多軸疲労
理论与物理
什么是多轴疲劳
老师，什么是多轴疲劳？
通常的S-N法假设单轴应力，但实际结构中多个方向的应力同时变化。这就是多轴疲劳。
多轴疲劳的准则
| 准则 | 参数 | 特点 |
|---|---|---|
| von Mises等效应力 | $\sigma_{vm}$ | 最简单。仅适用于比例载荷 |
| 临界面法（Critical Plane） | 损伤最大的面 | 适用于非比例载荷 |
| Fatemi-Socie | $\gamma_{max}(1+k\sigma_{n,max}/\sigma_y)$ | 基于剪切应变 |
| Smith-Watson-Topper | $\sigma_{max} \cdot \Delta\varepsilon/2$ | 基于法向应力 |
| Dang Van | 介观应力 | 高周多轴疲劳 |
临界面法是最常用的吗？
对于非比例载荷（相位错位的多轴应力），临界面法是必须的。von Mises等效应力法会得出非保守的结果。
总结
von Mises未能解决的问题
将单轴疲劳理论直接应用于多轴应力场有时会导致危险的过高估计。使用von Mises等效应力进行评估时，对于相位差180°的双轴应力，疲劳极限会被高估约40%。Brown-Miller准则（1973年）解决了这个问题，它通过最大剪切应变和最大主应变的组合进行评估，实现了与实验误差在15%以内的精度。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出去的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。建筑物在地震中摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是假设“因为缓慢施力，所以加速度可以忽略”。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时能感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——用相同的力拉铁棒和橡皮筋，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长”的特性就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（如重力）和表面力 $f_s$（如压力、接触力）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓预紧力……这些都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系发生旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。弹一下吉他的弦试试。声音会一直响下去吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力和弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量以提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃下去。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢为= 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
多轴疲劳的FEM
1. 用FEM计算所有应力分量的时间历程（$\sigma_x(t), \sigma_y(t), \tau_{xy}(t)$）
2. 在疲劳软件中搜索临界面（扫描所有方向）
3. 在临界面上进行雨流计数+损伤计算
nCode, fe-safe支持多轴疲劳的临界面法。
总结
临界面法的计算步骤
多轴疲劳的临界面法中，需要计算所有方向上的裂纹萌生参数，并找出给出最大值的面（临界面）。实现时通常以10°为步长，从0°到180°计算18个方向。作为FEM后处理实现时，对于一万个单元的实体模型计算需要数秒，但其通用性高，适用于比例和非比例载荷。
线性单元（一阶单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
二阶单元（带中间节点）
可以表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。推荐：应力评估很重要时。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（如ZZ估计量）的自动细化。有效提高应力集中区域的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）。
牛顿-拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿-拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔几次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定准则
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可以超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初是粗略答案，但每次迭代精度都会提高。就像查字典时，从第一页开始顺序查找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）来得高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
一阶单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，因此精度有限。二阶单元是“柔性曲线”——可以表现曲线变化，即使网格密度相同，精度也显著提高。但是，每个单元的计算成本增加，因此需要根据总体的成本效益来判断。
实践指南
多轴疲劳的实务
曲轴、车轴、压力容器喷嘴连接部等，多轴应力起主导作用的零件。
实务检查清单
涡轮风扇发动机盘的多轴评估
飞机发动机的压气机盘是离心力（拉伸）和热应力（压缩）同时作用的典型多轴疲劳场景。在CFM56发动机的盘中，基于多轴疲劳准则预测的寿命比单轴评估短30%，这成为了制定早期大修计划的依据。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要的问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。网格质量差的话，无论使用多么优秀的求解器，结果都会一团糟。
初学者容易陷入的陷阱
您确认了网格收敛性吗？是不是认为“计算能运行=结果正确”？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会对给定的网格返回“一个像样的答案”。但如果网格太粗糙，这个答案就会与现实有很大偏差。至少用三种不同密度的网格确认结果是否稳定——如果忽略这一点，就会陷入“因为是计算机给出的答案，所以应该正确”的危险误区。
边界条件的思考方式
边界条件的设置，和考试的“出题”是一样的。如果题目出错了呢？无论计算多么精确，答案都是错的。“这个面真的是完全固定的吗？”“这个载荷真的是均匀分布的吗？”——正确建模现实的约束条件，其实是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
工具
FEMFAT Multiaxial模块的能力
奥地利ECS公司的FEMFAT在其Multiaxial模块中实现了临界面法、积分法和等效应力法，AB公司将其用于发动机支架支架的认证分析。支持从FEM直接导入，兼容ABAQUS/ANSYS/Nastran。对于一万个单元的模型，全方向临界面搜索可在3分钟内完成。
选定时最重要的三个问题
- “要解决什么问题”：所需物理模型·单元类型是否支持多轴疲劳。例如，流体方面是否支持LES，结构方面接触·大变形的支持能力会成为差异点。
- “谁来使用”：如果是初学者团队，适合GUI完善的工具；如果是经验者，则适合脚本驱动的灵活工具。类似于汽车的自动挡（GUI）和手动挡（脚本）的区别。
- “要扩展到什么程度”：考虑到未来的分析规模扩大（HPC支持）、向其他部门扩展、与其他工具的联动，这样的选择有助于长期的成本削减。
尖端技术
多轴疲劳的尖端
非比例硬化与疲劳寿命的关系
存在相位差的多轴应力下，材料会发生附加硬化（非比例硬化），导致比单轴疲劳寿命预测短20〜40%。不锈钢SUS304在相位差90°时硬化量最大，即使相同等效应力幅，疲劳寿命也可能减半以下。2000年代开发的Itoh-Katakoke模型可以定量处理这种现象。
故障排除
多轴疲劳的故
なった
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