s³+s²+s+6 は係数が全て正ですが、b₁=(1·1−6)/1=−5<0 で不安定です。必要条件で安心せず、必ず第1列まで作って符号を確認してください。本ツールは a₁ を大きくすると、まさにこの現象が起きるのを見られます。

次に、「ラウス・フルビッツは安定か不安定かしか言わない」という誤解。確かに合否は二択ですが、第1列の符号変化の回数は『右半面に極がいくつあるか』まで教えてくれます。さらに重要なのは、この判別が応答の速さや減衰の良さ（安定余裕）までは教えてくれない点です。安定でも極が虚軸ぎりぎりにあれば、わずかな外乱で不安定化します。実務では安定判別に加えて、ゲイン余裕・位相余裕や極の位置（減衰係数）も必ず確認します。

最後に、限界安定の扱いです。第1列にゼロが出る限界安定は、数学的には「安定でも不安定でもない」境界状態ですが、設計上は不安定に準じて扱うべきです。減衰がゼロなので、わずかなモデル誤差や非線形性で容易に発散側へ転びます。「ぎりぎり安定だからセーフ」と判断するのは危険で、第1列が確実に正の値を持つように余裕を取った設計にしてください。本ツールでステップ応答が減衰せず振動し続ける様子を見ると、限界安定が実用には不向きなことが体感できます。

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