$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + u\frac{\partial \phi}{\partial x} = D\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}$$
一维移流扩散方程：$u$ 为流速（m/s），$D$ 为扩散系数（m²/s），$\phi$ 为标量量。
$$Pe = \frac{uL}{D}$$
佩克莱数：移流和扩散的比值。$Pe \gg 1$ 时对流主导（尖锐波），$Pe \ll 1$ 时扩散主导（平滑）。
$$\phi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi D t}}\exp\!\left(-\frac{(x - u t)^2}{4 D t}\right)$$
移动高斯解：点源脉冲的严格解，中心 $= u t$，方差 $\sigma^2 = 2Dt$，峰值 $\propto 1/\sqrt{4\pi D t}$。动画直接绘制该解析解。
对流扩散方程与数值格式
常见问题
scalarTransportFoam 求解器，在 fvSchemes 文件的 divSchemes 项中可以指定 Gauss linearUpwind（风上差分）或 Gauss QUICK（QUICK法）。Ansys Fluent中对应「空间离散化」选项中的「Second Order Upwind」或「QUICK」。实际应用
环境工程·大气扩散模型：工厂或汽车排放的污染物（PM2.5、NOx等）被风吹散，在大气中扩散、稀释。风上差分因其稳定性常被采用，以确保计算的可靠性。
电子器件散热设计：CPU等热源发热，由风冷（对流）散去，热量在基板内传导（扩散）。要得到精确的温度分布，需采用如QUICK法这样的高精度格式，避免数值扩散掩盖实际物理过程。
化工反应器设计：原料在管式反应器中随流动而移动（对流），同时混合（扩散），并发生化学反应。反应速率计算需要准确的浓度分布，数值扩散少的格式（如QUICK）更合适。
河川水质预测：生活污水中的营养元素或化学物质随河流搬运，再通过涡度扩散而扩散。实务中常用风上差分为基础的稳定求解方案。
常见误解与注意事项
许多人认为「中心差分总是最精确的」，但实际上当佩克莱数（对流与扩散之比）增大后，中心差分会产生数值振荡，给出物理上不可能的解（超调和欠调）。这个工具清楚地展示了：当佩克莱数超过2时，中心差分的解开始从解析解偏离并出现摇晃。实务中为了避免这种振荡，会改用风上差分或QUICK法，但这又引出了新问题。「风上差分总是稳定的」这个说法也需要修正：虽然风上差分不会振荡，但它引入了较大的数值扩散（人工扩散），使浓度梯度变平缓，当佩克莱数极高时，解会严重失真。「QUICK法总优于中心差分」的想法也不完全正确：QUICK法在极限对流情况（Pe极大）或网格品质差的位置可能出现小的振荡，并非绝对稳定，某些边界条件下还可能不稳定。因此，选择合适的数值格式需要根据具体问题的流动特征、对精度的要求，以及计算资源的限制来综合权衡。
使用指南
- 用「val-u滑块」设置流速u（m/s），范围0.1～10 m/s，控制对流的强弱
- 用「val-D滑块」设置扩散系数D（m²/s），范围1e-3～1 m²/s，控制佩克莱数Pe=u·L/D的变化
- 用「val-dx滑块」指定网格间隔dx（m），范围0.01～0.1 m，同时计算并可视化三种格式（中心差分、风上差分、QUICK法）的数值解
具体计算例
在长度1 m的区域，设u=2 m/s、D=0.02 m²/s、dx=0.05 m时，佩克莱数Pe=2×1/0.02=100，属于对流优势。中心差分显示振荡解，风上差分因数值扩散（等效0.015 m²/s）导致边界层附近梯度缓和约2～3°C。而QUICK法以三阶精度减少对流项的数值扩散约70%，得到平顺的解。
实务中的注意点
- 中心差分（Pe>2不稳定）：热交换器或化学反应器中高流速条件（u>5 m/s）会导致振荡，应避免使用
- 风上差分（稳定但低精度）：大型泵周围乱流混合分析中保证了稳定，但若需准确的浓度梯度，则不合适
- QUICK法的适用极限：Pe>500的极端对流域或角落急梯度处仍可能出现局部振荡，应考虑与混合方法的结合