输入条件
约束状态
平面应力 (m≈1)
平面应变 (m≈2)
计算结果
δ = K²/(m·σy·E′)（δ ∝ 载荷²）
δ < δc：安全（未断裂）
$$\delta = \frac{K_I^{2}}{m\,\sigma_y\,E'}$$
弹性CTOD（m）：$\delta$ 为裂纹尖端张开位移。$m$ 为约束系数，平面应力 $m\approx1$、平面应变 $m\approx2$。
$$K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a}$$
模式I应力强度因子（Pa√m）：$\sigma$ 为远场应力（Pa），$a$ 为裂纹尺寸（m），$Y$ 为形状系数。
$$\delta_{\mathrm{Dug}} = \frac{8\,\sigma_y\,a}{\pi E}\,\ln\!\left[\sec\!\left(\frac{\pi\sigma}{2\sigma_y}\right)\right]$$
Dugdale条带屈服模型（m）。$E' = E$（平面应力）或 $E/(1-\nu^2)$（平面应变）。当 $\sigma\to\sigma_y$ 时 Dugdale CTOD 发散。
CTOD（裂纹尖端张开位移）简介
🙋
老师，CTOD这个词我听过，但它到底测的是什么？和应力强度因子K_IC是一回事吗？
🎓
CTOD是 Crack Tip Opening Displacement，也就是"裂纹尖端张开了多少"，符号是δ，单位mm（本工具显示为μm）。K_IC描述的是尖端应力场的强弱 ，而CTOD直接测量尖端的塑性变形量 。这正是它的优势：对断裂前大量屈服的材料依然适用。先把上面的约束状态设为平面应力，再拖动远场应力σ，你会看到CTOD稳步增大。
🙋
那为什么不干脆一直用CTOD，而要保留K_IC呢？
🎓
好问题。K_IC假设小范围屈服——尖端塑性区必须远小于试样尺寸。对高强度的脆性材料这没问题。但延性结构钢的焊接接头在断裂前会大量屈服，K_IC就不成立了。CTOD直接测量这种塑性变形，所以能用到中等乃至大范围屈服。看"σ/σy"读数：它越接近1，屈服越占主导，你也就从K_IC的世界过渡到了CTOD的世界。
🙋
公式看起来一样，为什么平面应力和平面应变的结果会不同？
🎓
因为 δ=K_I²/(m·σy·E′) 里的 m 和 E′ 随状态变化。平面应力（薄板）m≈1、E′=E；平面应变（厚板）m≈2、E′=E/(1−ν²)。所以相同K_I下，平面应变CTOD约为平面应力的一半。物理上，厚截面对尖端约束更强，更难张开。在工具里切换约束状态，弹性CTOD应从约26.9μm降到约12.3μm——这个差距就是约束效应。
🙋
实际的CTOD试验怎么做？和这个工具的数值有什么关系？
🎓
实验室里依据BS 7448或ASTM E1820，用SENB（三点弯曲）或CT试样。用夹式引伸计测裂纹嘴张开（CMOD），再通过铰链模型外推到裂纹尖端得到δ。本工具用弹性和Dugdale模型展示δ在理论上 如何变化。把它和试验测得的临界值δ_c对照，就能直观感受设计余量有多大。注意看Dugdale曲线在σ→σy时如何陡升——那正是大范围屈服的警示信号。
物理模型与主要公式
通过把应力强度因子K_I与材料屈服应力联系起来，可以弹性地估算CTOD。基本关系如下：
$$\delta = \frac{K_I^{2}}{m\,\sigma_y\,E'},\qquad K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a}$$
其中，$\delta$ 是裂纹尖端张开位移[m]，$K_I$ 是模式I应力强度因子[Pa√m]，$\sigma$ 是远场应力[Pa]，$a$ 是裂纹尺寸[m]，$Y$ 是形状系数，$\sigma_y$ 是屈服应力[Pa]。约束系数 $m$ 和有效弹性模量 $E'$ 取：平面应力 $m\approx1,\ E'=E$；平面应变 $m\approx2,\ E'=E/(1-\nu^2)$。
随着屈服发展，裂纹尖端塑性区不可忽略。Dugdale条带屈服模型在裂纹前方设置一条以屈服应力闭合的虚拟条带，从而给出封闭形式的弹塑性CTOD：
$$\delta_{\mathrm{Dug}} = \frac{8\,\sigma_y\,a}{\pi E}\,\ln\!\left[\sec\!\left(\frac{\pi\sigma}{2\sigma_y}\right)\right]$$
当 $\sigma/\sigma_y$ 较小时，该式近似等于弹性（平面应力）CTOD；但当 $\sigma\to\sigma_y$ 时，$\sec$ 的自变量趋于 $\pi/2$，CTOD 呈对数发散。这代表理想弹塑性材料进入大范围屈服（LSY）、全面屈服驱动尖端无限张开的极限。
依据标准与假设
所依据的标准与模型
BS 7448 / ASTM E1820 ：CTOD（δ）断裂韧性试验标准。在SENB/CT试样上测量CMOD，通过铰链模型换算到裂纹尖端δ，定义临界值δ_c（脆性起裂）、δ_u（失稳）、δ_m（最大载荷）。Dugdale (1960) 条带屈服 / BCS 模型 ：假设裂纹前方存在以屈服应力作用的条带状塑性区的弹塑性模型，是封闭式 $\delta=(8\sigma_y a/\pi E)\ln\sec(\pi\sigma/2\sigma_y)$ 的来源。
前提假设
单一贯穿裂纹——近无限大板中的中心贯穿裂纹或单边裂纹——由形状系数 Y 修正。
小〜中范围屈服。约束系数 m 为平面应力／平面应变的理想化（m≈1／2）；实际中它随试样厚度和约束连续变化。
Dugdale 模型在 $\sigma<\sigma_y$ 且条带为理想弹塑性屈服时有效。
适用范围与局限
本工具用于教育与概算（参考）目的，不能替代标准化的CTOD试验记录。
在 $\sigma\to\sigma_y$ 附近，大范围屈服（LSY）使Dugdale CTOD发散。在真实材料中，加工硬化和有限尺寸效应使其保持有界。
实际应用
焊接结构的完整性评估： 船舶、桥梁和海洋结构的焊接接头韧性较低且残余应力大，使CTOD成为断裂评估的主力。BS 7910等缺陷评估流程估算作用于结构的δ，再与材料δ_c对比，判断缺陷尺寸是否可接受。由于涉及延性断裂，K_IC容易误判，故采用CTOD。
管道·压力容器设计： 对天然气管道和压力容器，通过控制CTOD转变温度以避免低温脆性破坏。对母材、焊缝金属和热影响区分别测定δ_c，确认即使在最低运行温度也有足够的张开余量（δ）。
低温服役的材料选择： 在LNG储罐和寒冷地区结构中，温度下降会增大裂纹尖端约束，趋向平面应变。在本工具中将约束状态切换为平面应变时CTOD下降，正反映了这种"低温下更难张开、更趋脆性"的趋势。
事故分析与剩余寿命评估： 结构意外破坏时，工程师根据断面推断的裂纹尺寸和服役应力反算δ，再与δ_c对比以查明根本原因。对已发现裂纹的在役设备，当前δ与临界δ_c之差可估算"还能再用多少年"。
常见误解与注意要点
首先，把CTOD简单读作"越大越好、越小越危险"是错误的 。CTOD本身是"尖端张开多少"的指标，与之对应的是材料的临界值δ_c。评估始终是"作用δ ≤ 临界δ_c"的比较。作用δ即使较大，只要该材料的δ_c更大就没问题。切勿仅凭工具的数值判断"安全／危险"，必须与试验得到的临界值结合考虑。
其次，不要把约束系数 m 固定理解为"非1即2" 。m≈1（平面应力）、m≈2（平面应变）只是理想化的两个极端；对真实的试样厚度和几何，m 连续变化。有些文献还用流动应力（屈服与抗拉强度的平均）代替σ_y。本工具的平面应力／平面应变切换是教育性参照，现场通常还要配合约束修正（T应力或Q参数）。
最后，不要把Dugdale的发散误解为"真实材料中CTOD真的变成无穷大" 。$\sigma\to\sigma_y$ 时Dugdale CTOD陡升，是理想弹塑性、无限大板这一理想化的结果。真实材料有加工硬化、试样有限，即使进入全面屈服CTOD仍保持有界。正确的读法是把它当作警告：已进入大范围屈服，应从线弹性断裂力学转向弹塑性评估。
常见问题
CTOD（裂纹尖端张开位移）是什么？
CTOD（Crack Tip Opening Displacement，裂纹尖端张开位移）是弹塑性断裂力学参数，表示受载时裂纹尖端张开的程度。符号为δ，单位为mm（本工具以μm显示）。对于结构钢等在断裂前发生大量屈服的延性材料，当线弹性参数K_IC不再适用时，CTOD可作为断裂韧性指标。
为什么使用CTOD而不是K_IC？
K_IC是线弹性参数，仅在小范围屈服（裂纹尖端塑性区远小于试样尺寸）时有效。对于结构钢焊接部位等在断裂前大量屈服的材料，K_IC不成立。CTOD直接测量裂纹尖端的塑性变形，因此可适用于中等乃至大范围屈服，给出更现实的断裂评估。
平面应力与平面应变下CTOD有何不同？
弹性CTOD为δ=K_I²/(m·σ_y·E′)，约束系数m和有效弹性模量E′随状态变化。平面应力时m≈1、E′=E；平面应变时m≈2、E′=E/(1−ν²)。因此相同K_I下平面应变CTOD约为平面应力的一半，表明越厚的截面约束越强、张开越小。
CTOD试验如何进行？
标准上依据BS 7448或ASTM E1820，使用SENB（三点弯曲）或CT试样。用夹式引伸计测量裂纹嘴张开位移（CMOD），通过铰链模型外推到裂纹尖端得到δ。对于延性断裂，从载荷−CMOD曲线的特征点定义临界值δ_c、δ_u、δ_m等。