永久磁石解析
理论与物理
永久磁石
老师，永久磁石在FEM中如何处理？
主要永久磁石材料
材料 $B_r$ [T] $H_{cJ}$ [kA/m] $(BH)_{max}$ [kJ/m³] 用途 NdFeB（烧结） 1.2〜1.5 800〜2500 300〜450 电机、发电机 SmCo 0.9〜1.1 600〜2000 150〜250 高温应用 铁氧体 0.3〜0.4 200〜400 25〜40 低成本、扬声器 Alnico 0.7〜1.3 40〜160 10〜80 仪表、传感器
NdFeB的性能压倒性地强啊。
EV/HEV电机离不开NdFeB。但存在稀土元素价格波动的风险，铁氧体电机的复兴也在研究中。
总结
- 在FEM中设置$B_r$和磁化方向 — 永久磁石的基础
- NdFeB: $B_r = 1.2$〜1.5 T — 最强的永久磁石
- $(BH)_{max}$ — 磁石能量密度的指标
Coffee Break 闲谈
钕磁铁的诞生——佐川真人于1982年改变的电磁设备世界
现代高性能电机、扬声器、MRI不可或缺的钕磁铁（Nd₂Fe₁₄B）是1982年由住友特殊金属的佐川真人博士发明的。其最大磁能积（BHmax）是此前钐钴磁铁的两倍以上，一举实现了EV用电机“小型化、高输出”。唯一的弱点是高温下矫顽力下降，在120〜150°C以上会迅速退磁。在CAE中准确评估这一“温度特性”，已成为EV/混合动力车电机设计中不可或缺的环节。
各项的物理意义
- 电场项 $\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$：法拉第电磁感应定律。随时间变化的磁通密度产生电动势。【日常例子】自行车发电机（发电装置）通过旋转磁铁使附近的线圈产生电压——这是磁场随时间变化会感应出电场这一定律的直接应用。IH电磁炉也基于相同原理，高频磁场的变化在锅底感应出涡流，通过焦耳热加热。
- 磁场项 $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \partial \mathbf{D}/\partial t$：安培-麦克斯韦定律。电流和位移电流产生磁场。【日常例子】电线通电后周围产生磁场——这就是安培定律。电磁铁基于此原理工作，通过线圈通电产生强磁场。智能手机的扬声器也应用了电流→磁场→振膜受力的原理。在高频（GHz频段天线等）下，位移电流 $\partial D/\partial t$ 不可忽略，用于描述电磁波辐射。
- 高斯定律 $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_v$：表明电荷是电通量的发散源。【日常例子】用垫板摩擦头发会产生静电使头发竖起——带电的垫板（电荷）放射状地发出电力线，对轻质的头发施加力。电容器设计中，电极间的电场分布即用此定律计算。ESD（静电放电）对策也基于高斯定律的电场分析。
- 磁通守恒 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$：表示不存在磁单极子。【日常例子】将条形磁铁切成两半也无法得到只有N极或只有S极的磁铁——N极和S极总是成对出现。这意味着磁力线描绘的是“无始无终的闭合回路”。在数值分析中，为满足此条件，采用矢量势 $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ 的公式化方法，自动保证磁通守恒。
假设条件与适用范围
- 线性材料假设：磁导率・介电常数不依赖于磁场・电场强度（饱和区域需要非线性B-H曲线）
- 准静态近似（低频）：位移电流项可忽略（$\omega \varepsilon \ll \sigma$）。涡流分析中常用
- 2D假设（截面分析）：电流方向均匀且可忽略端部效应时有效
- 各向同性假设：各向异性材料（如硅钢板的轧制方向等）需要定义方向特性
- 不适用的案例：等离子体（电离气体）、超导体、非线性光学材料需要额外的本构关系
老师，永久磁石在FEM中如何处理？
| 材料 | $B_r$ [T] | $H_{cJ}$ [kA/m] | $(BH)_{max}$ [kJ/m³] | 用途 |
|---|---|---|---|---|
| NdFeB（烧结） | 1.2〜1.5 | 800〜2500 | 300〜450 | 电机、发电机 |
| SmCo | 0.9〜1.1 | 600〜2000 | 150〜250 | 高温应用 |
| 铁氧体 | 0.3〜0.4 | 200〜400 | 25〜40 | 低成本、扬声器 |
| Alnico | 0.7〜1.3 | 40〜160 | 10〜80 | 仪表、传感器 |
NdFeB的性能压倒性地强啊。
EV/HEV电机离不开NdFeB。但存在稀土元素价格波动的风险，铁氧体电机的复兴也在研究中。
- 在FEM中设置$B_r$和磁化方向 — 永久磁石的基础
- NdFeB: $B_r = 1.2$〜1.5 T — 最强的永久磁石
- $(BH)_{max}$ — 磁石能量密度的指标
钕磁铁的诞生——佐川真人于1982年改变的电磁设备世界
现代高性能电机、扬声器、MRI不可或缺的钕磁铁（Nd₂Fe₁₄B）是1982年由住友特殊金属的佐川真人博士发明的。其最大磁能积（BHmax）是此前钐钴磁铁的两倍以上，一举实现了EV用电机“小型化、高输出”。唯一的弱点是高温下矫顽力下降，在120〜150°C以上会迅速退磁。在CAE中准确评估这一“温度特性”，已成为EV/混合动力车电机设计中不可或缺的环节。
各项的物理意义
- 电场项 $\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$：法拉第电磁感应定律。随时间变化的磁通密度产生电动势。【日常例子】自行车发电机（发电装置）通过旋转磁铁使附近的线圈产生电压——这是磁场随时间变化会感应出电场这一定律的直接应用。IH电磁炉也基于相同原理，高频磁场的变化在锅底感应出涡流，通过焦耳热加热。
- 磁场项 $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \partial \mathbf{D}/\partial t$：安培-麦克斯韦定律。电流和位移电流产生磁场。【日常例子】电线通电后周围产生磁场——这就是安培定律。电磁铁基于此原理工作，通过线圈通电产生强磁场。智能手机的扬声器也应用了电流→磁场→振膜受力的原理。在高频（GHz频段天线等）下，位移电流 $\partial D/\partial t$ 不可忽略，用于描述电磁波辐射。
- 高斯定律 $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_v$：表明电荷是电通量的发散源。【日常例子】用垫板摩擦头发会产生静电使头发竖起——带电的垫板（电荷）放射状地发出电力线，对轻质的头发施加力。电容器设计中，电极间的电场分布即用此定律计算。ESD（静电放电）对策也基于高斯定律的电场分析。
- 磁通守恒 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$：表示不存在磁单极子。【日常例子】将条形磁铁切成两半也无法得到只有N极或只有S极的磁铁——N极和S极总是成对出现。这意味着磁力线描绘的是“无始无终的闭合回路”。在数值分析中，为满足此条件，采用矢量势 $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ 的公式化方法，自动保证磁通守恒。
假设条件与适用范围
- 线性材料假设：磁导率・介电常数不依赖于磁场・电场强度（饱和区域需要非线性B-H曲线）
- 准静态近似（低频）：位移电流项可忽略（$\omega \varepsilon \ll \sigma$）。涡流分析中常用
- 2D假设（截面分析）：电流方向均匀且可忽略端部效应时有效
- 各向同性假设：各向异性材料（如硅钢板的轧制方向等）需要定义方向特性
- 不适用的案例：等离子体（电离气体）、超导体、非线性光学材料需要额外的本构关系
数值解法与实现
FEM中的永久磁石
永久磁石可作为等效电流源处理：
对于均匀磁化，体电流为零，仅存在面电流。FEM求解器在内部自动执行此转换。
求解器设置
总结
- 永久磁石 = 等效面电流 — FEM内部自动转换
- 仅需指定$B_r$和磁化方向 — 用户设置简单
永久磁石的退磁分析——确认工作点是否越过BH曲线的“膝点”
永久磁石的退磁分析中，需确认每个磁石单元的“工作点（B, H）”是否在退磁曲线的膝点（Knee Point）之上。通过FEM计算所有磁石单元的B和H，并将工作点绘制在退磁曲线上，以评估退磁风险。高温、大电流、反向磁场的组合是最恶劣工况。分析步骤为：①在最恶劣工况的电流和温度下进行FEM计算，②提取各单元的B-H，③与不同温度下的退磁曲线比较，计算裕度。JMAG和ANSYS Maxwell均标准支持此退磁分析工作流。
边单元（Nedelec单元）
专用于电磁场分析的单元。自动保证切向分量的连续性，消除伪模式。是3D高频分析的标准。
节点单元
用于标量势公式化。在静磁场的标量势法或静电场分析中有效。
FEM vs BEM（边界元法）
FEM：适用于非线性材料・非均匀介质。BEM：自然处理无限域（开域问题）。混合FEM-BEM也有效。
非线性收敛（磁饱和）
使用牛顿-拉夫森法处理B-H曲线的非线性。残差标准：通常为 $||R||/||R_0|| < 10^{-4}$。
频域分析
通过时间谐波假设归结为稳态问题。需要进行复数运算，但宽带特性需通过时域分析获取。
时域的时间步长
需要最高频率成分的1/20以下的时间步长。隐式时间积分可使用更大的步长，但需注意精度。
频域与时域的选用
频域分析类似于“将收音机调到特定频率”——可以高效计算单一频率下的响应。时域分析类似于“同时录制所有频道”——可以再现包含所有频率成分的瞬态现象，但计算成本高。
实践指南
实务
IPM电机、SPM电机、直线电机、磁力耦合器、磁悬浮的设计。
检查清单
- [ ] 是否考虑了$B_r$的温度系数（NdFeB: -0.12%/°C）
- [ ] 磁化方向是否正确（径向 or 平行 or Halbach）
- [ ] 是否进行了退磁分析（是否存在反向磁场导致$B_r$下降的区域）
- [ ] 磁石边缘的网格是否足够（准确计算漏磁）
- [ ] 是否使用了工作温度下的$B_r$（150°C时NdFeB的$B_r$下降20%）
“量产产品的退磁偏差”——磁石等级选定与设计裕度的确保
在EV用IPM电机的量产中，即使设计相同，个体间的退磁裕度也可能存在差异。原因是磁石的批次间偏差以及组装时的磁石定位精度差异。若磁石标称Br存在±3%的偏差，在最差工况下，工作温度会比设计值低5〜10 K。解决方案是：①在采购规格中严格规定磁石等级的公差，②通过FEM灵敏度分析确认“Br为-3%时的最差工况工作点”并设定裕度，③在组装线建立全数检测环形磁石剩余磁通密度的体制。基于仿真的公差设计是制造质量的核心。
分析流程的比喻
电机的电磁场分析类似于“给吉他调音”。调整琴弦粗细（线圈匝数）和琴桥位置（磁石配置），以引出最美妙的音色（高效的扭矩特性）。改变一个参数，整体的平衡就会改变——因此参数化研究非常重要。
初学者容易陷入的误区
“空气区域？为什么要用网格划分空气？”——这是几乎所有初次接触电磁场分析的人都会产生的疑问。答案是“因为磁力线也会扩散到铁心之外”。如果将分析区域限制在铁心边缘，无处可去的磁通会“撞上”边界并反射，产生实际中不存在的磁通集中。想象一下房间太小，球不断撞到墙壁反弹的状态。
边界条件的思考方式
远场边界条件看似不起眼，实则至关重要。需要在数值上表达“从此处向外是无限广阔的空间”。如果设置错误，磁通就会像撞上“看不见的墙壁”一样被反射回来。
软件比较
工具
| 工具 | 特点 |
|---|---|
| JMAG | 电机永久磁石分析的行业标准 |
| Ansys Maxwell | 通用电磁场求解器，集成于ANSYS Workbench |
| Flux | Altair产品，擅长非线性磁路分析 |
| FEMM | 免费2D电磁场求解器，适合学习和小型分析 |
总结
- JMAG — 电机设计专用，日本市场主流
- ANSYS Maxwell — 通用性强，多物理场耦合
- Flux — 非线性分析出色，Altair生态系统
- FEMM — 入门学习，快速验证
软件选择——JMAG vs ANSYS Maxwell vs Flux
选择电磁场分析软件时，需考虑“设计对象”、“公司环境”、“预算”三个轴。JMAG在电机设计方面功能丰富，但价格昂贵。ANSYS Maxwell在通用性和多物理场耦合方面占优，但学习曲线陡峭。Flux在非线性分析方面表现出色，且与Altair HyperWorks生态系统集成良好。对于初学者，建议从FEMM开始，掌握FEM的基本流程后再迁移到商业软件。许多公司采用“JMAG用于电机详细设计，ANSYS用于系统级EMC评估”的混合策略。
JMAG的特点
- 电机设计专用模板丰富（IPM、SPM、感应电机等）
- 日本材料库（JFE、新日铁等钢铁公司的B-H曲线）
- 与CAD（CATIA、SolidWorks）的接口良好
- 强大的脚本功能（JMAG-Designer Script）
ANSYS Maxwell的特点
- 与ANSYS Workbench无缝集成（热、结构、流体耦合）
- 强大的参数化分析和优化功能
- 支持高频（HFSS）和低频（Maxwell）的统一平台
- 全球支持网络
Flux的特点
- 非线性磁路分析精度高
- 与Altair HyperStudy集成，用于优化和DOE
- 支持超导和铁电体等特殊材料
- 相对较低的总拥有成本
なった
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