各向同性硬化模型
理论与物理
什么是各向同性硬化
老师，什么是各向同性硬化？
各向同性硬化（isotropic hardening）是塑性变形中屈服面均匀膨胀的模型。屈服应力随塑性应变的累积而上升。
$H$ 是硬化系数。可以通过表格形式（应力-塑性应变对应表）定义任意硬化曲线。
特点
什么是包辛格效应？
FEM中的设置
总结
要点：
- 屈服面均匀膨胀 — 所有方向屈服应力相同
- 最适合单调加载 — 重复加载需用运动硬化
- 无法表现包辛格效应 — 拉伸→压缩时屈服应力相同
- 所有求解器的默认设置 — 最简单
各向同性硬化的屈服面膨胀
各向同性硬化法则中，屈服曲面随塑性变形各向同性地扩大，中心位置不变。通过累积塑性应变εₚ更新屈服应力σy(εₚ)。自1934年Prandtl提出塑性流动法则以来，作为单调载荷问题中最简单的选择，已持续使用了90多年。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有没有过急刹车时身体被向前甩出的经历？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是“缓慢施力所以加速度可忽略”的假设。冲击载荷或振动问题中绝不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 和 $\nabla \cdot \sigma$。拉伸弹簧时能感觉到“想要恢复的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉伸，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长”的特性就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形”，强度是“不易破坏”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直响吗？不，会逐渐变小。因为振动能量通过空气阻力和弦的内部摩擦变成了热能。汽车的减震器也是同样原理——特意吸收振动能量来改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷、弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm制时为tonne/mm³（钢为= 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm制用N，m制也用N统一 |
数值解法与实现
各向同性硬化的数值处理
使用Return Mapping算法处理。弹性预测→屈服判定→径向返回。与von Mises塑性相同。
表格输入
```
*PLASTIC
250., 0.0
300., 0.02
400., 0.1
450., 0.2
```
真应力-真塑性应变对应表。中间值线性插值。
总结
硬化曲线的输入格式
许多求解器以“真应力vs累积塑性应变”的表格形式接受各向同性硬化输入。Abaqus中*PLASTIC卡片最多可输入200个点。实践中，基本步骤是将拉伸试验得到的工程应力-应变通过σ_true=σ_eng(1+ε_eng)、ε_true=ln(1+ε_eng)转换，并减去弹性应变求得εₚ。
线性单元（1次单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
二次单元（带中间节点）
可表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。建议：应力评估重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（ZZ估计量等）的自动细分。有效提高应力集中部位的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）。
牛顿-拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿-拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔数次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定标准
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初答案粗略，但每次迭代精度提高。就像查字典时，从第一页开始顺序查找（直接法）不如估计位置翻开再前后调整（迭代法）高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
一次单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，精度有限。二次单元是“柔性曲线”——能表现曲线变化，相同网格密度下精度也显著提高。但每个单元的计算成本增加，需根据总体的成本效益判断。
实践指南
各向同性硬化的实务
金属单调加载（拉伸试验、成形、压力试验）中最广泛使用。
实务检查清单
冲压成形分析的常规做法
汽车车身面板的冲压分析中，将各向同性硬化法则与Swift公式（σ=Cεₙ）结合是自1980年代延续至今的常规方法。高强度钢DP980的代表值约为C≈1600MPa，n≈0.12。板厚减薄率的预测精度与实验值的偏差通常控制在3~5%以内，因此广泛用于模具设计的初期研讨。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。网格质量差的话，无论使用多优秀的求解器，结果也会一团糟。
初学者容易陷入的陷阱
您确认过网格收敛性吗？是否认为“计算能运行=结果正确”？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会根据给定的网格返回“一个差不多的答案”。但如果网格太粗，这个答案就会与现实严重偏离。至少用3个级别的网格密度确认结果是否稳定——如果忽略这点，就会陷入“计算机给出的答案应该正确”这种危险的错觉。
边界条件的思考方式
边界条件的设置，与考试的“出题”是相同的。如果题目错了会怎样？无论计算多么精确，答案都是错的。“这个面真的完全固定吗”“这个载荷真的是均匀分布吗”——正确建模现实的约束条件，其实是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
各向同性硬化的工具
所有求解器都支持标准功能。只是设置方法不同。
| 求解器 | 设置 |
|---|---|
| Abaqus | *PLASTIC 表格 |
| Nastran | MATS1 + TABLES1 |
| Ansys | TB, BISO（双线性）或 TB, MISO（多线性） |
| LS-DYNA | *MAT_24 |
参考に
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