回弹分析
理论与物理
什么是回弹
不一样。两者都是非线性屈曲的一种，但载荷-位移曲线的形状不同。
突弹跳变（snap-through） — 载荷达到极大值（极限点）后，载荷下降而位移继续增加。载荷-位移曲线呈“山峰”形。可通过Riks法追踪。
回弹（snap-back） — 不仅载荷下降，位移也返回。载荷-位移曲线呈“S形”或“环形”。通常的Riks法难以追踪。
位移返回？ 这是指结构像弹簧一样弹回来吗？
在准静态意义上是的。例如对浅拱施加载荷，到达某一点时会急剧反转并向另一侧“啪”地弹过去。这个过程的载荷-位移曲线呈S形。动态上是一瞬间，但准静态上载荷和位移都会经过一个先返回的路径。
回弹的物理
什么样的结构会发生回弹？
典型例子：
| 结构 | 现象 | 特征 |
|---|---|---|
| 浅拱 | 载荷下反转 | 最经典的回弹 |
| 浅穹顶 | 外压下向内凹陷 | 壳体的回弹 |
| 双稳态壳体 | 两个稳定形状间的迁移 | 有意的回弹（变形结构） |
| 混凝土破坏 | 裂纹扩展时的载荷-位移 | 软化区域中的回弹 |
| 分离（脱层） | 界面破坏的扩展 | 能量释放导致的回弹 |
混凝土破坏也会发生回弹吗？
是的。混凝土拉伸试验中，裂纹扩展时存在载荷和位移都减小的区间。这就是回弹。评估破坏能量时需要正确追踪这一路径。
数学分类
如何从数学上区分突弹跳变和回弹？
可以根据载荷-位移曲线的雅可比矩阵（切线矩阵）性质来分类：
极限点（突弹跳变） — 载荷控制的雅可比矩阵 $\partial F / \partial u = 0$。载荷为极值。位移单调增加。
回弹点 — 位移控制的雅可比矩阵 $\partial u / \partial F = 0$，同时 $\partial F / \partial u = 0$。载荷和位移都发生折返。
几何上，载荷-位移曲线的切线垂直（$du/d\lambda = 0$）的点是回弹点。突弹跳变中切线只是水平（$d\lambda/du = 0$）。
所以位移控制也无法通过回弹点啊。这和载荷控制无法通过极限点是同样的道理。
正是如此。要通过回弹点，需要另一个控制量，既不是载荷也不是位移。
回弹的能量论
能从能量角度解释一下回弹吗？
回弹可以理解为应变能的释放。结构在储存了应变能的状态下，某个触发因素（载荷的微小增加）导致储存的能量一次性释放。
载荷-位移曲线“折返”部分的面积对应于能量释放量。回弹越剧烈，释放能量越大，动态响应（振动、冲击）也越大。
脆性破坏也会发生同样的事情吧。
没错。格里菲斯理论的能量释放率概念与回弹概念同根同源。裂纹扩展时，储存的弹性能量一次性释放，导致裂纹不稳定传播。
总结
我来整理一下回弹的理论。
要点：
- 回弹是载荷和位移都返回的不稳定现象 — 与突弹跳变（仅载荷返回）不同
- 发生于浅拱、穹顶、破坏问题 — 与广泛的结构问题相关
- 载荷控制和位移控制都无法追踪 — 需要特殊的数值方法
- 可理解为能量释放 — 储存的应变能的急剧释放
- 伴随动态响应 — 即使准静态分析追踪了路径，实际也是动态迁移
载荷控制和位移控制都无法追踪，这真是个相当棘手的问题啊。
正因如此，回弹的数值追踪是非线性力学中最具挑战性的问题之一。
回弹与位移控制的逆向行进
回弹是载荷-位移曲线中位移方向也“返回”的急剧转折点，与突弹跳变不同。例如将直径20mm的钢球压入软钢板的试验中，载荷峰值后位移向反方向（返回方向）转换的现象。1973年，Crisfield、Willam、Riks（各自独立）证明了弧长法可以追踪这一路径，但从物理上可解释为“急剧的能量释放”。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出去的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是“缓慢施加载荷所以加速度可以忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长性”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形性”，强度是“不易破坏性”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用于整个内部的力”（体积力），轮胎压路面的力是“仅作用于表面的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力……都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系发生旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。弹一下吉他弦试试。声音会一直响吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦变成了热。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量来提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设定适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也要统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
回弹的数值追踪方法
回弹用通常的Riks法无法追踪对吧？那该怎么办？
通常的Riks法（球形弧长法）以弧长为约束条件，但在回弹点处弧长方向无法唯一确定，可能导致追踪失败。有几种替代方法。
圆柱弧长法
圆柱弧长法仅在位移空间中定义弧长（不包含载荷参数）：
这是从通常Riks法的弧长约束中去掉了 $\psi^2 \Delta\lambda^2$ 项的形式。
为什么这样就能追踪回弹？
回弹点处位移“返回”，导致载荷-位移空间中的弧长不唯一。但仅在位移空间中定义弧长，就能自然地追踪位移折返的方向。不过，当曲线急剧弯曲时，收敛性可能会下降。
位移控制的技巧
还有控制特定自由度位移的方法。不选择在回弹点处折返的自由度，而是选择单调持续增加的自由度作为控制量。
不一定存在这样的自由度吧？
在拱的回弹中，载荷作用点的位移会折返，但拱端的水平位移可能单调持续增加。将这个水平位移作为控制量，就能追踪载荷作用点位移折返的路径。
Abaqus中可以使用子选项来监控载荷控制以外的自由度，并利用该自由度的单调性。具体来说，通过 CONTROLS 调整 FIELD 参数，或活用STATIC, RIKS 的节点/自由度指定。
能量控制法
还有以能量释放率为控制量的方法。尤其对断裂力学中的回弹（裂纹扩展）有效：
なった
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