平面応力問題
理论与物理
什么是平面应力
老师，“平面应力”是指将三维问题简化为二维问题吗？
是的。求解三维弹性体时自由度会变得非常庞大。但对于承受面内载荷的薄板状结构，可以认为厚度方向的应力分量为零。这就是平面应力的假设。
什么样的结构适用于这个假设呢？
是厚度相对于面内尺寸足够薄的结构。具体来说：
- 薄板承受面内载荷（拉伸、压缩、剪切）作用的情况
- 支架或钣金零件的分析
- 承受水压的薄壁水坝
反过来，什么情况下不能使用平面应力假设？
是厚度方向存在约束的情况。例如水坝的厚壁或长隧道的截面。这种情况下要使用平面应变（厚度方向应变为零）假设。平面应力和平面应变看似相似实则不同，混淆两者会导致巨大误差。
控制方程
请告诉我平面应力的控制方程。
二维的力平衡方程：
协调条件（应变协调性）：
本构关系（胡克定律）会变成什么样？
平面应力的胡克定律（矩阵形式）：
$E/(1-\nu^2)$ 比通常的 $E$ 要大呢。因为泊松效应导致横向变形受到约束，所以有效刚度提高了。
很好的指正。不过在平面应力中，横向（$z$ 方向）的变形是自由的。出现 $E/(1-\nu^2)$ 是因为两个应力分量相互耦合，这与三维情况下的 $E$ 含义略有不同。
重要的一点：在平面应力中 $\sigma_{zz} = 0$，但 $\varepsilon_{zz} \neq 0$：
厚度方向会产生应变。板在面内受拉时会变薄——这就是泊松效应。
平面应力 vs. 平面应变
请再详细讲解一下与平面应变的区别。
平面应变的有效刚度比平面应力大…也就是说相同载荷下变形更小。
是的。因为 $z$ 方向的变形被完全约束，三维的约束效应使得刚度提高。这个差异在 $\nu = 0.3$ 时约为10%。看起来很小，但在应力评估中是不可忽视的差异。
Airy应力函数
我听说平面问题有一种使用“应力函数”的解法。
使用Airy应力函数 $\phi(x,y)$，可以将平衡方程和协调条件合并为一个方程：
$$ \nabla^4 \phi = 0 \quad \text{（无重力情况）} $$
请再详细讲解一下与平面应变的区别。
平面应变的有效刚度比平面应力大…也就是说相同载荷下变形更小。
是的。因为 $z$ 方向的变形被完全约束，三维的约束效应使得刚度提高。这个差异在 $\nu = 0.3$ 时约为10%。看起来很小，但在应力评估中是不可忽视的差异。
我听说平面问题有一种使用“应力函数”的解法。
使用Airy应力函数 $\phi(x,y)$，可以将平衡方程和协调条件合并为一个方程：
求解这个双调和方程，应力分量为：
应力自动满足平衡条件呢。真方便！
经典的弹性理论问题（带孔无限大板、楔形体、半平面接触问题）都可以用Airy函数求解。Kirsch问题（无限大板圆孔周围的应力集中）也是Airy函数的解。作为FEM的验证问题非常有用。
总结
我来整理一下平面应力的理论。
要点：
- $\sigma_{zz} = 0$ 的假设 —— 适用于薄板的面内问题
- 与平面应变的区分很重要 —— 假设错误会导致10%以上的误差
- 本构关系包含 $E/(1-\nu^2)$ —— 二维耦合效应
- $\varepsilon_{zz} \neq 0$ —— 厚度方向的应变是存在的
- Airy函数可求解经典问题 —— 对FEM验证很有用
要将三维问题“正确”地简化为二维，对物理的理解是必不可少的呢。
正是如此。二维单元可以大幅降低计算成本，但前提是正确判断假设是否成立。如果存疑，可以先用三维求解，再与二维结果进行比较。
平面应力假设的理论依据
平面应力假设（σz=τyz=τxz=0）适用于“厚度相对于面内尺寸足够小”的薄板。1909年Kirchhoff整理了板的弯曲与拉伸问题分离的框架，成为此后薄板/膜问题分析的基础。对于飞机翼梁腹板、汽车车门面板等厚度约1~3mm的零件，平面应力2D模型与3D壳分析的结果误差通常在1%以内。
各项的物理含义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体向前冲的经验吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是“缓慢施力因此加速度可忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉伸，哪个伸长更多？当然是橡皮筋。这种“不易伸长的程度”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系发生旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。弹一下吉他的弦试试。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样原理——特意吸收振动能量来提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也要统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm制时为tonne/mm³（钢约为 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm制用N，m制也用N统一 |
数值解法与实现
基于FEM的平面应力分析
用FEM求解平面应力问题时，使用什么单元呢？
是二维的平面应力单元。每个节点有2个自由度（$u_x, u_y$），自由度数量约为三维实体单元的1/3。
典型的单元类型
| 单元 | 节点数 | 形函数 | 精度 | 用途 |
|---|---|---|---|---|
| 3节点三角形（CST） | 3 | 线性 | 低（应变恒定） | 自动网格填充用 |
| 6节点三角形（LST） | 6 | 二次 | 高 | 复杂形状的自动网格 |
| 4节点四边形（Q4） | 4 | 双线性 | 中等 | 规则网格 |
| 8节点四边形（Q8） | 8 | 二次 | 高 | 精密分析的标准 |
CST（常应变三角形）正如其名，单元内应变恒定…那样就无法表现应力梯度了吧。
正是如此。CST在应力梯度大的地方（如应力集中部位）精度非常低。只能用于教学或粗略筛选。实际工作中二次单元（6节点三角形或8节点四边形）是标准。
积分方案的影响
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