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球轴承接触应力模拟器 — 赫兹接触和内圈、外國应力

快速解答
球轴承中受载最大的一颗滚珠承受 F_max = 5·F_radial/(Z·cosα)（Z=滚珠数，α=接触角，Stribeck 公式）。赫兹接触最大压力为 p_max = 3F/(2πa²)（a=接触半径），最大剪应力 τ_max ≈ 0.31·p_max 出现在表面以下（深度 ≈ 0.48a），是疲劳裂纹的起点。

实时计算球与内圈、外國轨道的赫兹接触应力。从斯特里贝克载荷分布求出单球最大载荷，分别可视化凹面内圈和凸面外國的最大接触压力。

参数设置
轴承总载荷 F_total
kN
球直径 D_b
mm
球数 Z
个
节圆直径 D_p
mm

材料为轴承钢（E*=115.4 GPa, ν=0.3）固定。接触角 α=0°（深沟球轴承），不考虑轨道沟适合度的简化模型。

计算结果
—
单球最大载荷 F_max
—
内圈接触应力 p_max,i（凹面）
—
外國接触应力 p_max,o（凸面）
—
接触半径 a（内國·球-平面近似）
轴承断面和接触点

外國、内國、球的断面图 / 红圆＝接触点（外國应力高为红色，内國较低为橙色）/ D_p＝节圆直径，D_b＝球直径

理论和主要公式

在球轴承中，径向载荷不是由所有球均等分担的，而是根据斯特里贝克分析，集中在"最大负荷球"上。

单球最大载荷（α 为接触角，深沟球轴承 α=0）：

$$F_\text{max} = \frac{5\,F_\text{radial}}{Z\,\cos\alpha}$$

内國（凹面接触）和外國（凸面接触）的等效曲率半径：

$$\frac{1}{R_{eq,i}} = \frac{1}{r_b} - \frac{1}{R_i},\qquad \frac{1}{R_{eq,o}} = \frac{1}{r_b} + \frac{1}{R_o}$$

球-平面型赫兹接触的最大接触压力（E* 为等效弹性模量）：

$$p_\text{max} = \frac{1}{\pi}\left(\frac{6\,F_\text{max}\,E^{*2}}{R_{eq}^{\,2}}\right)^{1/3}$$

接触半径：

$$a = \left(\frac{3\,F_\text{max}\,R_{eq}}{4\,E^*}\right)^{1/3}$$

外國侧的等效曲率半径较小，接触面积变窄，因此比内國侧产生更高的接触应力。

球轴承接触应力模拟器说明

🙋
球轴承只是球在滚动，为什么接触部分会有那么高的应力呢？
🎓
简单地说，球和轨道是"点接触"的。两个曲率不同的曲面相互挤压时，接触区域只有几百微米的小椭圆。数千牛的载荷集中在那里，所以应力瞬间就升到 GPa 量级。看看模拟器默认值的"内國接触应力"卡片，约 5.9 GPa——远远超过钢的屈服应力。
🙋
哎呀，超过屈服应力了！不会坏吗？
🎓
有意思的是，赫兹接触那样的三轴压应力状态下，屈服不是由简单的拉伸屈服应力决定的，而是由"最大剪切应力"决定的。p_max 是 5～6 GPa 时，剪切应力约为其 0.3 倍——也就是 1.5～2 GPa。这在轴承钢的许用范围内，不会发生塑性变形。所以轴承钢都要超高硬度淬火（HV 700 左右）。
🙋
原来如此！那"内國"和"外國"的应力为什么不一样呢？同一个球接触的啊。
🎓
这正是这个工具最有意思的地方。球与内國是"凸面插入凹面"的情形（球坐在轨道的凹陷里），球与外國是"凸面压在凸面外侧"的情形。后者的等效曲率半径更小，接触面积更窄，应力更高。模拟器中外國约 8.6 GPa，内國约 5.9 GPa——外國约高 1.45 倍。实际轴承寿命由"关键接触"即外國侧决定。
🙋
如果增加球数 Z，应力会降低吗？
🎓
会降低，但不如你想的那么快。单球载荷反比于 Z，但赫兹应力只随载荷的 1/3 次方变化。球数翻倍，应力也只下降到约 $2^{-1/3}$ ≒ 0.79 倍。试试把 Z 从 8 改到 16，内國应力从 5.9 GPa 降到约 4.7 GPa——只降了 20%。真要大幅降应力，不如增大球径 D_b。这不影响单球载荷，但直接扩大接触面积。

常见问题

本工具处理"球与轨道圆柱面"的接触，只考虑椭圆接触长轴方向的曲率，采用球-平面近似。实机中球轨道有"沟适合度"（沟曲率半径÷球半径，通常 0.52～0.54），导致实际接触为椭圆。实机应力通常为本工具值的 60～80%，工具给出的是安全侧（偏严）的估算。初期设计和趋势把握足够，但最终设计应与厂商的动定格荷重 C 和 L10 寿命计算结合使用。
深沟球轴承中 α≈0°，径向载荷几乎全部传递给球。而在角接触球轴承和圆锥滚子轴承中，α 在 15°～40° 之间，既能支持径向荷重也能支持轴向荷重（推力）。此时单球最大载荷为 F_max = 5·F_radial/(Z·cos α)，会随 α 增大而增加，应力也随之增加。例如 α=30° 的角接触轴承，cos α≈0.866，相同径向载荷下单球载荷增加约 15%。本工具固定 α=0，若要评估角接触轴承，可将 F_total 乘以 1/cos α 的等效载荷来近似。
高硬度轴承钢（SUJ2，HRC 58～62）的参考值：不允许永久变形的静力设计约 4.2 GPa，滚动接触疲劳（L10 寿命基准）约 4.0 GPa，长寿命设计（L1 等）约 2.5～3.0 GPa。本工具默认值的 5.9 / 8.6 GPa 属于过载情况，需通过增大球径、增加球数、改变节圆直径等调整，使应力控制在 2.5～4 GPa 范围。极端高负荷下（如风力发电机主轴承）可能瞬间超过 4 GPa，但代价是寿命缩短。
球径 D_b 通过三种方式降低应力：(1) 等效曲率半径 R_eq 直接与 D_b 成正比，接触面积扩大；(2) 内國半径 R_i = (D_p - D_b)/2 变小，凹面适合度改善；(3) 外國半径 R_o = (D_p + D_b)/2 变大，凸面锐度缓和。把 D_b 从 12 mm 增大到 18 mm，外國应力从约 8.6 GPa 降到约 6.5 GPa。但轴承整体尺寸和球数 Z 也会受影响，设计时需兼顾 D_b 和 Z 的平衡。

实际应用

汽车轮毂轴承设计：汽车轮毂采用高负荷角接触球轴承或圆锥滚子轴承。转向时径向载荷加上侧向力（推力），单球最大接触应力达 3～4 GPa。为使应力在许用范围，需精心设计球径、球数和轨道形状。试试在本工具中把载荷增到 20 kN，就能体验汽车轮毂承受的应力水平。

风力发电机主轴承：大型风力发电机的主轴承直径达数米，采用超大球轴承或滚子轴承。风荷载变化和巨大转子质量导致内國接触应力瞬间超过 3 GPa，这是引发滚动接触疲劳（RCF）并决定轴承寿命的关键。设计中用本工具这样的简易计算把握趋势，再用有限元分析（FEA）详细评估。

机床主轴轴承：高速旋转的机床主轴除了外部载荷外，还有遠心力导致的球与外國额外接触压力。10000 rpm 以上的主轴，遠心力产生的外國接触应力可能与外部载荷相当，运行条件全面评估很必要。本工具的"外國应力＞内國应力"基本特性说明了为什么高速主轴外國疲劳占主导。

协作机器人关节小型轴承：轻量化的协作机器人关节采用小径交叉滚子轴承和薄壳角接触球轴承，球径和球数受限。但力矩荷重大，单球载荷常常超过定格容量的 50%。在本工具中试试 Z=5～8 个、D_b=3～6 mm 的小型条件，就能体会力矩支持的严苛性。

常见误区和注意点

最常见的误解是认为增加球数 Z 就能将轴承载荷简单等分到球数。实际上，径向载荷中只有下半周的球承担，且各球分担不均。斯特里贝克分析表明最大负荷球的载荷为 F_max = 5·F_radial/(Z·cos α)，约为简单平均（F_radial/Z）的 5 倍！本工具中调整球数滑块时，应力不会急剧下降，这就印证了这一点。设计的出发点必须是"最大负荷球"的应力评估。

其次常见的是忽视内國与外國的应力差异。笼统地说"球与轨道"很容易误认为内外圈应力相同，但实际上外國凸面接触的等效曲率半径更小，应力高 20～50%。本工具始终显示外國 p_max,o ＞ 内國 p_max,i。寿命设计中，高应力的外國侧先发生疲劳失效，所以外國材料质量和轨道加工精度更关键。反过来，设计时可通过优化节圆直径 D_p，调整两侧应力使寿命均衡。

最后要警惕直接将应力计算结果理解为"轴承寿命"。应力 p_max 是瞬时峰值，而寿命（L10 等）与应力的 9 次方（球轴承）呈反比，极其敏感。应力翻倍，寿命就是 1/512。反之，从 4 GPa 降到 3 GPa，寿命可增加 10 倍。算出应力后，一定要配合 L10 寿命计算工具（rolling-bearing 模拟器）验证寿命目标是否满足。单看应力无法判断设计优劣。

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使用指南

  1. 用滑块输入轴承载荷 F（kN）。斯特里贝克理论自动计算最大负荷球的承载率。
  2. 设置球直径 Db（mm）、球数 Z、节圆直径 Dp（mm）。内國曲率半径 ri、外國曲率半径 ro 随之确定，赫兹接触的曲率系数 κ 实时更新。
  3. 模拟器求得最大负荷球 F_max 和接触半径 a，实时显示内國凹面最大接触应力 p_max,i 和外國凸面最大接触应力 p_max,o，可进行强度校核。

具体计算例

6205 深沟球轴承（Db=19.05 mm，Z=8，Dp=71.5 mm）承受 5 kN 轴向荷重：斯特里贝克载荷分布得 F_max≈1.2 kN，内國外径 60 mm、外國内径 80 mm，设定曲率半径 ri=15 mm、ro=20 mm。由赫兹接触式 p_max=418√(F_max·κ/a²) 可算出接触半径 a≈1.8 mm、内國接触应力 p_max,i≈2,840 MPa、外國接触应力 p_max,o≈2,650 MPa，判断其超过 SUJ2（淬火钢）接触疲劳极限 2,500 MPa。

工程实务注意