旋转不平衡响应
理论与物理
什么是旋转不平衡
老师，什么是旋转不平衡？
是由于旋转体的重心偏离旋转轴（偏心距 $e$）而产生的离心力。这个离心力以与旋转速度相同的频率激励结构。
与旋转速度的平方成正比！ 高速旋转时力会变得更大。
所以高速旋转机械的平衡（减少不平衡量）很重要。ISO 1940规定了平衡质量等级（G等级）。
响应分析
不平衡力是同步激励（1次: $\omega$，2次: $2\omega$, ...）。在FEM的频率响应分析中：
1. 将不平衡力 $F = me\omega^2$ 定义为旋转速度的函数
2. 计算各旋转速度下的响应（位移振幅、振动速度）
3. 判断响应是否在允许值（ISO 10816等）以内
不平衡力的大小与 $\omega^2$ 成正比，但响应在共振附近会急剧增加。
$\omega^2$ 的输入增大和共振的放大效应叠加时，会产生非常大的响应。因此避开临界速度（固有频率 = 旋转速度）是设计的首要事项。
总结
要点：
- $F = me\omega^2$ — 不平衡力与$\omega^2$成正比
- 在临界速度下共振 — 固有频率与旋转速度一致
- ISO 1940的平衡质量 — 规定允许的不平衡量
- ISO 10816的振动限值 — 响应振动的允许值
转子的不平衡即使只有一个原子也会成为问题
超精密主轴（用于半导体光刻设备，转速超过60,000rpm）的允许不平衡量要求在Grade G0.4（ISO 21940-11）以下，数值上为数g·mm以下。这相当于一张纸（约80g/m²）的碎片（约1cm²）的质量偏心。1990年代ASML在EUV光刻机的光学系统旋转部件上应用了这一标准，成为促使精密旋转设备平衡标准更加严格的一个契机。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出去的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动就越难停止。建筑物在地震中摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。在静力分析中此项设为零，但这是基于“缓慢施加力所以加速度可以忽略”的假设。在冲击载荷或振动问题中绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——用相同的力拉伸铁棒和橡皮筋，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长”的特性就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓的紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷的方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他的弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样的原理——故意吸收振动能量来提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃下去。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意点·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也要统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢: 约210 GPa，铝: 约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中是tonne/mm³（钢约为 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
FEM中的不平衡响应
不平衡力在FEM中如何输入？
Nastran
```
$ 不平衡力（旋转速度依赖）
RLOAD2, 100, 200, , , 1.
DLOAD, 300, 1., 1., 100
$ F = meomega^2 → 将力的振幅设置为与ω^2成正比
```
根据不平衡质量和偏心距离，在RLOAD2中设置振幅与ω^2成正比。
Abaqus
```
*STEP
*STEADY STATE DYNAMICS
f1, f2, npoints, 1.
*CLOAD, OP=NEW, AMPLITUDE=unbalance_amp
node, 1, 1.0
node, 2, 1.0
```
将AMPLITUDE定义为ω^2。在x, y分量上施加90°相位差（旋转力）。
因为不平衡力是旋转的，所以要在x方向和y方向同时施加90°相位差的力呢。
是的。$F_x = me\omega^2 \cos(\omega t), F_y = me\omega^2 \sin(\omega t)$。在频率响应分析中，作为复载荷 $F_x + iF_y$ 输入。
总结
要点：
- 将 $F = me\omega^2$ 作为频率依赖载荷输入 — RLOAD2（Nastran）, AMPLITUDE（Abaqus）
- x, y方向90°相位差 — 旋转力的表达
- 与坎贝尔图的联动 — 确认避开临界速度
双面平衡的起源是1907年
旋转体的双面动平衡理论由W.E. Dalby于1907年公式化。如今的全自动平衡机（霍夫曼、肖能等）也不过是将此双面法电子化而已。汽车轮胎平衡时区分单面和双面，源于Dalby的理论区分了“悬臂”和“简支”情况的数学依据。
线性单元（一阶单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
二阶单元（带中间节点）
可以表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。推荐：应力评估很重要时。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（ZZ估计量等）的自动细化。有效提高应力集中部位的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）。
牛顿·拉夫森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿·拉夫森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔几次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度是线性的。
收敛判定标准
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可以超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题太耗时。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初是粗略的答案，但每次迭代精度都会提高。就像查字典时，从第一页开始按顺序找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）更高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
一阶单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，精度有限。二阶单元是“柔性曲线”——可以表现曲线变化，即使网格密度相同，精度也显著提高。但是，每个单元的计算成本会增加，因此需要根据总体的成本效益来判断。
实践指南
不平衡响应的实务
不平衡响应分析的实际工作流程是？
1. 设定不平衡量 — 根据ISO 1940的G等级×质量计算 $me$
2. 坎贝尔图 — 识别临界速度
3. 不平衡响应分析 — 各旋转速度下的位移·速度·加速度
4. 与振动限值比较 — ISO 10816, API 617等
5. 平衡不足时 → 提高平衡质量，或增加阻尼
ISO 10816的振动限值
| 组别 | 振动速度(mm/s) rms |
|---|---|
| 良好 | < 2.8 |
| 允许 | 2.8〜7.1 |
| 警告 | 7.1〜18 |
| 不可 | > 18 |
是用振动速度来评估呢。
振动速度与振动能量成正比，因此与结构的疲劳和轴承寿命有良好的相关性。
实务检查清单
喷气发动机的平衡以0.01g为单位
GE90发动机（用于波音777）的风扇叶片（每片约4kg）在组装后要调整到不平衡量小于0.01g。分析中使用MSC Nastran的ROTORDYNAMICS功能计算不平衡响应，并确认设计条件使临界转速远离起飞、巡航、着陆各工作点30%以上。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先是采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要的问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。网格质量不好，无论使用多么优秀的求解器，结果都会一团糟。
初学者容易掉入的陷阱
您确认过网格收敛性吗？是不是认为“计算能运行=结果正确”？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器只是在给定的网格上“给出一个符合方程的解”，它不会判断这个解在物理上是否合理。就像用钝刀切菜，无论多努力，结果都不会好。
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