预设
一级衍射 n=1
Cu Kα × NaCl
小 d→宽角
θ 扫描
默认值为 d=2.500 Å、λ=1.540 Å（Cu Kα 线）、n=1、ε=0。拖动入射角 θ，当满足布拉格条件 2d sinθ = nλ 时反射光束会变亮。Cu Kα 线是最通用的 X 射线源，广泛用于金属和陶瓷的 XRD 分析。Mo Kα 线（0.71 Å）能测量到更高角，Co Kα 线（1.79 Å）专用于钢铁分析。
水平线＝晶面（d 间距平行排列）／黄＝入射 X 射线（θ 入射）／红＝反射 X 射线（θ 出射，满足布拉格条件时增亮）／白虚线＝晶面法线／绿＝相邻面反射光程差 2d sinθ
横轴＝衍射角 2θ（0°~180°）／纵轴＝相对强度／蓝色竖线＝各阶数 n=1,2,3... 的 2θ 位置／黄色标记＝当前 n 对应的 2θ／灰色区＝物理允许区域
布拉格定律由相邻晶面反射波的光程差 $2d\sin\theta$ 等于波长 $\lambda$ 整数倍时的建设性干涉条件推导：
$$2d\sin\theta = n\lambda$$
$\theta$ 称为布拉格角，$2\theta$ 称为衍射角。当加入晶格应变 $\varepsilon$ 时，有效面间距发生变化：
$$d_{\text{eff}} = d(1+\varepsilon),\quad \sin\theta = \frac{n\lambda}{2 d_{\text{eff}}}$$
根据物理约束 $\sin\theta \le 1$，最大可能阶数为：
$$n_{\max} = \left\lfloor \frac{2 d_{\text{eff}}}{\lambda} \right\rfloor$$
其中 $d$ 为晶面间距（Å）、$\lambda$ 为 X 射线波长（Å）、$n$ 为整数阶数、$\varepsilon$ 为晶格应变（无量纲）。1 Å = 10⁻¹⁰ m。
布拉格衍射模拟器简介
🙋
我听说 X 射线可以"透视"晶体，请问是怎样测量结构的呢？可以像拍照一样拍出来吗？
🎓
好问题。不是透视，而是利用"衍射"。晶体中原子规则排列形成许多"平面"，X 射线照射时在各平面发生反射。当相邻平面反射的光波"恰好差一个波长"时，波相叠加变强——这就是布拉格定律 2d sinθ = nλ。看本工具，保持默认值后，"计算结果"会显示：Cu Kα 线（λ=1.540 Å）照射 d=2.5 Å 的晶面，布拉格角 θ ≈ 17.94°、衍射角 2θ ≈ 35.88°、最多能看到 3 阶。
🙋
图上的"光程差 2d sinθ"是怎么算的？为什么前面要乘以"2"呢？
🎓
这是几何问题。上层晶面反射的光，和射到下层（深度 d）再反射上来的光比，下面的光要多走"下去一段 + 回来一段"的路程。两条光都与晶面成角 θ，所以垂直分量是 d，但从斜向看，由勾股定理得往返共增加 2d sinθ 的光程。当这个光程恰好等于波长的整数倍 nλ 时，两条光波同向强化。你在本工具里把 d 从 2.5→5.0 Å 拖动，右下会看到"光程差"随之变化。
🙋
"最大可能次数 3"是什么意思？为什么不能无限往上加呢？
🎓
物理学有约束。由 sin θ = nλ/(2d) 且 sin θ ≤ 1 这个条件，n 最大只能是 2d/λ 的整数部分。默认值（d=2.5、λ=1.540）：2×2.5/1.540 = 3.247，取整后最大就是 3。实验中同一晶面产生的衍射峰确实是有限的，d 越大或 λ 越短，观测到的次数越多。试试把 λ 改成 0.71 Å（Mo Kα），最大次数会变成 7，这就是 Mo Kα 在单晶结构解析中受欢迎的原因。
🙋
最后问一个，"晶格应变 ε"是什么？为什么它能用来测残留应力呢？
🎓
ε 是晶体被拉伸或压缩时面间距的相对变化。用 d_eff = d(1+ε) 表示有效面间距。ε=+0.01 表示拉伸 1%。本工具中把 ε 从 0→+0.01，2θ 从 35.88° 变成 35.52°（低角偏移）。压缩时（ε=−0.01）则反向高角偏移。X 射线衍射测残留应力（比如 sin²ψ 法）就是利用这个："峰位的细微变化"在多个方向重复测量，可以计算出内部应力，精度达到 MPa 级。航空发动机涡轮叶片、桥梁焊接残留应力、半导体薄膜应力都是用这个原理测的。
常见问题
什么是布拉格定律？
布拉格定律 2d sinθ = nλ 是 X 射线在晶体平面反射时，相邻平面反射波建设性干涉的条件。1913 年由威廉·亨利·布拉格和威廉·劳伦斯·布拉格父子推导，两人后来因此获得诺贝尔物理学奖。d 是相邻晶面间距，θ 是布拉格角（与晶面的入射角），n 是整数阶数，λ 是 X 射线波长。本工具在默认值（d=2.500 Å、λ=1.540 Å 的 Cu Kα 线、n=1、ε=0）下显示 θ ≈ 17.94°、衍射角 2θ ≈ 35.88°、有效面间距 2.500 Å、最大可能阶数 3。
为什么衍射只在整数阶数 n=1, 2, 3 ... 时发生？
当相邻晶面反射波的光程差 2d sinθ 是波长 λ 的整数倍 (nλ) 时，波的相位一致，发生建设性干涉（强衍射）。其他情况下相位错开，波相消，无法观测。在本工具中，当 n 从 1→2→3 变化时，2θ 会依次变为 35.88°→76.05°→135.04°（Cu Kα、d=2.5 Å 情况），对应不同阶数的峰位置。由于 sin θ = nλ/(2d) ≤ 1 的物理约束，某个给定的 d 和 λ 只能观测到有限个阶数。
晶格应变 ε 如何影响衍射图样？
晶格应变 ε 是晶体受拉伸或压缩时的面间距相对变化，通过 d_eff = d(1+ε) 改变有效面间距。ε>0（拉伸）时 d 增大，同一阶数 n 的 sinθ = nλ/(2 d_eff) 变小，2θ 向低角偏移。ε<0（压缩）时则反向高角偏移。X 射线衍射应力测量（如 sin²ψ 法）利用这一原理，通过峰位偏移以 1 MPa 的精度测量应力。在本工具中，将 ε 从 −0.05 变到 +0.05，可以看到 2θ 峰位连续左右移动。
为什么 Cu Kα 线（λ=1.540 Å）是 XRD 的标准选择？
Cu Kα 线（特征 X 射线，λ=1.5406 Å）从铜靶 X 射线管高效产生，强度、相干性和操作便利性平衡优异，因此是全球 XRD 仪器的最常用选择。其波长与常见晶面间距（1~5 Å）相当，能观测从低角到高角的众多衍射峰，适用于大多数样品。本工具中将 λ 改为 0.71 Å（Mo Kα）时，相同 d=2.5 Å 的样品 2θ 会减小，能测量到更高角（最大阶数 7）。相反，长波长 Co Kα（1.79 Å）能抑制钢铁样品的荧光，可根据应用选择。
实际应用
晶体结构鉴定（相分析）： 将未知晶体试样照射 X 射线，测量衍射峰位置 2θ，用布拉格定律反算 d 值，与 ICDD（PDF）数据库对比，可以确定是什么物质。矿物学中用于鉴别岩石中的矿物相，制药中用于区分原料药的晶型（α 型 vs β 型）。本工具中拖动 d 滑块，峰位会随之移动，直观展示这个原理。实际设备测的是多晶试样的完整 2θ-强度曲线，与库进行数据库匹配。
残留应力和应变测量： 金属和半导体内部的应力可以通过峰位的细微变化测量。航空发动机涡轮叶片的喷丸强化压应力、汽车发动机部件的焊接残留应力、硅晶圆上薄膜应力都是典型例子。sin²ψ 法通过旋转样品、多点测 2θ，从 d 值的方向依赖性推算应力张量。本工具中拖动 ε 滑块 ±5%，2θ 偏移数度，对应实际的 μstrain（10⁻⁶ 量级）精密测量能力。
晶粒尺寸和织构分析： 纳米粒子的晶粒尺寸用 Scherrer 公式（B = Kλ/(L cosθ)）从峰宽推算，与布拉格定律配合使用。用于催化剂颗粒径、锂电池正极材料、磁性纳米粒子开发。轧制或挤压加工金属的集合织构（方向分布）分析，通过多个 hkl 峰的相对强度比推算晶向分布函数（ODF），预测塑性各向异性。
蛋白质晶体结构解析： 药物设计中蛋白质-配体复合物的结构，通过制作晶体、照射 X 射线（多为同步辐射，λ=0.7~1.0 Å）、测数万条布拉格反射，经逆傅立叶变换得到电子密度图。1953 年的 DNA 双螺旋结构、1958 年的肌红蛋白结构都是这个方法的经典。现代 COVID-19 棘突蛋白结构也用此法一周内解析，直接指导疫苗设计。本工具只处理单晶面的解析，实际操作涉及数千~数万个晶面的同步计算。
常见误解与注意
最常见的误解是，"布拉格角 θ 是 X 射线与试样表面的夹角" 。实际上布拉格角是 X 射线与晶面 的夹角，不是表面。许多教科书图示中晶面与表面平行，但真实试样中晶粒随机取向，只有满足布拉格条件的晶粒才能衍射。还有"衍射角 2θ"是入射束方向与反射束方向的夹角，是布拉格角的 2 倍。本工具分别显示"θ"和"2θ"的统计卡，就是因为初学者常在这里混淆。
其次是，"只用布拉格定律就能知道晶体结构" 这种想法也不对。布拉格定律只告诉"哪个 2θ 出现峰"，峰的强度取决于晶体内原子排列（结构因子 F_hkl），不同对称性（FCC、BCC、HCP、金刚石等）的允许反射组合不同，需要另行计算结构因子。比如 BCC 只允许 h+k+l=偶数的反射，FCC 只允许 h,k,l 同奇偶的反射。本工具专注角度计算，晶体结构鉴定需要整条 XRD 曲线用 Rietveld 法拟合。
最后，"X 射线衍射是万能工具，能用于任何晶体" 这个认识也过于绝对。轻元素（氢、锂等）X 射线散射截面极小，位置难以确定，需要中子衍射或电子衍射补充。锂电池正极中的 Li 位置必须用中子衍射，有机分子的氢位置用超高分辨 X 射线。非晶体（玻璃、高分子）没有规则面间距，不产生尖锐的布拉格峰，而是宽的晕状散射，需要配对分布函数（PDF）等其他解析方法。本工具假设的是完美晶体的理想布拉格条件。