3格子法のGCIはどう求めますか？

格子比がおよそ一定の3つの格子（細・中・粗）で同じ量を求め、差の比から見かけの収束次数を計算し、リチャードソン外挿の考え方で細かい格子の誤差の幅を出します。安全係数1.25を掛けたものがGCIで、細かい格子の結果に±GCIの不確かさがあると報告します。

GCIの幅は本当の誤差を含んでいますか？

漸近範囲に入っていれば、多くの場合含みます。厳密解のあるフィンの問題で確かめると、格子比2の組では本当の誤差はGCIの50〜77%で、すべて幅の中に収まりました。格子比1.5の組でも74%でした。ただし次数や安全係数の扱いを誤ると、幅が小さくなりすぎることがあります。

見かけの次数と安全係数はなぜ大事ですか？

粗い格子では見かけの次数が理論値より小さく出ることが多く、それを使うとGCIは保守的になります。例で粗い格子に理論の次数2を仮定すると、本当の誤差がGCIとちょうど同じ（比1.00）になり、余裕がありませんでした。安全係数を1にすると、細かい格子でも比0.96と境目に近づきました。

GCI（3格子法）の適用手順

カテゴリ: V&V・メッシュ収束 | 2026-10-01 改稿

CAE visualization for gci 3mesh theory - technical simulation diagram

GCI（3メッシュ法）の適用手順

理論：GCIの幅を確かめる

概要

🙋

GCIで『離散化誤差は±0.2%』と報告しましたが、本当にその中に誤差が入っているのか不安です。確かめる方法はありますか？

🎓

厳密解のある問題で、GCIの幅と本当の誤差を並べてみるのがいちばん確かだ。3つの格子から見かけの次数を求め、細かい格子の結果の差に安全係数を掛けて幅を出すのがGCIだけど、この幅がどれくらい信用できるかは、格子が漸近範囲に入っているか、次数と安全係数をどう扱ったかで決まる。自分の問題では厳密解がないから、似た性質の厳密解のある問題でGCIの手順そのものを確かめておくと安心だよ。

確かめに使う問題

$$ \theta'' = (mL)^2\,\theta,\quad \theta(0) = 1,\ \theta'(1) = 0,\qquad q_{exact} = mL\tanh(mL) = 1.928055\ \ (mL = 2) $$

先端が断熱のフィンの無次元の式で、根元から入る熱量 $q$ に厳密解がある。2次精度の差分で解き、根元の勾配も2次精度で求めた。

GCIと本当の誤差の比

$$ GCI_{fine} = \frac{F_s\,|(q_1 - q_2)/q_1|}{r^p - 1},\qquad \text{coverage ratio} = \frac{|q_1 - q_{exact}|/q_{exact}}{GCI_{fine}} < 1 $$

本当の誤差をGCIで割った比が1より小さければ、GCIの幅が本当の誤差を含んでいる。

Coffee Break よもやま話

安全係数1.25と3の由来

Roacheは、多くの計算例を集めてGCIの幅が本当の誤差を含む割合を調べ、3つ以上の格子で見かけの次数を確かめた場合は安全係数1.25で、2つの格子で次数を仮定するだけの場合は3で、およそ95%の信頼度になると提案した。その後、さまざまな流れや伝熱の問題で同じような検証が行われ、この数字がおおむね妥当なことが確かめられている。数字の根拠は経験的な統計なので、自分の問題に似た厳密解のある問題で確かめ直すことにも意味がある。

計算例：フィンの熱量でGCIを試す

mL = 2のフィンで、根元の熱量の厳密値は1.928055。格子の組ごとに見かけの次数、GCI、本当の誤差、その比を求めた。

格子（細・中・粗）	見かけの次数	GCI	本当の誤差	比
8 / 4 / 2	1.33	3.97%	2.00%	0.50
16 / 8 / 4	1.69	0.82%	0.55%	0.66
32 / 16 / 8	1.85	0.19%	0.14%	0.74
64 / 32 / 16	1.93	0.047%	0.036%	0.77
18 / 12 / 8（比1.5）	1.81	0.59%	0.44%	0.74

🙋

どの組でも比は1より小さく、GCIの幅に本当の誤差が入っているんですね。

🎓

そう。見かけの次数をきちんと求めて安全係数1.25を掛けたGCIは、この問題ではどの組でも本当の誤差を含んだ。粗い格子ほど見かけの次数が理論値2より小さく出て、GCIは大きめ（保守的）になる。では手を抜くとどうなるか。粗い8/4/2の組で理論の次数2を仮定すると、GCIは2.00%で本当の誤差とちょうど同じ（比1.00）、余裕がなくなる。また、細かい64/32/16の組で安全係数を1にすると比は0.96で、ほとんど境目だ。見かけの次数を求めること、安全係数を省かないことの両方が、GCIの信頼性を支えているんだ。

適用の手順

格子比1.3以上で、全方向を相似に細かくした3つの格子を作る。
各格子で反復を十分に収束させ、評価する量を求める。
差の符号を確かめ、見かけの次数を求める（格子比が一定でなければ反復）。
GCI（安全係数1.25）と外挿値を求める。次数が理論値から大きく外れたら注意。
可能なら、似た厳密解のある問題で同じ手順を確かめる。

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「GCIが小さすぎた」

ある設計部門で、2つの格子の結果の差に安全係数1.25を掛け、次数は2と仮定してGCIを報告していた。後に3つ目の格子を作って見かけの次数を求めると1.2しかなく、正しく計算し直したGCIは報告値の約3倍だった。2つの格子だけなら、次数が確かめられないので安全係数は3を使うのが決まりで、1.25は3つ以上の格子で次数を確かめたときの値だ。手順の省略は、誤差の幅を静かに小さく見せてしまう。

よくある間違い

間違いと対策

間違い	起きること	対策
2格子で安全係数1.25	幅が小さすぎる	安全係数3
理論の次数を仮定	粗い格子で余裕がない	見かけの次数を求める
格子比が小さすぎる	差が反復誤差に埋もれる	1.3以上
漸近範囲を確かめない	GCIの信頼性が不明	次数の安定を確認
手順の検証をしない	思い込みのまま報告	厳密解の問題で確認

🙋

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🎓

リチャードソン外挿ツールで次数と外挿を試せるよ。関連するページはRoacheのGCI、リチャードソン外挿、格子の細分化比、解の検証、アダプティブメッシュが参考になる。