空力声学分析（FW-H方程式）

分类：连成分析 / 声学连成 | 更新 2026-04-12
FW-H acoustic analogy: CFD near-field to far-field noise prediction via surface integral
FW-H方程式空力声学分析概念图 — 通过积分面从CFD近场预测远场噪声

空力声学分析（FW-H方程式）的理论基础

概述 — FW-H方程式是什么

🧑‍🎓

老师，FW-H方程式是什么？我听说从CFD结果可以计算噪声，它是什么原理呢？

🎓

很好的问题。FW-H方程式是"Ffowcs Williams-Hawkings方程式"的缩写，由John Ffowcs Williams和David Hawkings在1969年提出。简单地说，它是将Lighthill声学类比扩展到运动物体表面的方程式。

🧑‍🎓

好的……。具体来说怎么用呢？ 是直接用CFD计算所有噪声吗？

🎓

这正是问题所在。声音是流体的微小压力变动，如果试图用CFD直接求解，会遇到数值衰减和反射的影响，导致精度下降。而且必须把网格扩展到观测点，计算成本会爆炸。

这时FW-H就派上用场了。CFD只计算物体附近的流场，远场的声压则通过FW-H积分方程进行后处理计算。这种两阶段方法使得飞机喷气噪声、风扇噪声、汽车侧镜风切声等实际问题都能以现实的计算成本解决。

🧑‍🎓

也就是说FW-H是CFD的"后处理"！这样就能把计算域缩小……。但是，为什么通过积分就能知道远处的声音呢？

🎓

因为声音的本质是波的传播。如果知道物体表面（或周围的虚拟面）的压力和速度变动，就可以利用线性波动方程的Green函数计算任意远处点的声压。这正是FW-H积分的原理。

Lighthill声学类比

🧑‍🎓

刚才提到"Lighthill的类比扩展"。先讲讲Lighthill的部分可以吗？

🎓

Lighthill声学类比（1952年）是空力声学的起点。它把Navier-Stokes方程变形成下列波动方程：

$$ \frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2} - c_0^2 \nabla^2 \rho' = \frac{\partial^2 T_{ij}}{\partial x_i \partial x_j} $$

其中 $\rho' = \rho - \rho_0$ 是密度变动，$c_0$ 是均匀场的音速，$T_{ij}$ 是Lighthill应力张量，定义为：

$$ T_{ij} = \rho u_i u_j + (p' - c_0^2 \rho') \delta_{ij} - \tau_{ij} $$
🧑‍🎓

$T_{ij}$代表什么？右边有动量、压力、粘性应力等各种项……。

🎓

关键是左边的形式是"静止均匀介质中的波动方程"。右边的$T_{ij}$可以理解为"等效声源"。也就是说，"把实际湍流全部放在右边作为声源，左边则看作静止流体中的声传播"——这就是类比的本质。

实际上最主要的项是 $\rho u_i u_j$，这是喷气噪声的主因。低Mach数下其他项较小，所以可以近似为 $T_{ij} \approx \rho_0 u_i u_j$。

🧑‍🎓

明白了，把湍流"读作"声源，所以叫"类比"。但这样的话，物体表面的效果就没有了吧？

🎓

说得好。Lighthill的原始定式针对的是自由空间中的湍流。要处理旋转风扇叶片或飞行飞机这样的表面效应，就需要把边界条件融入积分中。这正是FW-H方程式做的事。

FW-H方程式的定式化

🧑‍🎓

现在讲FW-H方程式本身。是什么形状的？

🎓

FW-H方程使用广义函数（Heaviside函数、Dirac delta函数）将Lighthill方程拓展到运动的物体表面 $f=0$。结果就是远场声压 $p'(\mathbf{x},t)$ 表示为三项之和：

$$ 4\pi \, p'(\mathbf{x},t) = \underbrace{\frac{\partial}{\partial t}\int_{f=0} \left[\frac{\rho_0 v_n}{r|1 - M_r|}\right]_{\mathrm{ret}} dS}_{\text{厚度声源 (thickness)}} - \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_i}\int_{f=0} \left[\frac{\ell_i}{r|1 - M_r|}\right]_{\mathrm{ret}} dS}_{\text{加载声源 (loading)}} + \underbrace{\frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}\int_{f>0} \left[\frac{T_{ij}}{r|1 - M_r|}\right]_{\mathrm{ret}} dV}_{\text{四极声源 (quadrupole)}} $$

其中 $[\cdot]_{\mathrm{ret}}$ 表示在延迟时间（retarded time）处的求值，$r$ 是声源点到观测点的距离，$M_r$ 是声源Mach数在观测方向的分量，$v_n$ 是面的法向速度，$\ell_i = (p\delta_{ij} - \tau_{ij})n_j + \rho u_i(u_n - v_n)$ 是加载向量。

三个声源项的物理意义

🧑‍🎓

有三个项，各代表什么样的噪声呢？

🎓

好，逐个讲。

1. 厚度声源（Thickness Noise）：物体运动时，前方空气被推开，后方被吸引。直升机旋翼转动时，翼片"厚度"周期性推动空气。出现在旋转频率乘以叶片数的整数倍频率（BPF：叶片通过频率）上，呈离散纯音形式。

🎓

2. 加载声源（Loading Noise）：物体表面作用的压力（升力、阻力变动）产生的声音。风扇叶片与尾流相互作用导致升力变动时，就发出声音。汽车侧镜发出的"呼呼"风切声就是镜面压力变动。

3. 四极声源（Quadrupole Noise）：物体外部空间的湍流本身产生的声音。喷气发动机排气的"呜"声就是典型例子。需要体积积分，计算成本高。低Mach数（$M < 0.3$左右）时，与厚度、加载源相比较小，实务中常忽略。

🧑‍🎓

明白了！低速的汽车和风扇就用面积分的两项够了，高Mach数的喷气发动机才需要四极项。

🎓

正是。Ansys Fluent和STAR-CCM+的FW-H实现中，默认也只启用厚度+加载的面积分，四极是选项。

透射面（Permeable Surface）定式化

🧑‍🎓

"透射面"是什么？不是用实物表面，而是虚拟面？

🎓

这是非常重要的实务技巧。原始FW-H方程在固体表面上积分，但di Francescantonio（1997）提出的透射面定式在包围物体的虚拟闭曲面上积分。

优点有两个。首先，可以避免四极的体积积分。只要透射面足够大，能包含所有声源区域，面积分就能捕捉四极的贡献。其次，非线性流动效应（包括冲击波的高Mach数流）也能通过面上数据融入。

🧑‍🎓

那就什么都能解决了？ 没有缺点吗？

🎓

遗憾的是有。透射面FW-H中，通过面的涡会产生"虚假声源（spurious noise）"。特别是喷气跨过面的下游"盖子"时，内外侧计算的声音无法完全抵消，就产生了非物理的低频噪声。这叫end-cap问题。面的配置需要经验。

闲聊角落 琐谈

诞生FW-H方程式的两位天才

John Ffowcs Williams（威尔士人，剑桥大学教授）被誉为"航空声学之父"，因Concorde超音速飞机喷气噪声研究而闻名。他的合作者David Hawkings当时还是博士生，1969年发表在《哲学汇刊》的论文成为50多年来空力声学分析的基础。另一方面，奠定理论基础的Sir James Lighthill是流体动力学的巨人，他1952年提出的声学类比引用次数超过10,000次。有趣的是，在每台喷气发动机噪声测试成本数亿日元的时代，Lighthill的论文就提出了用计算预测噪声的革命性想法。

空力声学分析（FW-H方程式）的数值计算方法

时间域积分法（Farassat 1A）

🧑‍🎓

FW-H方程式怎样在计算机上实际求解？ 直接数值积分吗？

🎓

实务中最常用的是Farassat 1A定式。NASA的Farassat在1980年代推导了FW-H方程在时间域的闭型解。

厚度声源的贡献为：

$$ 4\pi p'_T(\mathbf{x},t) = \int_{f=0} \left[\frac{\dot{Q}_n}{r(1-M_r)^2}\right]_{\mathrm{ret}} dS + \int_{f=0} \left[\frac{Q_n \left(r\dot{M}_r + c_0(M_r - M^2)\right)}{r^2(1-M_r)^3}\right]_{\mathrm{ret}} dS $$

加载声源的贡献为：

$$ 4\pi p'_L(\mathbf{x},t) = \frac{1}{c_0}\int_{f=0} \left[\frac{\dot{\ell}_r}{r(1-M_r)^2}\right]_{\mathrm{ret}} dS + \int_{f=0} \left[\frac{\ell_r - \ell_i M_i}{r^2(1-M_r)^2}\right]_{\mathrm{ret}} dS + \frac{1}{c_0}\int_{f=0} \left[\frac{\ell_r(r\dot{M}_r + c_0(M_r - M^2))}{r^2(1-M_r)^3}\right]_{\mathrm{ret}} dS $$
🧑‍🎓

延迟时间（retarded time）的计算看起来很复杂。从面元到观测者的声传播时间……。

🎓

这是FW-H代码实现的关键。每个面元都需要从隐式方程求解延迟时间$\tau$：

$$ t - \tau = \frac{|\mathbf{x} - \mathbf{y}(\tau)|}{c_0} $$

用Newton法迭代求解。均匀流中可以解析求解，但有平均流效应时需要修正。商用软件多数采用假设均匀流的快速算法。

频率域方法

🧑‍🎓

除了时间域，还有其他方法吗？

🎓

在频率域也能求解FW-H方程。把面上的压力、速度数据用FFT分解为频率分量，各频率分别用Helmholtz方程的Green函数积分。

好处是只需计算关心的频率范围。缺点是要保存大量非定常数据。实务中旋转机械的纯音（BPF分量）解析适合用频率域。

与CFD的耦合流程

🧑‍🎓

CFD和FW-H具体怎样协作？ 数据如何交接？

🎓

典型流程是这样的：

  1. CFD非定常计算，在FW-H面上每个时间步记录压力$p$、密度$\rho$、速度$\mathbf{u}$
  2. 积累足够统计量后（通常数十到数百个流过时间），停止CFD，记录的数据传给FW-H求解器
  3. FW-H求解器计算各观测点的声压时历$p'(t)$
  4. 对声压时历进行FFT得频谱（SPL vs. 频率）、OASPL（总声压级）等指标

Ansys Fluent和STAR-CCM+都支持CFD计算同步进行FW-H积分的"动态"模式，可节省内存，但之后无法改变观测点位置。

湍流模型选择

🧑‍🎓

CFD用什么湍流模型比较好？ k-ε模型行不行？

🎓

RANS（k-ε、k-ω SST等）对空力声学完全不行。这是非常重要的一点。RANS计算的是时间平均流场，无法解析产生声源的瞬时压力波动。

空力声学需要：

  • LES（大涡模拟）：直接解大尺度涡，小尺度用SGS模型近似。最可靠但计算成本高
  • DES/DDES（分离涡模拟）：壁面附近用RANS，分离区用LES。实务平衡最好
  • SAS（尺度自适应模拟）：Menter-Egorov模型。基于URANS但能有LES级解析

例如汽车侧镜风切声用DDES+FW-H已成标准。风扇噪声优先用LES，喷气流用LES为佳，但因成本会用DDES。

网格和时间步长要求

🧑‍🎓

计算噪声时网格要求比普通CFD严格吗？

🎓

严格得多。空力声学网格要求指标：

参数推荐值说明
每波长格点数15～25点以上按目标最大频率的音波长判定
CFL数（声学CFL）$\leq 1.0$$\Delta t \leq \Delta x / c_0$
采样率$f_s > 2 f_{\max}$Nyquist定理。通常$f_s \geq 20 f_{\max}$推荐
FW-H面分辨率10～20点/波长面法向方向需充分分辨
数据记录时长10～50 流过时间低频解析需长记录
🧑‍🎓

如果要解析到10kHz，波长是3.4cm，那格子宽度1.5mm左右……。很细呢。

🎓

正因如此，FW-H法的价值才体现出来。CFD网格的细密要求仅限于声源近场，远场用FW-H积分承担。若直接数值声学计算（DNC）全域细网格，计算成本会增加2～3个数量级。

空力声学分析（FW-H方程式）的实际应用

分析工作流程

🧑‍🎓

空力声学分析从头开始的全流程是什么？

🎓

标准的CFD+FW-H工作流：

步骤1：定常RANS计算（初始场生成）

  • 用k-ω SST等求定常解，作为非定常计算的初始条件
  • 检查网格质量、y+、收敛性

步骤2：非定常LES/DES计算（声源数据生成）

  • 从定常解启动切换至LES/DDES
  • "过渡时间"（数个流过时间）内定常解影响消除，之后开始FW-H面数据记录
  • 过渡期的数据要舍弃

步骤3：FW-H后处理（远场声压计算）

  • 用记录的数据执行FW-H积分
  • 得到观测点声压时历

步骤4：声学后处理

  • FFT → SPL频谱、1/3倍频程、OASPL、A特性补正
  • 与实验对比验证

FW-H面的配置策略

🧑‍🎓

透射面放在哪儿是件重要的事对吧？ 有什么指导原则吗？

🎓

FW-H面的配置直接影响结果精度，需谨慎。主要规则：

  • 完全包含声源：面内侧应包含所有音源区域（涡放出域、分离域、喷气混合域）
  • 放在非线性效应衰减的位置：强涡或冲击波穿过面会产生虚假声源
  • 放在CFD网格足够细的区域：粗化网格区的面会让声源数据退化
  • 面法向周围留3～5单元缓冲：离开口边界或海绵层太近
  • 多个面位置验证稳健性：轻微移动面，结果应变化不大
🧑‍🎓

面位置稍动结果就变的话，很吓人啊……。实务怎样保证可信度？

🎓

经验做法是至少用3个不同尺寸的透射面计算，结果在±1～2 dB范围内收敛就可接受。另外，比较固体面FW-H和透射面FW-H的结果，看面积分是否捕捉了四极贡献，也是标准验证。

声学后处理和频谱分析

🧑‍🎓

FW-H得到声压时历后，怎样转换成SPL？

🎓

声压时历$p'(t)$到频谱的标准步骤：

  1. 窗函数：应用Hanning或Hamming窗降低频谱泄漏
  2. FFT：离散Fourier变换得$P(f)$
  3. PSD（功率谱密度）：$S_{pp}(f) = |P(f)|^2 / (\Delta f \cdot T)$
  4. 转换为SPL：
$$ \mathrm{SPL}(f) = 10 \log_{10}\left(\frac{S_{pp}(f)}{p_{\mathrm{ref}}^2}\right) \quad \text{[dB]} $$

其中$p_{\mathrm{ref}} = 20 \; \mu\text{Pa}$是空气中的参考声压。总声压级（OASPL）由全频带积分得出：

$$ \mathrm{OASPL} = 10 \log_{10}\left(\frac{p'_{\mathrm{rms}}^2}{p_{\mathrm{ref}}^2}\right) \quad \text{[dB]} $$
🧑‍🎓

A特性补正是什么呢？ 规制值上常见……。

🎓

人耳对不同频率的敏感度不同。低频（100 Hz以下）和高频（10 kHz以上）听觉不敏感，1～4 kHz最敏感。A特性（A-weighting）是模拟人类听觉特性的频率补正滤波，噪声规制用"dBA"（A加权分贝）。FW-H结果转换为dBA后进行评价，这是标准做法。

常见错误和对策

🧑‍🎓

初学者容易踩的坑有哪些？

现象原因对策
SPL比实验高20 dB以上用了RANS计算（人工变动）改用LES/DDES
低频有非物理的峰透射面end-cap问题调整面形状，与固体面结果比较
高频比实验衰减快网格分辨率不足、数值耗散细化FW-H面附近网格
数据记录时间太短低频分量无法解析延长记录时间（$\Delta f = 1/T$）
结果强烈依赖FW-H面位置面在网格粗化区或涡通过区把面移到CFD高分辨区
偶极子方向性破坏面上压力采样不足增加面的空间分辨率
闲聊角落 琐谈

无人机噪声问题 — FW-H在最前线

城市无人机配送成为现实，最大障碍之一就是"噪声"。小型多旋翼无人机在数千RPM的旋转，叶片通过频率（BPF）及其高次谐波形成刺耳的纯音。各国规制部门定下85 dBA以下目标。多少叶片、螺距如何设、翼型怎样优化，都是通过CFD+FW-H虚拟评估。NASA的ARM（先进空中流动性）项目中，OpenFOAM的LES+FW-H functionObject已成为eVTOL噪声预测的标准工作流。

空力声学分析（FW-H方程式）的软件比较

Ansys Fluent

🧑‍🎓

Fluent的FW-H功能怎样？ 设置复杂吗？

🎓

Fluent在商用CFD中FW-H实现最成熟。主要特点：

  • 从声学模型菜单选"Ffowcs Williams and Hawkings"即可
  • 同时支持固体面（Solid）和透射面（Permeable）
  • 可设置多个观测点（圆弧排列、网格排列）
  • 支持"动态"模式：CFD计算同时执行FW-H积分
  • 也支持"离线"模式：保存数据后单独后处理

配置时要注意Source Zone的选择和Export Interval。Export Interval过粗会降低Nyquist频率，高频会折回。

Simcenter STAR-CCM+

🧑‍🎓

STAR-CCM+怎样？ 听说它回转机械特别强……。

🎓

STAR-CCM+的FW-H实现在旋转机械整合方面特别优秀：

  • Sliding Mesh/Overset Mesh与FW-H无缝协作，旋转叶片面自动成为声源面
  • 明确区分"FW-H impermeable"（固体面）和"FW-H permeable"（透射面）
  • 后处理界面一站式完成SPL频谱、指向性图、A特性补正
  • 易于从SPL中分离纯音+宽带成分

GUI配置很完善，FW-H学习成本较低。航空航天和汽车OEM的应用实绩多。

OpenFOAM

🧑‍🎓

OpenFOAM也有FW-H吗？ 免费的话很吸引……。

🎓

OpenFOAM有noiseModel functionObject形式的FW-H实现。ESI版（.com）和Foundation版（.org）实现略有差异，都采用Farassat 1A方案。

配置示例（在controlDict中添加）：

functions
{
    noise
    {
        type            noiseModel;
        libs            ("libfieldFunctionObjects.so");
        noiseModel      FfowcsWilliamsHawkings;
        patchName       "fwhSurface";
        observers
        {
            obs1    (0 10 0);   // x, y, z [m]
            obs2    (10 0 0);
        }
        rhoRef          1.225;
        cRef            340;
        writeInterval   1;
    }
}
🎓

需要注意的是，OpenFOAM的FW-H实现验证案例较少，进入实务前一定要用基准问题（NACA0012翼型BPM噪声、SUNY喷流噪声等）验证你的设置合理性。

Actran / Virtual.Lab

🧑‍🎓

专业声学软件也存在吗？

🎓

FFT（Free Field Technologies）的Actran和Siemens的Virtual.Lab Acoustics（现Simcenter 3D Acoustics）是声学专业工具。它们除FW-H外还提供更高级的方法（BEM：边界元法、FEM-BEM耦合）。

特别适合处理声散射效应（声波被机身、进气道、排气管反射回折）的问题。例如发动机风扇噪声通过进气、排气管道放射时，FW-H单独不够，需要BEM或FEM与耦合。

软件FW-H实现透射面回转机械散射效应成本
Ansys FluentFarassat 1A有有无商用
STAR-CCM+Farassat 1A有优秀无商用
OpenFOAMFarassat 1A部分需配置无免费（GPL）
ActranBEM/FEM耦合N/A有有商用（高价）
Simcenter 3D AcousticsBEM/FEMN/A有有商用
闲聊角落 琐谈

"求解器选择不如上游CFD重要"的业界呼声

空力声学领域资深工程师一致强调："FW-H求解器的差别没有上游CFD质量的影响大。"同样的FW-H代码，因网格分辨率、湍流模型、时间步长、记录时长的差异，SPL可变化10 dB以上。反过说，若CFD设置妥当，Fluent、STAR-CCM+、OpenFOAM的结果应该相同。与其纠结工具选择，不如投时间做CFD收敛性验证。

空力声学分析（FW-H方程式）的先进研究

宽带噪声模型

🧑‍🎓

LES+FW-H计算成本很高。更廉价的噪声估算方法有吗？

🎓

从RANS结果估算噪声级的宽带噪声模型存在，是FW-H之外的思路。用湍流统计量（k, ε, ω等）的半经验式估算SPL。

  • Proudman法：等向湍流假设，从$T_{ij}$自相关推估SPL。Fluent已实装
  • BPM模型（Brooks-Pope-Marcolini）：翼型后缘噪声从边界层参数预测。风机噪声设计的标准
  • Amiet理论：湍流入射引起的前缘噪声。风扇转子-定子干渉噪声适用

精度不及LES+FW-H，但设计初期筛选和参数扫描够用。

与机器学习的融合

🧑‍🎓

最近机器学习也用上了吗？

🎓

空力声学中ML活用在快速发展：

  • 代理模型（Surrogate）：用神经网从LES+FW-H结果学习，参数到SPL的瞬时预测。纳入设计优化循环
  • PINN（Physics-Informed Neural Network）：波动方程物理约束融入神经网的损失函数。数据少时有利
  • 超分辨（Super-Resolution）：粗LES结果推断细尺度湍流，传给FW-H。计算成本大幅削减

目前多数仍在研究阶段，需规制认证的航空领域还是"用ML验证LES+FW-H的结果"的方式。

UAM·eVTOL的应用

🧑‍🎓

飞行汽车（eVTOL）的噪声问题也用FW-H吗？

🎓

UAM（城市空中流动性）正是FW-H解析的"杀手应用"。eVTOL在住宅上空运作，噪声是型式认证的最大障碍。

技术难点：

  • 多转子干渉：各转子尾流入射相邻转子，产生叶片-涡相互作用（BVI）噪声。需同时LES所有转子，网格数十亿单元
  • 过渡飞行：悬停到巡航的过渡中流场刻变，FW-H面固定配置困难
  • 地面反射：起降时地面反射对居民暴露噪声级影响大

NASA的RVLT（革命垂直升力技术）项目已用LES+FW-H进行大规模eVTOL噪声基准验证并公开结果。

空力声学分析（FW-H方程式）的故障排除

虚假声源和数值噪声

🧑‍🎓

FW-H结果上出现非物理的噪声，怎样处理？

🎓

虚假声源（spurious noise）在透射面FW-H中最常见。原因和对策：

  • 涡穿过面：面内生成的涡从下游"盖子"穿出，面内外声场抵消不完全 → 把面下游端移出喷流、涡放出域，或应用end-cap补正
  • 面在粗化网格区：数值耗散让面数据退化，非物理波动混入 → 把面移到网格足够细的区
  • 时间步粗：混叠（aliasing）产生虚假高频 → 调整时间步满足采样定理

与实验的SPL不匹配

🧑‍🎓

计算结果和实验SPL对不上……。怎么调试？

🎓

SPL偏差的调试流程：

  1. 先看上游CFD：壁面y+对吗？LES/DDES分辨充分吗？时间平均的Cp、Cd与实验是否吻合？ → CFD空气动力学不对，噪声不可能对
  2. 比较频谱形状：只是电平偏移还是特定频率峰值错位？ → 偏移是声源强度问题，峰值错位是流特性（分离点、涡放出频率）偏差
  3. 检查频率依存性：低频不合？记录时间太短 → 延长。高频衰减？网格分辨不够 → 细化
  4. 验证麦克风位置：指向性强的源，角度偏1°会差数dB
  5. 核对实验条件：风洞背景噪声、反射面有无、麦克风频响

End-cap问题

🧑‍🎓

End-cap问题再详细讲讲，怎样对付？

🎓

透射面FW-H要求面是闭合的。但若下游闭合，喷流会穿过那个"盖子"，面内外声场抵消不净，低频虚假噪声产生。

对策：

  • 面不闭合：下游开口，理论上四极捕捉不完整，但低Mach数常可接受 → 许可指标取决于应用
  • 时间平均end-cap补正：计算面end-cap处时间平均流量，从积分减去。Fluent、STAR-CCM+已选项化
  • 面在喷流外：不求四极完整捕捉，喷流音源用固体面FW-H加载项处理折中案

实务最稳妥是多个面位置计算，验证end-cap影响很小。

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