1次元の定常熱伝導ベンチマークでは何を確かめますか？

平板や棒の定常熱伝導で、厳密解のある温度分布と熱流束をソルバーの結果と比べます。熱伝導率一定、内部発熱あり、熱伝導率が温度で変わる場合など、条件を変えて、境界条件・物性の入力・非線形の反復計算が正しく働くかを確かめます。正式な寸法や条件はNAFEMSの原典で確認してください。

1次要素で節点の温度が厳密解と完全に一致しました。精度は十分ですか？

1次元の1次要素には、熱伝導率一定なら内部発熱があっても節点の値が厳密に一致する性質があります。例では2分割でも節点誤差は0でしたが、要素の中央では6.25 K、熱流束は最大値の25%ずれていました。節点だけでなく、要素内の温度と熱流束も比べる必要があります。

熱伝導率が温度で変わる場合はどう検証しますか？

キルヒホッフ変換で厳密解を作れます。熱伝導率が温度の1次式だと、要素の平均温度で評価する計算がたまたま厳密になってしまうため、2次式のような条件にすると誤差が見えます。例では節点誤差が2分割0.091 Kから32分割0.00049 Kまで2次で減り、ニュートン法は5回、逐次代入法は8〜14回で収束しました。

NAFEMS T1：1次元の定常熱伝導ベンチマーク

カテゴリ: V&V・NAFEMSベンチマーク | 2026-10-01 改稿

CAE visualization for nafems t1 theory - technical simulation diagram

NAFEMS T1: 1次元熱伝導定常解析

理論：厳密解のある1次元の問題

概要

🙋

熱解析のソルバーを検証するのに、1次元の問題から始めるように言われました。簡単すぎませんか？

🎓

簡単だからこそ、厳密解と1桁ずつ比べられる。境界条件の与え方、熱伝導率や発熱の入力、温度で物性が変わるときの反復計算が正しく動くかを、ほかの要因を混ぜずに確かめられるんだ。ただし落とし穴がある。1次元の1次要素は、条件によっては節点の温度が格子の粗さに関係なく厳密に一致してしまう。節点だけ見て『合った』と判断すると、実は何も検証できていないことがあるんだよ。なお、NAFEMSの熱解析ベンチマークの正式な寸法や条件は、原典で確認してほしい。

基礎式

$$ \frac{d}{dx}\left(k\,\frac{dT}{dx}\right) + \dot q = 0, \qquad T(0) = T_0,\ \ T(L) = T_L $$

熱伝導率 $k$ が一定で発熱 $\dot q$ がなければ温度は直線、一様な発熱があれば放物線になる。

温度で変わる熱伝導率

$$ \theta(T) = \int_0^T \frac{k(s)}{k_0}\,ds \quad\Rightarrow\quad \frac{d^2\theta}{dx^2} = 0 \ \ (\dot q = 0), \qquad \theta \text{ is linear in } x $$

キルヒホッフ変換 $\theta$ を使うと、熱伝導率が温度で変わっても $\theta$ は $x$ の1次式になるので、厳密解を逆変換で求められる。非線形の熱解析を検証する定番の方法だ。

Coffee Break よもやま話

NAFEMSとベンチマーク

NAFEMSは1983年にイギリスで設立された、有限要素解析の品質と信頼性を高めるための団体だ。当時、商用の有限要素ソフトが広まり始めたが、同じ問題を解いてもソフトによって答えが違うことがあった。そこでNAFEMSは、厳密解や信頼できる参照解のある標準問題を集め、線形弾性（LE）、熱（T）、固有値（FV）などの分野ごとにベンチマークとして公開した。いまでも多くのソフトの検証マニュアルが、これらの問題の結果を載せている。

計算例：1次要素で解く

厚さ0.1 mの平板、片側100 ℃・反対側0 ℃、熱伝導率50 W/mKを1次要素で解いた。

例1：一様な発熱（10⁶ W/m³）

分割数	節点の誤差	要素中央の誤差	端の熱流束の誤差
2	0（厳密）	6.25 K	最大値の25%
4	0（厳密）	1.56 K	12.5%
8	0（厳密）	0.39 K	6.2%
16	0（厳密）	0.10 K	3.1%

🙋

節点では2分割でも誤差0なのに、要素の中では6 Kもずれているんですか？

🎓

1次元の1次要素は、熱伝導率が一定なら節点の値が厳密になる性質がある。でも要素の中は直線でつないでいるだけだから、放物線の温度分布とはずれるし、熱流束は要素ごとに一定なので、端では最大値の25%もずれる。しかも誤差は、要素中央の温度で2次、熱流束で1次と、減り方も違う。節点の温度だけで検証を済ませると、この誤差はまったく見えないんだ。熱流束や要素内の温度も比べることが大事だよ。

例2：温度で変わる熱伝導率

熱伝導率を $k = k_0(1 + \beta T)$（$\beta$ = 0.005 1/K）とすると、中央の厳密解は54.95 ℃（一定なら50 ℃）。ところが要素の平均温度で熱伝導率を評価する計算は、どの分割数でも節点が厳密に一致した。1次式の熱伝導率では、この評価法がキルヒホッフ変換と数学的に同じになるからだ。そこで $k = k_0(1 + \beta T)^2$ で比べた（中央の厳密解59.62 ℃）。

分割数	節点の最大誤差	収束の次数	ニュートン法	逐次代入法
2	0.091 K	—	5回	8回
4	0.031 K	1.58	5回	12回
8	0.0078 K	1.97	5回	13回
16	0.0020 K	1.99	5回	14回
32	0.00049 K	2.00	5回	14回

誤差は2次で減り、ニュートン法は分割数によらず5回で収束した。検証問題は『誤差がちゃんと見える』条件を選ぶことが大事だ。

検証の進め方

熱伝導率一定・発熱なしで、境界条件と単位が正しいことを確かめる。
発熱を加え、節点だけでなく要素内の温度と熱流束を厳密解と比べる。
温度で変わる熱伝導率を入れ、キルヒホッフ変換の厳密解と比べる。偶然に厳密になる条件は避ける。
格子を細かくして収束の次数を確かめる。
非線形の反復回数と収束判定を記録する。

Coffee Break よもやま話

「ベンチマークは合格、実機は外れる」

社内のソルバー検証で1次元の熱伝導ベンチマークに合格したのに、実際の部品の解析で熱流束が測定と大きくずれた——という例がある。検証では節点の温度だけを比べていて、その条件は1次要素が節点で厳密になるものだった。実機では発熱が集中する部分の熱流束が問題だったが、要素が粗く、熱流束の誤差が大きかった。検証の段階で熱流束も比べていれば、要素の細かさが足りないことに気づけた。何を比べるかは、実際に知りたい量に合わせる必要がある。

よくある間違い

間違いと対策

間違い	起きること	対策
節点の温度だけを比べる	誤差が見えない	熱流束・要素内も比較
偶然に厳密になる条件を使う	検証にならない	誤差が出る条件を選ぶ
格子1つで判断	収束の次数がわからない	複数の格子で比較
非線形の収束判定が緩い	反復誤差が残る	判定を厳しくして比較
原典の条件を確認しない	別の問題と比べてしまう	原典の寸法・条件を確認

🙋

関連する内容も知りたいです。

🎓

リチャードソン外挿ツールで収束の次数を試せるよ。関連するページはT1の検証結果、NAFEMS T3、NAFEMS T4、NAFEMS LE1、1次元熱伝導の解析解が参考になる。