FEniCS项目
理论：只写弱形式就能求解的机制
概述
FEniCS的用法和其他有限元软件有什么不同？
它不是从固定菜单中选择分析类型，而是自己写出要解方程的弱形式。例如泊松方程，乘以试函数v并分部积分后的式子，在Python中几乎按数学公式写成“a = inner(grad(u), grad(v))*dx”“L = f*v*dx”。FEniCS的形式编译器把它转换为单元计算代码，DOLFINx组装整体矩阵，用PETSc求解。新的本构关系或耦合问题只要写出弱形式就能马上试验，这是它的优势；但边界条件的给法或函数空间的选择出错时，可能不报错却给出错误答案。所以用已知解检验尤为重要。
泊松方程的弱形式
u为未知函数，v为试函数，f为右端项（热源等），Ω为求解域。右侧两行是在FEniCS（UFL）中的写法。
诞生于北欧大学的项目
FEniCS于2003年前后由芝加哥大学和瑞典查尔姆斯理工大学等的研究人员发起，后来以挪威Simula研究所等为中心发展起来。2019年以后迁移到新的实现DOLFINx，为旧版（legacy DOLFIN）编写的教程代码可能无法直接运行，需要注意。
算例
表格来自独立Python/SciPy实现的P1三角形有限元参考计算，并非DOLFINx运行结果。单位正方形采用同向对角线划分、三点积分。节点达到机器精度只适用于这个特殊问题和网格，不保证一般P1网格或单元内部插值同样精确。
例1：教程解 u = 1 + x² + 2y²（线性单元，8×8网格）
f = −6、边界施加精确解时，此特殊均匀三角形网格的参考节点误差约1.6×10⁻¹⁵。但单元内部P1插值并不等于二次精确解，还应检查全域误差。
例2：sin(πx)sin(πy)的收敛（线性单元）
| 网格 | 未知量 | L2误差 | 节点最大误差 | L2阶数 |
|---|---|---|---|---|
| 8×8 | 49 | 2.04×10⁻² | 1.27×10⁻² | — |
| 16×16 | 225 | 5.20×10⁻³ | 3.20×10⁻³ | 1.97 |
| 32×32 | 961 | 1.31×10⁻³ | 8.03×10⁻⁴ | 1.99 |
网格加倍时L2误差约降为1/4，符合线性单元理论的二阶收敛，未知量约增加为4倍。
例1误差几乎为零，例2却有误差。只做例1的检验不够吗？
不够。例1只在特定网格上节点吻合。应对非多项式问题加密网格，测量L2及梯度误差。光滑解、适当网格和积分下，P1通常L2约2阶、梯度约1阶；奇异性或正则性不足也会降低阶数，不一定是实现错误。DOLFINx使用fem.assemble_scalar与MPI归约计算范数，不应混同旧DOLFIN的errornorm。
入门流程
- 用conda或Docker安装DOLFINx，运行官方教程的泊松方程。
- 确认u = 1 + x² + 2y²的节点误差达到机器精度。
- 用非多项式解加密网格，测量误差阶数。
- 写出自己方程的弱形式，用同样方法借助制造解验证。
- 大问题用MPI并行，选择PETSc的求解器和预处理器。
“教程代码跑不起来”
使用FEniCS最先容易碰到的问题是，网上很多代码示例是为旧版（legacy DOLFIN，到2019年为止）编写的。DOLFINx中网格生成、边界条件指定、函数空间构建和结果输出的方法都变了，旧版代码无法直接运行。以官方网站的DOLFINx教程和所用版本的演示程序为范本是捷径。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 直接使用旧版代码 | 报错无法运行 | 以DOLFINx示例为范本 |
| 边界位置指定错误 | 无报错地给出错误答案 | 用已知解确认 |
| 精确解用低阶插值 | 低估误差 | 用高阶空间插值 |
| 只比较节点值 | 漏掉单元错误 | 用范数看阶数 |
| 大规模问题用直接法 | 内存不足 | 迭代法加预处理 |
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常见问题
FEniCS是什么？
用有限元法求解偏微分方程的开源库集合。用UFL（统一形式语言）以接近数学公式的形式在Python中写出弱形式，形式编译器自动生成单元计算代码，由DOLFINx（当前版本）进行组装和求解。广泛用于新方程和耦合问题的原型开发以及研究和教学。
如何确认用FEniCS写的代码是否正确？
使用解析解或制造解，检查边界及全域误差和网格加密收敛阶。二次解的节点吻合是特殊网格的性质，不保证一般线性单元达到机器精度。
改用二次单元能好多少？
理论上函数值L2误差的阶数从2提高到3。在FEniCS中只需在函数空间定义中把阶数从1改为2即可切换。线性单元在32×32网格（961个未知量）时L2误差为1.3×10⁻³，二次单元往往在较粗的网格上就能达到同等或更高的精度，达到同样精度所需的未知量常常更少。
参考资料与检验范围
所列数值是基于文中假设的教学参考计算。资料用于理论和设置参考，不证明已在各软件中复现这些数值。工程决策须按实际条件验证。