涡度方程

涡度 $\boldsymbol{\omega}$ 是表示流体局部旋转的矢量量，定义为速度场的旋度（curl）。

完全正确。比如一个线性剪切流 $u = ky$、$v = 0$，即使整个流看起来是直线流动，也有 $\omega = -k \neq 0$，所以存在涡度。这说明涡度与「漩涡」的存在是两个不同的概念。

在Navier-Stokes方程两边作用 $\nabla \times$ 算子就能得到涡度方程。对于不可压缩流体，结果是：

第一项 $(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla)\mathbf{u}$ 是涡管伸展/倾斜项（vortex stretching）。在三维流中，当涡管被拉长时，其截面变细，角动量守恒导致涡度增加。龙卷风或浴缸排水涡变细时转速加快，就是这个效应。

第二项 $\nu \nabla^2 \boldsymbol{\omega}$ 是粘性扩散项，表示涡度由于分子粘性而扩散。动粘性系数 $\nu$ 越大，涡度扩散和消散就越快。

很敏锐的观察。二维中 $\boldsymbol{\omega}$ 仅有z分量，$(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla)\mathbf{u} = 0$，所以涡度方程简化为简单的平流-扩散方程。

在不可压缩、正压流体中，涡度不在流体内部生成。涡度的主要来源如下：

壁面附近的网格分辨率最为关键。要么把壁面第一个单元的 $y^+$ 控制在1以下，要么用壁函数从壁面剪切应力近似涡度通量。

对于非粘性、正压流体且仅受有势体力作用的情况，沿着闭合曲线的循环 $\Gamma = \oint \mathbf{u} \cdot d\mathbf{l}$ 是守恒的。由Stokes定理，$\Gamma = \int_S \boldsymbol{\omega} \cdot d\mathbf{S}$，所以这对应于涡度方程中粘性项和斜压项都为零的情况。

完全同意。涡度方程是更一般的描述，包含了粘性和斜压效应的全部细节。

对于二维不可压缩流，涡度-流函数法（vorticity-stream function method）是经典方法。将涡度方程和流函数的Poisson方程耦合求解。

在二维情况下，未知数只有 $\omega$ 和 $\psi$ 两个，避免了压力-速度耦合问题（不需要SIMPLE法等迭代）。但三维拓展很复杂，因为涡度变成三分量矢量，实用性受限。

用有限差分法（FDM）在均匀间距 $h$ 的网格上，中心差分离散Poisson方程：

FVM中在单元界面处评估涡度通量。平流通量用二阶风上或TVD方案，扩散通量用中心差分。OpenFOAM的scalarTransportFoam求解器用FVM计算涡度平流-扩散，是个很好的参考。

主要的时间积分方案如下：

对的。平流的CFL条件是 $\Delta t < h/|u_{max}|$。扩散的稳定性条件是 $\Delta t < h^2/(4\nu)$。高Reynolds数时平流的CFL支配，低Reynolds数时扩散限制更严格。

涡度不能直接给定。要从流函数间接导出。Thom公式是典型的方法。在壁面（$j=0$）利用无滑移 $u=v=0$ 和 $\psi=0$：

Woods公式能达到三阶精度：$\omega_{i,0} = -\frac{3\psi_{i,1}}{h^2} - \frac{\omega_{i,1}}{2}$。Briley公式用Taylor展开可达四阶。但精度越高收敛越慢，通常Thom公式已够用。

这正是瓶颈。代表性的求解方法有：

网格数 $100 \times 100$ 左右SOR法足够。$1000 \times 1000$ 以上用多重网格法快得多。OpenFOAM的fvMatrix中GAMGsolv支持多重网格。

涡度场可视化对理解流动极有帮助。主要用法：

Fluent可以用Custom Field Function定义0.5*(Vorticity_Magnitude^2 - Strain_Rate_Magnitude^2)。STAR-CCM+也在Field Function中定义。OpenFOAM直接用postProcess -func Q输出。

Lid-driven cavity（盖驱动腔体）是最广用的基准。正方形区域上壁以恒定速度 $U$ 移动，其他三壁静止。Ghia等（1982）的结果是公认的对比数据。

Re增大主涡中心向腔心移动，角部二次涡显著发展。Re=5000时下角有明显的三次涡。网格粗会捕捉不到，是收敛性的好指标。

完全可以。Re=100的圆柱周围卡门涡的问题是涡度场非定常分析的经典例子。Strouhal数 $St = fD/U \approx 0.164$（Re=100）是验证指标。

实现要点：

选Transient，用Pressure-Based求解器和SIMPLE法。空间：Second Order Upwind，时间：Second Order Implicit。Monitor中记Lift coefficient的时间历程来确定涡释放周期。

涡度是速度的微分，比速度场需要一阶更高的分辨率。具体是：

这正是涡法（vortex method）的用武之地。用拉格朗日方法追踪离散涡，无涡区域不用网格，计算量能大幅降低。但加入壁面会让边界处理复杂，得衡衡。

直接求解涡度方程的专用求解器很少，但从N-S方程得到涡度的功能各工具都有。涡度分析的特色对比如下：

OpenFOAM框架下可以自己编。以scalarTransportFoam为基础实现涡度输运方程求解器，再用Poisson方程算流函数。研究用的公开实现已有。

后处理涡度分析功能对比如下：

STAR-CCM+的Vortex Core功能从速度梯度张量特征值自动提取涡心线。飞机翼尖涡或涡轮机械的涡结构分析很好用。ParaView也有VTK涡核提取滤器，但STAR-CCM+更易用。

涡度分析在LES/DES中最重要，需要时间上追踪涡结构。

研究开发要自定义，非Open openFOAM不行。产业用途要涡结构可视化和定量评估高效，STAR-CCM+有优势。Fluent通用性强，UDF拓展几乎无上限，但涡特化功能略少。

涡度分析本身不需追加许可，但LES/DES的时间解析分析耗计算资源巨大。

许可证上确实如此，但要算入配置难度和缺乏官方支持的风险。初学者先在Fluent/STAR-CCM+小规模探索，经验成熟了再迁OpenFOAM+HPC，是聪明的策略。

涡法（Vortex Method）是拉格朗日方式追踪离散涡要素的方法。涡度场用离散点涡或涡团的集合表达：

用Biot-Savart律从涡度恢复速度。二维里：

涡局限的外部流动问题。翼后流、喷流混合、涡环碰撞等。反过来，有壁面的内部流或乱流壁层解析弱，需网格法-涡法混合研究中。

乱流能级串联是从涡角度理解的：大尺度涡通过vortex stretching生成小尺度涡，最终粘性散逸。

这是千年大奖问题之一。3D N-S方程光滑解的有限时奇点性未解。超高分辨率DNS（$4096^3$格子）数值调查中，但确定答案未得。

通常DNS求原始变量（速度-压力），然后后处理算涡度。不过涡度基础定式DNS也有研究，Kim & Moin（1985）开创。

关注的研究热点：

实验数据只有部分速度时，涡度方程这个物理约束能填空白。PIV数据补完和超分辨已有应用。

涡度分析特有的常见问题及应对汇总如下。

最常见的问题。原因是数值扩散。查下面项：

Fluent的Spatial Discretization > Momentum改成Second Order Upwind或以上。理想用Bounded Central Differencing（LES用）数值扩散最小。

可能的原因和对策：

壁涡是 $\omega_{wall} = -\frac{\partial u_{tangential}}{\partial n}$，壁层速度梯度解析不精会振荡。对策：

非粘性2D流enstrophy应守恒。增长说明格式有散逸/分散问题。

常见问题和对策：

NaN通常是发散。涡度分析易发散的情况和对策：