老师，我听说Spalart-Allmaras模型在航空领域经常使用，这具体是一种什么样的模型？

Spalart-Allmaras（SA）模型是一种单方程模型，它仅通过一个关于修正涡粘性 $\tilde{\nu}$ 的输运方程来描述湍流。该模型由Philippe Spalart和Steven Allmaras于1992年提出。它是专门针对飞机机翼绕流开发的，现已成为NASA的标准湍流模型之一。

既然是单方程模型，那是不是比k-epsilon这样的两方程模型计算量更小？

没错。由于输运方程少了一个，因此计算成本更低，收敛也更快。该模型在近壁区表现良好，对于附着边界层和弱逆压梯度下的流动具有很高的精度。

斯帕拉特-阿尔玛拉斯模型

Q: 请告诉我具体的方程。

修正涡粘性 $\tilde{\nu}$ 的输运方程如下： $$ \frac{D\tilde{\nu}}{Dt} = c_{b1}\tilde{S}\tilde{\nu} - c_{w1}f_w\left(\frac{\tilde{\nu}}{d}\right)^2 + \frac{1}{\sigma}\left[\nabla\cdot\left((\nu + \tilde{\nu})\nabla\tilde{\nu}\right) + c_{b2}(\nabla\tilde{\nu})^2\right] $$

分类: 流体解析（CFD） | 综合版 2026-04-06

CAE visualization for spalart allmaras theory - technical simulation diagram

Spalart-Allmarasモデル

理论与物理

概述

🧑‍🎓

老师，我听说Spalart-Allmaras模型在航空领域经常使用，这到底是个什么样的模型呢？

🎓

Spalart-Allmaras（SA）模型是一个单方程模型，仅通过一个关于修正涡粘性 $\tilde{\nu}$ 的输运方程来描述湍流。由Philippe Spalart和Steven Allmaras于1992年发表。它是专门针对飞机机翼绕流开发的，现已成为NASA的标准湍流模型之一。

🧑‍🎓

单方程的意思是说，它比k-epsilon的两方程模型更轻量吗？

🎓

没错。由于少了一个输运方程，计算成本更低，收敛也更快。它在近壁面区域表现良好，对于附着边界层和弱逆压梯度下的流动具有很高的精度。

控制方程

🧑‍🎓

请告诉我具体的方程。

🎓

修正涡粘性 $\tilde{\nu}$ 的输运方程如下。

$$ \frac{D\tilde{\nu}}{Dt} = c_{b1}\tilde{S}\tilde{\nu} - c_{w1}f_w\left(\frac{\tilde{\nu}}{d}\right)^2 + \frac{1}{\sigma}\left[\nabla\cdot\left((\nu + \tilde{\nu})\nabla\tilde{\nu}\right) + c_{b2}(\nabla\tilde{\nu})^2\right] $$

🎓

各项的物理意义如下。

项	式	物理意义
生成项	$c_{b1}\tilde{S}\tilde{\nu}$	由平均速度梯度产生的湍流生成
耗散项	$c_{w1}f_w(\tilde{\nu}/d)^2$	依赖于壁面距离 $d$ 的破坏
扩散项	$\frac{1}{\sigma}[\nabla\cdot((\nu+\tilde{\nu})\nabla\tilde{\nu}) + c_{b2}(\nabla\tilde{\nu})^2]$	分子扩散+湍流扩散

涡粘性的计算

🧑‍🎓

如何从 $\tilde{\nu}$ 求出涡粘性 $\nu_t$ 呢？

🎓

使用阻尼函数 $f_{v1}$ 按如下方式计算。

$$ \nu_t = \tilde{\nu}\, f_{v1}, \quad f_{v1} = \frac{\chi^3}{\chi^3 + c_{v1}^3}, \quad \chi = \frac{\tilde{\nu}}{\nu} $$

在近壁面区域（$\chi \ll 1$），$f_{v1} \to 0$，$\nu_t$ 会自动衰减。这是SA模型的一大特点，无需额外添加低雷诺数阻尼函数。

模型常数

🧑‍🎓

有多少个常数呢？

🎓

以下是标准常数。

常数	值	常数	值
$c_{b1}$	0.1355	$c_{b2}$	0.622
$\sigma$	2/3	$\kappa$	0.41
$c_{w1}$	$c_{b1}/\kappa^2 + (1+c_{b2})/\sigma$	$c_{w2}$	0.3
$c_{w3}$	2.0	$c_{v1}$	7.1

🧑‍🎓

看起来常数很多，但 $c_{w1}$ 是从其他常数推导出来的呢。实质上独立的常数大概有6个左右吧。

🎓

没错。而且壁面距离 $d$ 是唯一的几何输入，无需额外求解湍流长度尺度方程。这正是单方程模型的简洁之处。

Coffee Break 闲谈

“用一个方程解机翼”——Philip与Amir的赌注

1992年由Philip Spalart和Steven Allmaras发表的SA模型，其设计理念是“只求解涡粘性本身的单个输运方程”。当时的CFD界普遍认为“不求解两个方程就无法计算湍流”，因此单方程方法受到了质疑。然而，它在机翼表面边界层的计算精度上不逊于甚至优于两方程模型，在航空业界迅速普及。它之所以长期被NASA的外部空气动力学CFD指南推荐，正是因为这单方程的轻量与稳健。

各项的物理意义

时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下拧开水龙头的瞬间。最初水流会不稳定地喷溅，过一会儿才变成稳定的水流，对吧？描述这个“正在变化的过程”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只观察“经过足够长时间流动稳定之后”的状态——也就是令此项为零。计算成本因此大幅降低，所以先用定常分析求解是CFD的基本策略。
对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶丢进河里会怎样？它会随水流被带到下游，对吧？这就是“对流”——流体运动搬运物体的效果。暖气的热风能到达房间另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有个有趣的地方——这项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速越快，这项会急剧增强，变得难以控制。这正是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多”→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置不管的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水，对吧？因为蜂蜜的粘性（$\mu$）高，所以不易流动。粘性越大，扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，雷诺数大的流动中，对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
压力项 $-\nabla p$：按压注射器的活塞，液体就会从针头有力地射出，对吧？为什么呢？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差产生了推动流体的力。水坝放水也是同样的原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里容易误解的点是：CFD中的“压力”通常指表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然出错，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
源项 $S_\phi$：被加热的空气会上升——为什么呢？因为比周围空气轻（密度低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。此外，燃气灶火焰产生化学反应热、工厂电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，都用源项来表示。如果忘记源项会怎样？在自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——得到冬天开了暖气但热空气却不上升这种物理上不可能的结果。

假设条件与适用范围

连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
不可压缩假设（Ma < 0.3 时）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
不适用的情况：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等方法）

量纲分析与单位制

变量	SI单位	注意事项·换算备忘
速度 $u$	m/s	从入口条件的体积流量换算时，注意截面面积的单位
压力 $p$	Pa	区分表压和绝对压力。可压缩分析中使用绝对压力
密度 $\rho$	kg/m³	空气：约1.225 kg/m³@20°C，水：约998 kg/m³@20°C
粘性系数 $\mu$	Pa·s	注意与运动粘性系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆
雷诺数 $Re$	无量纲	$Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转换的判定指标
CFL数	无量纲	$CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性

数值解法与实现

FVM中的离散化

🧑‍🎓

在CFD求解器中如何对SA模型进行离散化呢？

🎓

有限体积法（FVM）中的离散化，与其他标量输运方程采用相同的框架。将对流项和扩散项转换为面通量进行离散化。

$$ \int_V \frac{\partial(\rho\tilde{\nu})}{\partial t}dV + \oint_S \rho\tilde{\nu}\mathbf{u}\cdot d\mathbf{A} = \oint_S \frac{\rho(\nu+\tilde{\nu})}{\sigma}\nabla\tilde{\nu}\cdot d\mathbf{A} + \int_V S_{\tilde{\nu}}\, dV $$

🎓

但SA模型有特有的注意事项。非线性扩散项 $c_{b2}(\nabla\tilde{\nu})^2$ 不符合标准扩散项的形式，因此需要作为源项处理，或者想办法改写为守恒形式。

壁面距离 $d$ 的计算

🧑‍🎓

壁面距离是怎么计算的呢？需要所有网格单元到最近壁面的距离对吧？

🎓

是的。计算壁面距离主要有两种方法。

方法	计算量	精度	并行化
几何搜索（暴力法）	$O(N_{cell} \times N_{wall})$	精确	通信成本高
泊松方程法	$O(N_{cell})$	近似	容易

🎓

泊松方程法通过求解 $\nabla^2 \phi = -1$，然后用 $d \approx |\nabla\phi| + \sqrt{|\nabla\phi|^2 + 2\phi}$ 来估算。Fluent默认使用这种方法。在大规模并行计算中比几何搜索更高效。

边界条件

🧑‍🎓

在壁面和远场要设置什么样的边界条件呢？

🎓

边界	条件	备注
壁面	$\tilde{\nu} = 0$	完全无滑移条件
入口	$\tilde{\nu}_{\text{in}} = 3\nu$ 〜 $5\nu$	低湍流度的外部流动
远场	$\tilde{\nu}_{\infty} / \nu = 3$ 〜 $5$	NASA推荐值

🎓

入口的 $\tilde{\nu}$ 设置会影响结果。NASA湍流模型资源推荐 $\tilde{\nu}/\nu = 3$，但为了与风洞实验对比，需要根据湍流强度进行调整。

数值稳定性的技巧

🧑‍🎓

使用SA模型时计算会变得不稳定吗？

🎓

如果 $\tilde{\nu}$ 变为负值，在物理上是无意义的。可以使用以下对策。

负值截断: 当 $\tilde{\nu} < 0$ 时截断为零
SA-neg 变体: Allmaras等人（2012）提出的允许负值版本。修正了生成项和破坏项，使得即使 $\tilde{\nu} < 0$ 也能稳定计算
源项的隐式线性化: 将 $S_{\tilde{\nu}} = S_c + S_p \cdot \tilde{\nu}$ 分解，并将 $S_p < 0$ 的部分纳入系数矩阵

🧑‍🎓

SA-neg变体在OpenFOAM中也有实现吗？

🎓

OpenFOAM的v2306及以后版本中，SpalartAllmaras 类包含了负值处理。Fluent也已支持SA-neg。

Coffee Break 闲谈

SA模型的壁距离——微小输入的巨大影响

Spalart-Allmaras模型的唯一几何输入是壁面距离 $d$，这个 $d$ 的精度决定了整个模型的精度。对于复杂形状，例如机翼与襟翼的间隙、机体与发动机的结合部，壁距离的计算会变得困难。特别是如果将内壁（空腔的内表面）误识别为“外壁”，壁距离会被高估，导致局部涡粘性被高估。使用SA模型时，养成务必可视化检查壁距离场的习惯，是保障计算精度的现场铁则。

迎风格式（Upwind）

一阶迎风：数值扩散大但稳定。二阶迎风：精度提高但有振荡风险。高雷诺数流动中必不可少。

中心差分（Central Differencing）

二阶精度，但佩克莱特数 > 2 时会产生数值振荡。适用于低雷诺数的扩散主导流动。

TVD格式（MUSCL、QUICK等）

通过限制器函数抑制数值振荡，同时保持高精度。对于捕捉激波或陡峭梯度有效。

有限体积法 vs 有限元法

FVM：自然地满足守恒定律。CFD的主流。FEM：对复杂形状和多物理场问题有利。SPH等无网格法也在发展中。