参数设置
默认 f₁=440 Hz（A4 标准音）、f₂=444 Hz（4 Hz 失谐）、A₁=A₂=0.5。扫描会让 f₂ 在 440↔2000 Hz 之间往复运动，可观察拍在 f₁=f₂ 时消失、随频差扩大而加快的过程。
合成波形 y(t)（0~1000 ms）
蓝色＝合成波 y(t)=A₁cos(2πf₁t)+A₂cos(2πf₂t)；橙色虚线＝振幅包络；黄点＝最大点 (A_max)；红点＝最小点 (A_min)。一个包络周期对应一次可听拍。
频谱
横轴＝频率 [Hz]，纵轴＝振幅；蓝/粉谱线＝f₁ 与 f₂；黄色虚线＝平均频率 f_avg＝(f₁+f₂)/2；橙色箭头＝频差 |f₁−f₂|，即拍频的来源。
理论与主要公式
两个正弦波之和可通过和差化积公式分解为快速载波与缓慢包络的乘积。
合成波（一般式）：
$$y(t) = A_{1}\cos(2\pi f_{1} t) + A_{2}\cos(2\pi f_{2} t)$$
等振幅 $A_{1}=A_{2}=A$ 的简化：
$$y(t) = 2A\cos(2\pi f_{\mathrm{avg}} t)\cos(2\pi f_{b} t)$$
可听拍频（响度脉动率）：
$$f_{\mathrm{beat}} = |f_{1} - f_{2}|, \qquad T_{b} = \frac{1}{f_{\mathrm{beat}}}$$
$f_{\mathrm{avg}}=(f_{1}+f_{2})/2$ 是耳朵听到的高音，$f_{b}=|f_{1}-f_{2}|/2$ 是包络余弦的半频差；最大合成振幅 $A_{1}+A_{2}$，最小 $|A_{1}-A_{2}|$。在 f₁=440 Hz、f₂=444 Hz、A₁=A₂=0.5 默认下，本工具显示拍频 4.0 Hz、平均频率 442 Hz、拍周期 250 ms、最大合成振幅 1.00。
声音拍频模拟器是什么
🙋
默认参数 f₁=440 Hz、f₂=444 Hz、振幅都是 0.5 时，显示拍频 4 Hz、平均频率 442 Hz。耳朵听起来是什么样的？
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问得好。耳朵听到的大致是\"略高于 A4 的 442 Hz 单音\"，但音量每秒会\"哇—哇—哇—哇\"地强弱起伏 4 次，这就是拍。看波形卡可以发现两层结构：内层细密的振动（约 442 Hz）+ 外层缓慢的包络（4 Hz 的脉动）。包络的一个周期＝250 ms 即对应一次\"哇\"，所以拍周期显示 250 ms。把 f₂ 慢慢靠近 440 Hz，拍会越来越慢，最后完全消失。
🙋
频谱里只有 f₁ 和 f₂ 两条谱线，怎么就\"听\"得到 4 Hz 的拍频？4 Hz 又不在频谱里。
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这一点很关键。物理上信号确实只含 440 和 444 Hz，频谱中并不存在 4 Hz 的谱线。但耳蜗对瞬时声压有非线性响应，会把缓慢的包络幅度变化作为一种节奏感知出来。数学上，和差化积公式 cos α + cos β = 2cos((α+β)/2)·cos((α−β)/2) 把和写成了快速载波 × 缓慢包络，线性叠加只有两频，而知觉上就成了\"带颤动的单音\"。
🙋
把 A₂ 由 0.5 调到 0.2，拍变浅而且不再完全消失。这是为什么？
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原因在于包络最小值。等振幅时拍谷会精确归零（彻底相消干涉，A_min=0）；A₁≠A₂ 时谷点固定为 |A₁−A₂|，永远剩余一些信号。A₁=0.5、A₂=0.2 时 A_min=0.3，调制度 m=2·min(A₁,A₂)/(A₁+A₂)=0.57。现实中乐器与扬声器很难做到完全等振幅，因此实际听到的拍多半像\"颤音抖动\"，而不是干净的脉冲。
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钢琴调律师说\"拧弦栓直到拍消失\"，本工具能再现这一过程吗？
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完全可以。把 f₁=440 当作基准音，把 f₂ 当作琴弦音，依次设 444、442、441、440：拍频从 4 → 2 → 1 → 0 Hz，拍周期从 250 → 500 → 1000 → ∞ ms。当拍周期变成 ∞ 即\"每秒 0 拍\"的瞬间，琴弦就调好了。专业调律师能听到 0.5 拍/秒以下的差异。本工具里把 f₂ 精确设为 440 Hz，拍周期会显示\"∞ ms\"，波形卡的包络也会变成完全平直的直线。
物理模型与主要公式
两个余弦之和可以通过和差化积公式拆为快速载波与缓慢包络的乘积。
$$y(t) = A_{1}\cos(2\pi f_{1} t) + A_{2}\cos(2\pi f_{2} t)$$
等振幅 $A_{1}=A_{2}=A$ 时简化为
$$y(t) = 2A\cos(2\pi f_{\mathrm{avg}} t)\cos(2\pi f_{b} t)$$
其中 $f_{\mathrm{avg}}=(f_{1}+f_{2})/2$ 是耳朵感受到的快速载波音高，$f_{b}=|f_{1}-f_{2}|/2$ 是包络余弦的半频差。听觉感受到的强弱以包络绝对值的周期为准，故可听拍频 $f_{\mathrm{beat}}=|f_{1}-f_{2}|$ Hz、拍周期 $T_{b}=1/|f_{1}-f_{2}|$。最大合成振幅 $A_{\max}=A_{1}+A_{2}$（相长干涉），最小 $A_{\min}=|A_{1}-A_{2}|$（相消干涉）。
不等振幅时，包络一般式为 $\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2 A_{1} A_{2}\cos(2\pi(f_{1}-f_{2})t)}$，在最大值 $A_{1}+A_{2}$ 与最小值 $|A_{1}-A_{2}|$ 之间以拍周期 $T_{b}$ 振荡。本工具按此一般式在波形卡用橙色虚线绘制上下包络。
实际应用
乐器调律：钢琴调律师与吉他手通过\"听拍\"使琴弦调到秒拍 0。把 440 Hz 基准音叉与琴弦同时奏响，每秒拍 1 次即说明频差为 1 Hz；普通技师可达到 0.5 Hz 以内。在本工具设置 f₁=440、f₂=441，拍周期为 1000 ms，正是\"每秒 1 拍\"的状态。
外差接收机（无线电、雷达、GPS）：把 1 GHz 的输入信号与本地振荡器（如 999.9 MHz）混频，可得 100 kHz 的中频拍，便于放大与滤波。这一对 $f_{b}=|f_{1}-f_{2}|$ 的主动利用是 AM/FM 收音机、电视、雷达、GPS 接收机的核心原理。本工具中尝试 f₁=440、f₂=400 即可看到 40 Hz 的拍。
机械振动诊断：双轴风扇、双发动机飞机、多电机集群很难做到转速完全相同，差频会以拍的形式辐射出来。两台 50 Hz 与 50.5 Hz 的电机共置一处，会产生 0.5 Hz（每 2 秒 1 次）的脉动让人不适。设计上以同步控制或主动降噪应对，CAE 上则通过 FFT 分辨两个相邻峰，预测拍是否会发生。
声学教学与心理声学：拍是\"耳朵把一个不存在的频率听出来\"的典型例子。本工具把波形、包络、频谱并排呈现，可让学生直观地探究\"第三个频率从何而来\"，理解和差化积公式与耳蜗非线性响应的合作机制，是心理声学和音乐理论教学的有力素材。
常见误解与注意事项
最常见的混淆是把拍频写成 $|f_{1}-f_{2}|/2$。和差化积公式中包络余弦的角频率确为半频差，但耳朵感受的是 $|\cos|$ 的周期，速率正好快一倍，因此可听拍频是 $|f_{1}-f_{2}|$，与本工具显示的\"拍频\"一致。看教科书时务必区分\"数学包络周期\"和\"知觉拍周期\"。
第二个误区是\"拍总能被听见\"。当 $|f_{1}-f_{2}|$ 超过约 20 Hz，耳朵无法把脉动当成节奏，而是听成粗糙的音色；超过 30 Hz 则会被分离为同一临界带内的两个独立音。可听拍真正的范围约为 0.5~15 Hz。本工具中把 f₂ 设为 470 Hz 仍存在数学上的拍，但实际听感更接近和音。
第三个意外是\"振幅不影响拍速\"。拍周期 $T_{b}=1/|f_{1}-f_{2}|$ 仅由频差决定，与振幅无关；振幅比只影响\"拍的深度（调制度）\"。在本工具把 A₂ 由 0.5 调至 0.1，拍周期仍是 250 ms，只是包络范围由 [-1,1] 缩窄到约 [0.4, 0.6]。所以即便调律时\"琴弦音量小到听不出拍\"，其实拍只是变浅而非消失。
常见问题
等振幅时两个正弦波之和可由和差化积公式写为 y(t)=2A·cos(2π·f_avg·t)·cos(2π·f_b·t)，其中 f_avg=(f₁+f₂)/2，f_b=|f₁−f₂|/2。内层 cos(2π·f_avg·t) 是耳朵听到的高频音高，外层 cos(2π·f_b·t) 则是缓慢的振幅包络。听觉感受到的强弱变化以 |包络| 的周期为准，因此 cos 取绝对值的周期为 1/(2·f_b)=1/|f₁−f₂| 秒，结果可听拍频为 |f₁−f₂| Hz。在本工具默认值 f₁=440 Hz、f₂=444 Hz 下，拍频显示为 4.0 Hz、拍周期为 250 ms。
两个完全相同频率的音会完全重合，拍频消失（f_b=0，包络成为直线）。一旦稍有偏差，就会出现 |f₁−f₂| Hz 的拍\"哇—哇\"。例如以 440 Hz 为基准音，琴弦每秒拍 2 次说明它处于 442 Hz 或 438 Hz；当拍周期延长到每 2 秒一次（0.5 Hz）即基本调好。耳朵难以精确判断绝对频率，但可以轻松计数缓慢的拍，因此在没有电子调音器的时代，调律师必须掌握这一技能。在本工具中将 f₂ 逐步靠近 440 Hz，拍周期会延长到 1 s、5 s、10 s，最终在精确一致的瞬间，包络变成完全平直的直线。
等振幅时包络最小值为 0，拍的\"波谷\"完全静音（彻底相消干涉）；当 A₁≠A₂ 时，最小值为 |A₁−A₂|，谷点不会归零，拍的深度（调制度）变浅。最大值始终为 A₁+A₂，最小值为 |A₁−A₂|，调制度可写为 (A_max−A_min)/(A_max+A_min)=2·min(A₁,A₂)/(A₁+A₂)。在本工具中将 A₂ 由 0.50 调到 0.20，最大合成振幅变为 0.70、最小为 0.30，可在波形卡看到拍变浅的情形。实际乐器和扬声器的振幅常不一致，因而这种非对称拍听起来像\"颤音式抖动\"。
弊端：双发动机飞机、并联泵和多风扇装置若各转速略有差异，会在机身或建筑中产生几 Hz 的低频压力脉动，让乘客感到\"嗡—嗡\"的不适；设计上以同步控制或主动降噪 (ANC) 抑制。优点：超外差接收机（无线电、雷达、GPS）将高频信号与本地振荡器混合，得到便于放大和解调的低中频拍。CAE 中，结构两个相邻固有模态的时域响应也表现为拍，FFT 能分辨两个峰即可预测\"产生拍的结构风险\"。本工具可作为理解上述基础物理的交互教材。