10節点四面体要素(TET10)
理论与物理
TET10 — 三维自动网格的主角
老师，TET4是“不要用”，但TET10是可以积极使用的吗？
TET10是三维结构分析的实务标准。几乎可以对任意形状生成自动网格，精度也高。可以说现代三维FEM的大部分都是用TET10进行的。
TET10的结构
TET10和TET4有什么不同？
在TET4的4个顶点基础上，在每条边的中点添加了6个中间节点，形成10节点的四面体。每个节点有3个自由度，总计30个自由度。
形函数是二次多项式：
因为是二次形函数，所以位移在单元内呈二次变化。应变呈线性变化。
对。这是与TET4（应变恒定）的决定性区别。可以在一个单元内表现弯曲引起的应力梯度。
精度的理论背景
为什么二次单元精度高？
用泰勒展开来思考就容易理解了。用多项式近似真实的位移场时：
- TET4（一次单元）是常数项和一次项为止 → 二次及以上项为误差
- TET10（二次单元）是常数项、一次项、二次项为止 → 三次及以上项为误差
收敛速度（网格细化时的误差减少率）：
| 量 | TET4 | TET10 |
|---|---|---|
| 位移误差 | $O(h^2)$ | $O(h^3)$ |
| 应力误差 | $O(h)$ | $O(h^2)$ |
| 收敛速度 | 慢 | 快 |
TET10的应力误差以 $h^2$ 减少…网格减半时误差变为1/4。TET4减半时只能变为1/2。
所以TET10即使在粗网格下也能获得足够的精度。在自由度数量相同的情况下，TET10要精确得多。
数值积分
TET10的数值积分是怎样的？
TET10的形函数是二次的，所以B矩阵是一次。$B^T D B$ 成为二次多项式，要精确积分需要4点高斯积分。
TET10的数值积分是怎样的？
TET10的形函数是二次的，所以B矩阵是一次。$B^T D B$ 成为二次多项式，要精确积分需要4点高斯积分。
| 积分方案 | 积分点数 | 精度 | 用途 |
|---|---|---|---|
| 4点（完全积分） | 4 | 精确积分二次多项式 | 标准 |
| 1点（减缩积分） | 1 | 精度有所下降 | 特殊用途 |
TET10会使用减缩积分吗？
几乎没有。与TET4不同，TET10的完全积分（4点）通常不会发生体积闭锁。使用减缩积分只会降低精度，优点很少。
但是Abaqus的C3D10M（Modified）使用了特殊的积分方法。采用带沙漏控制的减缩积分，提高了接触问题中的稳定性。标准的C3D10和C3D10M的区别使用后面会详细说明。
曲面的近似精度
TET10也能精确表现曲面吗？
因为中间节点在边上，所以边可以变成曲线。通过将中间节点捕捉到CAD曲面，可以比TET4更精确地近似圆柱或球面等曲面。
例如，用TET4对圆孔周围建模时，圆被多边形近似。用TET10则每条边变成曲线，沿着圆。这直接关系到应力集中评估的精度。
如果不将中间节点捕捉到CAD面会怎样？
中间节点会呈直线排列，变成“直边TET10”，曲面近似精度会降到和TET4差不多。许多前处理器会自动捕捉到CAD面，但需要确认设置。
总结
我来整理一下TET10的理论。
要点：
- 10节点、二次形函数、单元内应变线性变化 — 相比TET4有质的提升
- 收敛快 — 应力以 $O(h^2)$ 收敛。是TET4收敛阶数的两倍
- 易于自动网格划分 — 几乎适用于任何3D形状
- 曲面表现精确 — 通过中间节点CAD捕捉，对曲面进行二次近似
- 三维FEM的实务标准 — “犹豫不决就用TET10”
TET10是兼具“易于自动网格划分”和“足够精度”，实用上最平衡的单元呢。
没错。虽然不完美（HEX20效率更高），但就包含网格生成成本在内的综合成本而言，TET10是最优秀的。
TET10二次形函数推导
10节点四面体单元（TET10）拥有4个顶点和6个边中点共10个节点，其形函数为完全二次多项式（10项）。使用体积坐标（L1,L2,L3,L4，L1+L2+L3+L4=1）时，顶点形函数为Li(2Li-1)，边中点为4LiLj。此公式由Zienkiewicz等人在1960年代后期于英国斯旺西大学系统化，因其与任意形状零件的自动网格生成（Delaunay分割）兼容性好而广泛普及。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出去的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，那是“因为缓慢施力所以加速度可以忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长”的性质就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形”，强度是“不易破坏”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他的弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小对吧。因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦变成了热。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量来提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃下去。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意点·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也要统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢: 约210 GPa，铝: 约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系为tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系为N，m系也统一为N |
数值解法与实现
C3D10 vs. C3D10M
Abaqus里有C3D10和C3D10M，它们有什么区别？
这是实务中最重要的区别使用之一。
| 特性 | C3D10 | C3D10M |
|---|---|---|
| 积分 | 4点完全积分 | 改良减缩积分（沙漏控制） |
| 接触稳定性 | 稍不稳定 | 稳定 |
| 体积闭锁 | $\nu > 0.45$ 时需注意 | 已处理 |
| 计算成本 | 低 | 稍高 |
| 推荐场景 | 无接触、线弹性 | 有接触、不可压缩材料、一般用途 |
如果C3D10M更万能，那一直用C3D10M不就好了吗？
Abaqus手册一般推荐C3D10M。C3D10的弱点是接触面容易出现棋盘格图案（应力振荡）。C3D10M是解决了这个问题的改良版。
但是C3D10M带有一个沙漏模式，极少数情况下沙漏变形可能成为问题。在某些场合，C3D10的结果可能更“规矩”。
各求解器的单元名称
| 求解器 | 标准TET10 | 改良TET10 | 推荐 |
|---|---|---|---|
| Abaqus | C3D10 | C3D10M, C3D10MH | C3D10M |
| Nastran | CTETRA(10) | — | CTETRA(10) |
| Ansys | SOLID187 | — | SOLID187 |
| LS-DYNA | ELFORM=17 | — | ELFORM=17 |
Nastran和Ansys没有改良版吗？
Nastran的CTETRA(10)和Ansys的SOLID187各自内置了独特的稳定化方法，相当于集成了与C3D10M相当的对策。只是名称没有分开，内部已经改良了。
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