Delaunay三角分割 — CAE术语解说

有限元方法网格生成的核心算法之一。Delaunay三角分割是指满足"任意三角形外接圆内部不包含其他点"这一条件（外接圆条件）的三角形分割，对于给定的点集具有唯一性（除退化情况外）。这种分割具有最小角度最大化的性质，扁平三角形（细长元素）较少。有限元方法精度对元素形状比至关重要，因此满足Delaunay条件的网格在精度和稳定性方面都表现优异。

代表性的算法是增量插入法。逐个添加点，使用flip（边交换）修复外接圆条件被破坏的三角形。广泛使用的实现包括Bowyer-Watson算法和Incremental Flip法。三角形（2D）向四面体（3D）的扩展就是Delaunay分割，Tetgen（开源软件）和Netgen都实现了这一方法。但对于复杂的边界形状（尖锐角或细狭缝），需要使用Constrained Delaunay作为扩展，强制保持边界边。

Delaunay分割虽然满足外接圆条件，但不能保证元素的均匀性。因此需要叠加Ruppert算法（2D）或Chew算法等质量细化技术。对于最小角度低于阈值（例如20度）的三角形，添加新点（Steiner点）并重新应用外接圆条件，反复进行这一过程。在3D中，"细长四面体（扁平四面体）"的除去较为困难，通常结合基于优化的光顺处理（Laplacian、ODT优化）。

有深层的对偶关系。Voronoi图为每个点分配一个"到该点距离最近的区域"，由相同的点集构建。Delaunay三角分割所有三角形外接圆的圆心相连就形成Voronoi图——这就是对偶性。在有限体积法（FVM）的单元中心法中，Voronoi单元用作控制体积。此外，Voronoi网格生成多面体单元，在OpenFOAM的snappyHexMesh这样的多面体网格生成器中也被应用。