参数设置
预设
声音（Web Audio）
默认静音。点击后驱动两个真实振荡器，可亲耳听到与可视包络一致的拍音（不会自动播放）。
默认值：f₁=440 Hz（A4 音高）、f₂=444 Hz（差 4 Hz）、A₁=A₂=0.5。点击播放后合成波实时向左滚动，拍音包络会明显地膨胀与收缩。f₁=f₂ 时拍音消失，频差越大拍音越快。
合成波形 y(t)（滚动显示）
蓝色＝合成波 y(t)=A₁cos(2πf₁t)+A₂cos(2πf₂t) / 橙色虚线＝振幅包络 ±√(A₁²+A₂²+2A₁A₂cos(2πΔf·t)) / 黄点＝最大点（A_max）/ 红点＝最小点（A_min）/ 橙色括号＝一个拍音周期 T_b。播放时波形向左滚动，可见包络的膨胀与收缩。按空格键播放／暂停。
频率频谱
横轴＝频率 [Hz] / 纵轴＝振幅 / 蓝色尖峰＝f₁ 和 f₂ / 黄色虚线＝平均频率 f_avg＝(f₁+f₂)/2 / 箭头＝频率差 |f₁−f₂|（拍频产生的源）。
理论与主要公式
两个正弦波的和可通过和积公式展开，产生包络。
合成波（通用式）：
$$y(t) = A_{1}\cos(2\pi f_{1} t) + A_{2}\cos(2\pi f_{2} t)$$
等振幅（A₁=A₂=A）的和积展开：
$$y(t) = 2A\cos(2\pi f_{\mathrm{avg}} t)\cos(2\pi f_{b} t)$$
拍频（可听强弱周期的频率）：
$$f_{\mathrm{beat}} = |f_{1} - f_{2}|, \qquad T_{b} = \frac{1}{f_{\mathrm{beat}}}$$
$f_{\mathrm{avg}}=(f_{1}+f_{2})/2$ 是耳朵接收的高音频率，$f_{b}=|f_{1}-f_{2}|/2$ 是包络的半周期频率。最大合成振幅为 $A_{1}+A_{2}$，最小为 $|A_{1}-A_{2}|$。默认值 f₁=440 Hz、f₂=444 Hz、A₁=A₂=0.5 时，拍频为 4.0 Hz、平均频率 442 Hz、拍音周期 250 ms、最大合成振幅 1.00。
音的拍音模拟器简介
🙋
用默认值 f₁=440 Hz、f₂=444 Hz、振幅各 0.5，得到拍频 4 Hz、平均频率 442 Hz。耳朵听到的声音是什么样的？
🎓
很好的观察。耳朵听到的是"略高的 A 音（442 Hz）"，同时这个声音的音量以每秒 4 次"呜·呜·呜·呜"的节奏脉动——这就是"拍音"。波形卡片可以看到，内部是细微的快速振荡（442 Hz），外部则是缓慢的音量包络（4 Hz 脉动），形成了二重结构。耳朵感知到的强弱变化以包络 1 个周期为单位，即 250 ms 出现"呜"一次，所以拍音周期显示为 250 ms。如果你将 f₂ 逐渐接近 440，会看到拍音越来越慢，最后完全一致时包络变成直线。
🙋
频谱图中只有 f₁ 和 f₂ 两条尖峰，没有 4 Hz 的分量，为什么还能"听到" 4 Hz 的拍音？
🎓
提得好。物理上讲，声音确实只包含 440 Hz 和 444 Hz 两个频率分量（频谱上只有两条尖峰，没有 4 Hz）。但人类的听觉系统有非线性响应的特点，蜗牛能检测到时间轴上声压的缓慢"强弱变化"，将这种包络的周期性感知为"节奏"。数学上，这对应和积公式 cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2)·cos((α−β)/2) 中包络的出现——线性叠加的结果是 2 个频率，但知觉上会表现为一个被调制的音，好像含有第三个频率（拍音）一样。这是一个关于声学感知的很深的问题。
🙋
我把 A₂ 从 0.5 降到 0.2，拍音变"浅"了，不那么深了。这是为什么？
🎓
因为包络的最小值改变了。等幅时（A₁=A₂），拍音的"谷"会完全消音（破坏性干涉，A_min=0）。但当 A₁=0.5、A₂=0.2 时，A_min=|0.5−0.2|=0.3，谷底还有声音残留。用调制度 m=2·min(A₁,A₂)/(A₁+A₂) 来衡量，等幅时 m=1（100% 调制），A₂=0.2 时 m≈0.57（57% 调制）。实际乐器和扬声器往往音量不一致，这种浅拍音就表现为"颤音般的波动"。
🙋
我听说钢琴调音时要"让拍音消失"。能用本工具再现吗？
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完全可以。把 f₁=440 看作 A4 基准音，f₂ 看作琴弦的声音，逐步调整 f₂ 从 444→442→441→440，拍频就从 4→2→1→0 Hz，拍音周期从 250→500→1000→∞ ms 逐渐拉长。实际调音时，"秒速 0 拍"就是完全吻合的状态。高手调音师会调到秒速 0.5 拍以下。本工具中当 f₂ 精确等于 440 时，拍音周期显示"∞ ms"，波形卡片的包络也完全变平，可以直观看到这一刻。
物理模型与主要公式
两个正弦波的和可通过和积公式分解为包络与载波的乘积。
$$y(t) = A_{1}\cos(2\pi f_{1} t) + A_{2}\cos(2\pi f_{2} t)$$
当等幅时 $A_{1}=A_{2}=A$，由和积公式得
$$y(t) = 2A\cos(2\pi f_{\mathrm{avg}} t)\cos(2\pi f_{b} t)$$
其中 $f_{\mathrm{avg}}=(f_{1}+f_{2})/2$ 是内部高频振动（耳朵听到的音高），$f_{b}=|f_{1}-f_{2}|/2$ 是外部振幅包络的半周期频率。由于耳朵感知的强弱以 $|\cos(2\pi f_{b} t)|$ 的周期发生，可听拍频为 $f_{\mathrm{beat}}=|f_{1}-f_{2}|$ Hz，拍音周期为 $T_{b}=1/|f_{1}-f_{2}|$。最大合成振幅为 $A_{\max}=A_{1}+A_{2}$（同向干涉），最小为 $A_{\min}=|A_{1}-A_{2}|$（反向干涉）。
非等幅的通用形式中，包络为 $\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2 A_{1} A_{2}\cos(2\pi(f_{1}-f_{2})t)}$，在 $A_{1}+A_{2}$ 和 $|A_{1}-A_{2}|$ 之间以周期 $T_{b}$ 振动。本工具基于这一通用公式绘制波形卡片中的上下包络（橙色虚线）。
实世界应用
乐器调音：钢琴调音师、吉他手通过聆听拍音并将其调至秒速 0 拍来完成调音。拿基准音叉（440 Hz）和琴弦同时鸣响，数出 |f₁−f₂| Hz 的拍音速度，即使没有绝对音感也能在 0.5 Hz 内精确调音。本工具输入 f₁=440、f₂=441 时，拍音周期显示 1000 ms（每秒 1 次），对应调音师说的"秒速 1 拍差"。
外差接收机（收音机、雷达）：接收的高频信号（如 1 GHz）与本振频率（如 999.9 MHz）混合，产生差频 100 kHz 的"中频（IF）"，便于放大和解调。这是有意利用 f_b=|f₁−f₂| 的经典应用，AM/FM 收音机、电视、雷达、GPS 接收机的基本原理都基于此。本工具输入 f₁=440、f₂=400 试试，会得到 f_b=40 Hz，混合产生的低频成分变得直观易懂。
机械振动故障诊断：多轴风扇、双发动机、多马达机械的各轴转速不会完全一致，转频之差会在船体或建筑体上激发"拍音振动"。例如 50 Hz 和 50.5 Hz 的电源同步电动机共存时，会产生 0.5 Hz 拍音（每 2 秒脉动一次），乘员感到不舒服。设计中通过同步转速控制或主动噪声消除（ANC）来抑制拍音。CAE 分析中，若 FFT 能分离出 2 个相邻谱峰，就能事先预测"会发生拍音的结构隐患"。
声学教材、听觉心理学：拍音是"人耳对 2 频差异的非线性感知"的典型案例，广泛用于听觉心理学和音乐理论入门教学。本工具同时展示合成波形、包络、频谱，让学生理解"为什么物理上只有 2 个频率，但知觉上却有第 3 个频率（拍音）"——这涉及和积公式与听觉非线性的结合，是理解波动现象的深层基础。
常见误解与注意事项
最常见的误解是"拍频是 f_b=|f₁−f₂|/2"。和积公式中内部的包络系数 cos(2π·f_b·t) 周频确实是 $|f_{1}-f_{2}|/2$，但耳朵感知的音量变化以 $|\cos|$ 的周期发生，所以可听拍频是其 2 倍，即 $|f_{1}-f_{2}|$ Hz。本工具"拍频"一栏采用后者（可听值），需与包络的数学周期区分。
次常见的误解是"拍音总是可听的"。实际上，当 |f₁−f₂| 超过约 20 Hz 时，耳朵不再将强弱变化视为"节奏"，而感知为"粗糙的音色"；|f₁−f₂| ≥30 Hz 时，2 音会被听作独立的和弦（临界带宽现象）。拍音作为"嗯·嗯"节奏的可感范围大约是 0.5～15 Hz。本工具中将 f₂ 设到 470 Hz（差 30 Hz），数学上仍是拍音，但实际听起来像 2 个分开的音。
最后，"改变振幅 A₁、A₂ 不会改变拍音的"速度""常被忽视。拍音周期 $T_{b}=1/|f_{1}-f_{2}|$ 仅取决于频率差，与振幅无关。改变的只是拍音的"深度（调制度）"；A₂ 从 0.5 降到 0.1 时，拍音周期仍是 250 ms，只是包络振幅范围从 [0.4, 0.6] 缩小了。调音时若感觉"琴弦音太小，听不到拍音"，其实周期没变，只是深度浅了。
常见问题
两个等幅正弦波的和可从和积公式得出 y(t)=2A·cos(2π·f_avg·t)·cos(2π·f_b·t)。其中 f_avg=(f₁+f₂)/2，f_b=|f₁−f₂|/2。内侧的 cos(2π·f_avg·t) 作为耳朵听到的高音，外侧的 cos(2π·f_b·t) 则是缓慢的振幅包络。耳朵感知的音量强弱以 |包络| 的周期出现，因此 cos 的绝对值周期 1/(2·f_b)=1/|f₁−f₂| 秒产生一次"嗯"的声音，最终拍音的可听频率为 |f₁−f₂| Hz。本工具输入默认值 f₁=440 Hz、f₂=444 Hz 时，拍频显示为 4.0 Hz，拍音周期为 250 ms。
两个完全相同的频率会完全重合，拍音消失（f_b=0，包络变成直线）。反之，只要有任何偏离，就会听到 |f₁−f₂| Hz 的"嗯·嗯"拍音。例如比较 440 Hz 的基准音和琴弦的声音，如果每秒拍 2 次，弦要么是 442 Hz，要么是 438 Hz；差异达 0.5 Hz 时就基本吻合了。人耳虽然不擅长精确分辨绝对频率值，但很容易数出秒级的拍音速度，因此在没有机械测量仪器的时代，这就是调音师的必备技能。本工具中将 f₂ 逼近 440 Hz，可观察拍音周期从 1 s→5 s→10 s 逐渐延长，当完全一致时包络化为直线的过程。
等振幅时，包络最小值为 0，拍音的"谷"会完全消音（破坏性干涉）。但当 A₁≠A₂ 时，最小值只能下降到 |A₁−A₂|，谷底仍有残留声音，因此拍音的深度（调制度）变浅。最大值始终为 A₁+A₂，最小值为 |A₁−A₂|，调制度可用 (A_max−A_min)/(A_max+A_min)=2·min(A₁,A₂)/(A₁+A₂) 来评估。本工具中将 A₂ 从 0.50 降低到 0.20，最大合成振幅变为 0.70，最小为 0.30，波形卡片可清晰看到拍音变浅的过程。实际乐器、扬声器的多个音源振幅往往不一致，这种不对称拍音就会呈现为"颤音般的波动"。
问题例：多个喷气发动机、风扇、电动机以略微不同的转速运转时，会在整个飞机、建筑产生低频（数 Hz）的声压脉动，乘员会感到"呜呜"的不适。设计中通过同步转速控制或主动噪声抵消（ANC）来抑制拍音。优势例：外差接收机（收音机、雷达）将高频信号与本振混合，转换为低"中频（IF）"拍音，便于放大和解调。CAE 中，结构振动的两个相邻固有模式作为近似 2 频拍音出现在时间序列中，通过 FFT 分离 2 个峰值可预测"拍音发生的结构风险"。本工具可作为直观理解这一基础物理的教学材料。