壁関数
理论与物理
概述
老师，经常听到“壁面函数要求 y+ 在30以上”这种说法，但为什么需要这样的条件呢？
壁面附近的湍流边界层具有粘性底层、缓冲层和对数层这种明确的结构。壁面函数正是利用了对数层的速度分布，以便在网格较粗的情况下计算壁面附近区域。因为无需直接求解粘性底层，所以可以大幅减少网格数量。
意思是跳过粘性底层吗？
准确地说，并非“跳过”，而是用半经验函数来近似壁面附近的速度、温度和湍流量。这就是壁面函数的本质。
壁面边界层结构
请先讲解一下边界层的结构。
从靠近壁面开始依次有三个区域。
| 区域 | $y^+$ 范围 | 主导效应 | 速度分布 |
|---|---|---|---|
| 粘性底层 | $y^+ < 5$ | 分子粘性主导 | $u^+ = y^+$（线性） |
| 缓冲层 | $5 < y^+ < 30$ | 粘性与湍流混合 | 过渡区域（无明确公式） |
| 对数层 | $30 < y^+ < 300$ | 湍流应力主导 | $u^+ = \frac{1}{\kappa}\ln(y^+) + B$ |
这里无量纲量的定义如下。
$u_\tau$ 是摩擦速度，$\tau_w$ 是壁面剪切应力，$\nu$ 是运动粘度系数。
对数律（Law of the Wall）
请详细讲解一下对数律的公式。
对数层中的速度分布由下式表示。
$$ u^+ = \frac{1}{\kappa}\ln(E\, y^+) $$
请详细讲解一下对数律的公式。
对数层中的速度分布由下式表示。
这里 $\kappa \approx 0.41$（冯·卡门常数），$E \approx 9.793$（针对光滑壁面的积分常数）。将其改写后得到，
粗糙壁面的情况会怎样呢？
对于粗糙壁面，常数会根据粗糙度高度 $k_s$ 进行修正。
这里 $k_s^+ = k_s u_\tau / \nu$ 是粗糙度雷诺数。如果 $k_s^+ < 2.25$ 则分类为水力光滑壁面，$k_s^+ > 90$ 则分类为完全粗糙壁面。
壁面函数的种类
壁面函数也有种类之分吗？
大致分为3种。
| 壁面函数种类 | 特征 | $y^+$ 要求 |
|---|---|---|
| Standard Wall Function | 严格应用对数律。Launder-Spalding (1974) | $30 < y^+ < 300$ |
| Scalable Wall Function | 当 $y^+ < 11.225$ 时切换到粘性底层公式 | 无限制（内部校正） |
| Enhanced Wall Treatment | 低雷诺数阻尼 + 壁面函数混合 | $y^+ \approx 1$ 为理想情况 |
Standard Wall Function 是最经典的，前提是第一层网格的 $y^+$ 在30~300范围内。超出此范围精度会显著下降。
原来如此，所以才会说“$y^+$ 要在30以上”。反过来，如果是低雷诺数模型，就需要 $y^+ \approx 1$。
对数律的发现——Prandtl与弟子们脚踏实地的实验
作为壁面函数依据的“对数法则（log-law）”的发现，源于 Ludwig Prandtl 及其弟子们在20世纪初进行的细致管道湍流实验。远离壁面的湍流区域中速度分布遵循对数函数这一事实，是从当时的数据分析中凭经验发现的，理论推导是后来才补充的。这个对数律作为当今壁面函数的基础，在数百万的CFD计算中每天被使用，这可以说是100年前实验数据惊人的生命力。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下拧开水龙头的瞬间。最初水流会不稳定地喷溅，过一会儿才会变成稳定的水流，对吧？描述这个“变化过程中”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只看“经过足够时间流动稳定之后”——也就是将此项设为零。计算成本会大幅下降，因此先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶丢进河里会怎样？会被水流带着往下游漂，对吧？这就是“对流”——流体运动搬运物体的效应。暖风的暖气能到达房间另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——这项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速变快这项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多”→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置不管的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水，对吧？因为蜂蜜的粘度（$\mu$）高，所以不易流动。粘度越大扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，Re数大的流动中对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：推注射器的活塞，液体就会从针头有力地射出，对吧？为什么呢？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差产生了推动流体的力。大坝放水也是同样的原理。天气图中等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里的误解点：CFD的“压力”大多指表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然变得奇怪，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：受热的空气会上升——为什么呢？因为比周围空气轻（密度低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。此外，燃气灶的火焰产生化学反应热，工厂的电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，用源项来表示。如果忘记源项会怎样？自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——变成冬天房间里开了暖气但热空气不上升这种物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3 时）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等方法）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件中从体积流量换算时，注意截面积单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压与绝对压力。可压缩分析中使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气: 约1.225 kg/m³@20°C、水: 约998 kg/m³@20°C |
| 粘度系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘度系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转换的判定指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
壁面函数的数值实现
壁面函数在求解器内部具体是如何实现的？
动量的壁面函数
速度场对应的壁面函数是如何计算的？
根据对数律，反算壁面相邻单元中心速度 $U_P$ 与壁面剪切应力 $\tau_w$ 的关系。
将其对 $\tau_w$ 求解，得到
但是因为 $u_\tau = \sqrt{\tau_w/\rho}$，所以 $\tau_w$ 是隐式包含的。实现时使用牛顿法或简易代入法迭代求解，或者采用定义等效涡粘性的方法。
k 与 epsilon 的壁面边界条件
湍流量 $k$ 和 $\varepsilon$ 需要施加什么样的边界条件？
壁面相邻单元的 $k$ 和 $\varepsilon$ 按如下方式设定。
这里 $C_\mu = 0.09$。$\varepsilon$ 通常直接作为单元中心值代入（固定值）。对于 $k$，有些求解器会求解到壁面相邻单元的输运方程，也有些求解器会用上式固定。
原来不同求解器的处理方式不同啊。
没错。Ansys Fluent 中 $k$ 在求解输运方程的同时用壁面函数修正壁面处的生成项，$\varepsilon$ 则在壁面相邻单元强制使用上式的值。OpenFOAM 的 epsilonWallFunction 也是类似的实现。
温度的壁面函数
也有针对热的壁面函数吗？
当然有。温度场也有类似于对数律的壁面函数。Jayatilleke (1969) 提出的使用P函数的形式是标准形式。
这里 $\text{Pr}_t \approx 0.85$（湍流普朗特数），$\text{Pr}$ 是分子普朗特数。对于空气（$\text{Pr} \approx 0.71$），P函数的修正很小，但对于油类（$\text{Pr} > 100$）等高普朗特数流体会产生很大影响。
y+ 的事前估算
在生成网格之前，有估算 $y^+$ 的方法吗？
使用平板边界层的经验公式进行估算是常规做法。
$$ C_f \approx 0.058\, Re_L^{-0.2} $$
$$ \tau_w = \frac{1}{2} C_f \rho U_\infty^2 $$
$$ u_\tau = \sqrt{\tau_w / \rho} $$
$$ y = \frac{y^+ \nu}{u_\tau} $$
也就是说，可以从目标 $y^+$ 和特征雷诺数反算出第一层网格的厚度 $y$。这样就可以设置边界层网格了。
Coffee Break 闲谈
y+计算工具的真正价值——“事前估算”的文化
如今搜索“y+ calculator”会出现无数的在线工具，但这些工具的普及是在2010年代之后。在那之前的CFD工程师，都是用手算或表格计算来使用边界层解析解（如布拉修斯公式等），估算第一层网格的厚度。这是一种“先计算y+再设计网格”，而非“先试着生成网格进行计算再确认y+”的文化。
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在生成网格之前，有估算 $y^+$ 的方法吗？
使用平板边界层的经验公式进行估算是常规做法。
也就是说，可以从目标 $y^+$ 和特征雷诺数反算出第一层网格的厚度 $y$。这样就可以设置边界层网格了。
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如今搜索“y+ calculator”会出现无数的在线工具，但这些工具的普及是在2010年代之后。在那之前的CFD工程师，都是用手算或表格计算来使用边界层解析解（如布拉修斯公式等），估算第一层网格的厚度。这是一种“先计算y+再设计网格”，而非“先试着生成网格进行计算再确认y+”的文化。
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