XFEM（拡張有限要素法）
理论与物理
XFEM是什么
老师，XFEM厉害在哪里？
XFEM的原理
在FEM的位移场中添加富集函数：
- 第1项: 通常的FEM
- 第2项: Heaviside函数 $H$ — 裂纹面的不连续（跳跃）
- 第3项: 裂纹尖端富集 $F_\alpha$ — $\sqrt{r}$的奇异场
可以不改变网格就添加裂纹。裂纹扩展也无需重新划分网格！
这就是XFEM的革命性优势。裂纹的位置用水平集法描述。
总结
XFEM的诞生：1999年的革命
XFEM（eXtended FEM）由Belytschko和Black（西北大学）于1999年提出。传统FEM中每次裂纹扩展都需要重新划分网格，而XFEM通过将Heaviside函数和裂纹尖端强化函数“添加”到现有网格上，可以在不改变网格的情况下表示裂纹。2004年Moës和Dolbow的改进加速了其实用化进程。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是“因为缓慢施加力所以加速度可以忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 和 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——用相同的力拉铁棒和橡皮筋，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长”的性质就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系发生旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。弹一下吉他的弦试试。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦变成了热。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量来改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也要统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢: 约210 GPa，铝: 约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中是tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
XFEM的FEM设置
```
*ENRICHMENT, NAME=crack, TYPE=STATIONARY CRACK
element_set
*CONTOUR INTEGRAL, XFEM, CONTOURS=5, TYPE=J
```
STATIONARY CRACK（静态裂纹的J/K评估）或PROPAGATION CRACK（裂纹扩展）。
裂纹扩展准则
总结
与水平集法结合追踪裂纹
XFEM通常与水平集法（LSM）结合来追踪裂纹形状。用ψ（法线方向）和φ（切线方向）两个水平集函数描述裂纹面和尖端，并根据裂纹生长方向更新水平集。ANSYS的SMART和Abaqus的XFEM模块都在内部集成了LSM和XFEM，用户只需设置裂纹生长准则（最大主应力·SIF比较等）即可。
线性单元（1次单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
二次单元（带中间节点）
可以表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。推荐：应力评估很重要时。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（ZZ估计量等）的自动细化。高效提高应力集中部位的精度。有h法（单元分割）和p法（增加阶次）。
牛顿·拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿·拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔几次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定准则
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可以超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初是粗略的答案，但每次迭代精度都会提高。就像查字典时，从第一页开始按顺序找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）更高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
1次单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，精度有限。2次单元是“柔性曲线”——可以表现曲线变化，即使网格密度相同精度也显著提高。但是，每个单元的计算成本增加，需要根据总体的成本效益来判断。
实践指南
XFEM实务
裂纹成核与扩展的模拟。焊接结构的裂纹、管道的疲劳裂纹。
实务检查清单
焊接结构物的XFEM裂纹生长预测
EPRI（美国电力研究所）在核电站管道焊接部位的裂纹生长评估中采用了XFEM。与传统的裂纹形状手动更新法相比，使用XFEM自动追踪使分析时间减少了80%。即使在热应力下裂纹弯曲扩展的情况，也证明了XFEM无需重新划分网格即可追踪的优越性。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要的问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。网格质量差的话，无论用多优秀的求解器，结果都会一团糟。
初学者容易掉入的陷阱
您确认过网格收敛性吗？是不是认为“计算能跑通=结果正确”？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会根据给定的网格返回“一个差不多的答案”。但如果网格太粗，这个答案就会与现实有很大偏差。至少用3个级别的网格密度确认结果是否稳定——如果忽略这一点，就会陷入“因为是计算机给出的答案所以应该正确”的危险想法。
边界条件的思考方式
边界条件的设置，和考试的“出题”是一样的。如果题目出错了呢？无论计算多么精确，答案都是错的吧。“这个面真的完全固定吗”“这个载荷真的是均匀分布吗”——正确建模现实的约束条件，其实是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
XFEM的工具
Abaqus XFEM模块的应用实例
Abaqus/Standard的*ENRICHMENT功能实现了XFEM，可以通过SIGEPS（最大主应变准则）或KCRIT（临界SIF准则）控制裂纹扩展。EDF（法国电力公司）在核电站一回路管道的SCC（应力腐蚀开裂）扩展分析中使用Abaqus XFEM，以仅增加10%的时间实现了比传统Engineering Assessment（FA-3）法更详细的物理评估。
选型时最重要的3个问题
- “要解决什么问题”
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