TVD — CAE术语解说

Total Variation Diminishing 的缩写，指「全变差随时间递减」的差分方案的性质。简单来说，它能数学上保证解中不会出现非物理的振荡（wiggles）。

典型的情况发生在冲击波附近。当用中心差分这样的二阶精度方案来计算超音速喷管内的流场时，冲击波前后的压力和密度会出现锯齿状的振荡。有时候甚至会出现不可能的负密度。TVD方案通过限流函数（flux limiter）来抑制这种振荡。

一阶迎风差分虽然不会产生振荡，但数值扩散较大，导致解模糊。TVD方案在平滑区域保持接近二阶的精度，而在不连续面附近自动降低到一阶精度来防止振荡。可以说是综合了两者的优点。

对流方程的离散化是TVD方案的主要应用场景。让我们看看Navier-Stokes方程中的对流项。

Van Leer限制器的综合性能最好。minmod限制器比较稳定但数值扩散较多，superbee限制器比较锐利但容易过度压缩。在火箭发动机燃烧室的分析中，通常选用Van Leer限制器。

MUSCL（Monotone Upstream-centered Schemes for Conservation Laws）是实现TVD方案的代表性方法。通过在单元边界的插值中引入TVD限制函数，可以在满足守恒律的同时得到无振荡的高精度解。OpenFOAM和Fluent都支持这种方法，处理压缩性流场时一定会碰到。