标准k-ε模型
理论与物理
概述
老师，标准k-ε模型在湍流领域是最有名的模型吧？能再从头教我一遍基础吗？
这是Launder和Spalding（1974）提出的两方程湍流模型。它求解湍流动能 $k$ 及其耗散率 $\varepsilon$ 的输运方程。在工业CFD中有着最广泛的使用历史。
两方程模型，是因为要解 $k$ 和 $\varepsilon$ 这两个方程吗？
没错。它基于涡粘性假设（Boussinesq假设），用涡粘性系数 $\mu_t$ 来近似雷诺应力张量。也就是说，形式如下。
输运方程
$k$ 和 $\varepsilon$ 各自的输运方程是什么形式呢？
首先是湍流动能 $k$ 的方程。
接下来是耗散率 $\varepsilon$ 的方程。
这里涡粘性定义如下。
生成项 $P_k$ 使用平均应变率张量 $S_{ij}$ 可以写成如下形式。
模型常数
请告诉我各常数的标准值。
标准k-ε模型的常数如下。这些是Launder-Spalding根据均匀各向同性湍流的衰减数据和对数律等确定的数值。
| 常数 | 值 | 确定依据 |
|---|---|---|
| $C_\mu$ | 0.09 | 对数律区域的匹配性 |
| $C_{\varepsilon 1}$ | 1.44 | 均匀剪切流实验 |
| $C_{\varepsilon 2}$ | 1.92 | 网格湍流衰减实验 |
| $\sigma_k$ | 1.0 | 湍流扩散的经验值 |
| $\sigma_\varepsilon$ | 1.3 | 湍流扩散的经验值 |
这些常数不能改吗？
原则上基本不更改。但是，为了匹配圆射流的扩展率，存在将 $C_{\varepsilon 1}$ 改为1.60的"圆射流修正"方法。这些知识在实际工作中有时也会用到。
优势与劣势
能整理一下标准k-ε的擅长和不擅长之处吗？
优势:
- 鲁棒性好，易于收敛
- 在工业内部流动（管道、风道）中经验丰富
- 计算成本低
- 初始条件设置容易（从湍流强度和尺度计算 $k$, $\varepsilon$）
劣势:
- 对旋流、曲率强的流动会高估湍流动能
- 无法准确捕捉逆压梯度下的分离
- 近壁面需要壁面函数（标准模型是高雷诺数型）
- 各向同性涡粘性假设的局限，不适用于强各向异性湍流
为什么在旋流中会高估呢？
因为 $C_\mu$ 被固定为常数0.09。在旋流或曲率强的区域，有效的 $C_\mu$ 应该更小，但标准模型无法反映这一点。这是Realizable k-ε模型改进的地方。
C_μ=0.09这个数字的分量——Launder与Spalding的执着
标准k-ε模型的常数C_μ=0.09，是Brian Launder和D. B. Spalding在1972年发表的论文中提出的值。这个数字并非理论推导得出，而是针对管内湍流、边界层、后向台阶等多个实验数据，通过反复拟合确定的。当时超级计算机还不存在，数值计算依靠穿孔卡片的批处理。据说他们等待数天得到结果，然后看着结果微调常数。正是这种执着的标定工作，才使得半个世纪后的今天，依然有"首先用k-ε"这样的信任感产生。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下拧开水龙头的瞬间。最初水流会不稳定地喷溅，过一会儿才变成稳定的水流对吧？描述这个"正在变化的过程"的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只看"经过足够时间流动稳定之后"——也就是令此项为零。计算成本会大幅下降，因此先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶丢进河里会怎样？会被水流带着运往下游对吧。这就是"对流"——流体的运动搬运物体的效果。暖风的暖气能到达房间另一端，也是因为空气这个"搬运工"通过对流输送热量。这里有趣的是——这项包含"速度×速度"，因此是非线性的。也就是说，流速变快这项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解："对流和传导差不多"→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合对吧。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水对吧。因为蜂蜜的粘性（$\mu$）高，所以不易流动。粘性越大扩散项越强，流体的运动就变得"粘稠"。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，Re数大的流动中对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：按压注射器的活塞，液体就会从针头有力地射出对吧？为什么呢？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差产生了推动流体的力。大坝放水也是同样原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。"有压力差的地方就会产生流动"——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里的误解点：CFD的"压力"多为表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然出错，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：受热的空气会上升——为什么呢？因为比周围更轻（密度更低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。其他还有，燃气灶的火焰产生化学反应热，工厂的电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力…这些都是"从外部向流体注入能量或力"的作用，都用源项表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——冬天房间里开了暖气但暖空气不上升，这种物理上不可能的结果就会出现。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3时）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件中从体积流量换算时，注意截面积单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压与绝对压力。可压缩分析中使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气: 约1.225 kg/m³@20°C、水: 约998 kg/m³@20°C |
| 粘性系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘性系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转换的判断指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
基于有限体积法的离散化
请告诉我如何在CFD求解器中求解标准k-ε的输运方程。
CFD中有限体积法（FVM）是标准方法。对 $k$ 和 $\varepsilon$ 的输运方程在单元体积上积分，利用高斯散度定理转换为面上的通量。一般离散格式的选择如下。
| 项 | 推荐格式 | 备注 |
|---|---|---|
| 对流项 | 二阶迎风（Second Order Upwind） | 抑制数值扩散 |
| 扩散项 | 中心差分 | 二阶精度为标准 |
| 时间项（非定常） | 二阶隐式法 | 兼顾稳定性与精度 |
一阶迎风不行吗？
一阶迎风数值扩散大，会显著降低湍流场的预测精度。尤其在分离区域和剪切层会出现问题。不过，在收敛困难时，先只用一阶迎风进行初始几次迭代再切换到二阶的方法，在实际工作中经常使用。
与SIMPLE系列算法的耦合
压力-速度耦合与k-ε方程的关系是怎样的？
在SIMPLE、SIMPLEC、PISO等压力基求解器中，一次迭代内按以下顺序求解。
1. 求解动量方程（速度场临时更新）
2. 求解压力修正方程
3. 修正速度与压力
4. 求解 $k$ 方程
5. 求解 $\varepsilon$ 方程
6. 更新 $\mu_t$
7. 收敛判定 → 若未收敛则返回1
$k$ 和 $\varepsilon$ 通常采用分离解法（segregated）依次求解。在密度基求解器（coupled）中，有时也会同时求解所有变量。
松弛系数的设置
松弛系数重要吗？
非常重要。标准k-ε模型中推荐的欠松弛因子（URF）大致如下。
| 变量 | 推荐URF（定常） | 备注 |
|---|---|---|
| 压力 | 0.3 | 若收敛慢可降至0.2 |
| 动量 | 0.7 | |
| $k$ | 0.8 | |
| $\varepsilon$ | 0.8 | |
| 湍流粘性比 | 1.0 | 通常无需更改 |
$k$ 或 $\varepsilon$ 的松弛系数设得太低会怎样？
收敛会变得极其缓慢。而且 $\mu_t$ 的更新会延迟，可能导致与速度场不匹配而产生振荡。如果无论如何都发散，可以将 $\varepsilon$ 的URF单独降至0.5左右，这是一个办法。
边界条件
入口的湍流边界条件怎么设置呢？
通常根据湍流强度 $I$ 和湍流长度尺度 $l$ （或水力直径 $D_H$）来计算。
$$ k = \frac{3}{2}(U_{avg} \cdot I)^2 $$相关主题
この記事の評価ご回答ありがとうございます！参考に
なったもっと
詳しく誤りを
報告
入口的湍流边界条件怎么设置呢？
通常根据湍流强度 $I$ 和湍流长度尺度 $l$ （或水力直径 $D_H$）来计算。
相关主题
なった
詳しく
報告