Forchheimer方程
理论：给多孔介质流动加上惯性
概述
我用达西定律算过滤器压降，结果只有实测的一半左右。
很可能是流速太快，超出了达西定律的适用范围。达西定律描述的是在颗粒或纤维间隙中缓慢流动、只有黏性起作用的状态。流速升高后，流动在间隙中反复加速减速、在颗粒后方分离，于是增加了与流速平方成正比的损失。把它加上就是Forchheimer方程。
Forchheimer方程
$u$ 为表观流速（流量除以截面积），$K$ 为渗透率 [m²]，$\beta$ 为Forchheimer系数（非达西系数）[1/m]。第一项为黏性损失，第二项为惯性损失。两项之比表示偏离达西定律的程度：
填充床用Ergun方程
对于近似球形颗粒的填充层，Ergun方程给出同样形式的公式，可由粒径 $d$ 和孔隙率 $\varepsilon$ 估算 $K$ 和 $\beta$。纤维、泡沫等非颗粒多孔介质，则需要根据试验数据确定系数。
多孔介质研究始于喷泉用水
达西定律是1856年法国工程师亨利·达西在为第戎市的喷泉和供水设计砂滤池时发现的经验规律。将近半个世纪后的1901年，德国工程师福希海默指出流速较大时压力损失会超过达西定律的预测，并加入了流速平方项。两个公式都不是先有理论，而是源自供水这一实际需要。
算例：玻璃珠填充床
系数估算
直径3 mm 玻璃珠以孔隙率0.38填充时，由Ergun方程得 $K \approx 8.56\times10^{-9}$ m²，$\beta \approx 6{,}590$ 1/m。示例假定水的密度为1000 kg/m³、黏度为0.001 Pa·s，空气密度为1.2 kg/m³、黏度为0.000018 Pa·s，据此将压力梯度分为两项：
| 流体·流速 | 颗粒雷诺数 | 黏性项 | 惯性项 | 惯性占比 |
|---|---|---|---|---|
| 水 1 mm/s | 3 | 117 Pa/m | 7 Pa/m | 5 % |
| 水 5 mm/s | 15 | 584 Pa/m | 165 Pa/m | 22 % |
| 水 10 mm/s | 30 | 1,168 Pa/m | 659 Pa/m | 36 % |
| 水 50 mm/s | 150 | 5,838 Pa/m | 16,478 Pa/m | 74 % |
| 空气 0.05 m/s | 10 | 105 Pa/m | 20 Pa/m | 16 % |
| 空气 0.5 m/s | 100 | 1,051 Pa/m | 1,977 Pa/m | 65 % |
颗粒雷诺数只有3，就偏差5%？
对，一般认为达西定律只在颗粒雷诺数约1以内严格成立，而过滤器和填充床的实际运行往往高于此值。像地下水那样极慢的流动用达西定律就够了，但设备内部的流动最好先认为需要Forchheimer项。开头那个过滤器的例子，实测是计算的2倍，说明惯性项约占一半。
由试验数据确定系数
以压降除以流速为纵轴、流速为横轴作图可得一条直线，截距为 $\mu/K$，斜率为 $\beta\rho$。流速范围应包含实际运行条件，至少测4～5个点。只由一个测点反算 $K$，会把该流速下的惯性影响也塞进渗透率里。
在CFD中的应用
多孔介质模型输入
许多通用CFD软件的多孔介质模型都采用上式，输入“黏性阻力 $1/\alpha$”和“惯性阻力 $C_2$”。上述填充床 $1/\alpha \approx 1.17\times10^{8}$ 1/m²，$C_2 \approx 1.32\times10^{4}$ 1/m。惯性阻力定义中是否带 ½ 因软件而异，务必对照手册中的公式确认。
- 表观流速还是实际流速：有的模型在多孔区内使用表观流速，有的使用孔隙内的实际流速。移植系数时要统一前提。
- 各向异性：纤维过滤器、蜂窝体、换热器翅片在不同方向上的阻力差别很大。把垂直方向的阻力设大，使流动沿一个方向。
- 壁面附近：填充床靠近壁面处孔隙率大，流动偏向沿壁（壁效应）。容器直径小于粒径10～20倍时不可忽略。
过滤器详细建模划算吗
把过滤器、催化剂载体或散热器翅片列按实际形状划分网格，达到数亿网格并不罕见。多数情况下目标是整个设备的流量分配和压降，用多孔介质模型替代既快又足够准确。高效的做法是分两步：只对一小块代表性部分建立详细模型，作为求多孔系数的“虚拟试验”，再把结果传给整体模型。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 对快速流动只用达西定律 | 严重低估压降 | 加入惯性项 |
| 由一个测点反算渗透率 | 其他流速下对不上 | 用多个流速做直线拟合 |
| 弄错CFD系数中的½ | 惯性阻力相差2倍 | 对照手册公式确认 |
| 混淆表观流速与实际流速 | 阻力相差孔隙率倍数 | 统一前提 |
| 忽略各向异性 | 流动横向泄漏 | 加大垂直方向阻力 |
我想改变粒径和流速试试。
用Ergun方程填充床压降计算改变粒径、孔隙率和流速，就能看到惯性项占比的变化。渗透率的概念见达西定律·渗透率模拟器，试验方法见常水头渗透试验模拟器。慢速流动见达西流，需要处理壁面附近时见Brinkman方程，填充床整体设计见填充床。