波面动画
音源
观测者
前方：压缩 → 高音
后方：拉伸 → 低音
观测者为右侧耳朵标记。波面到达它的间隔决定观测频率。
Theory
$$f_{obs} = f_0\,\frac{c \pm v_{o}}{c \mp v_{s}}\qquad \Delta f = f_{obs} - f_0$$
$$Ma = \dfrac{v_s}{c},\qquad \sin\theta = \dfrac{1}{Ma}\;(Ma>1)$$
多普勒效应的公式是什么？
f' = f₀ × (v + vo) / (v - vs)。符号规则：v 为音速[m/s]，vo 为观测者速度（朝向音源为+），vs 为音源速度（朝向观测者为+）。例如：f₀=440Hz、v=340m/s、vs=34m/s（音速的10%接近）时，f' = 440×340/(340-34) ≈ 488Hz（+10.9%）。本模拟器同时计算并展示接近和远离两种情况。
马赫数和马赫角如何计算？
Ma = vs/v。冲击波的马赫角 θ（冲击波面与运动方向的夹角）由 sinθ = 1/Ma 给出。例如：Ma=2 时，θ = arcsin(0.5) = 30°。F/A-18（战斗机）以 Ma=1.2 飞行时，θ = arcsin(1/1.2) ≈ 56°。切换到马赫圆锥标签，可设置任意 Ma>1 值并直观查看冲击波角。
超声多普勒血流计的测量精度如何提高？
多普勒血流计的测量公式 Δf = 2f₀·v·cosθ/c 表明，超声束与血流夹角 θ 越接近0°，灵敏度越高。当 θ=90°（垂直）时，cosθ=0，Δf=0 无法测量。临床上推荐 θ≤60°，通过测得的 Δf 和已知的 θ 计算血流速度 v = Δf·c/(2f₀·cosθ)。角度补正非常重要。
如何测量光的多普勒效应（红移）？
测量星体的光谱（如氢吸收线）波长，与已知的静止状态波长对比。红移参数 z = Δλ/λ₀ = (λ_obs - λ_rest)/λ_rest，从中得到后退速度 v ≈ z·c（非相对论近似）。哈勃发现星系红移与距离的关系，由此建立哈勃定律 v = H₀·d，从而证实了宇宙膨胀。现代观测到 z>10（即接近光速的后退速度）的星系。
多普勒LiDAR和多普勒雷达有什么区别？
基本原理相同，但使用的"波"不同。雷达用微波（GHz 级），LiDAR 用近红外激光（数百 THz）。LiDAR 因波长短可聚焦细束、分辨率高，但在雨雾中衰减。自动驾驶系统通常两者互补使用。在多普勒 CFD 中，这些传感器的测量值用来与数值模拟结果对比验证。
风会影响多普勒效应的观测频率吗？
会的。有风时，多普勒公式中的"音速 v"保持不变（相对于媒质空气），但音源和观测者的速度应以"相对风速"来测量。例如逆风吹时，波长的压缩和拉伸模式会左右不对称。实际工程计算中需要引入风速矢量，使用广义多普勒方程。
多普勒效应模拟器简介
多普勒效应模拟器的物理模型基于波动基本原理。静止媒质中，声以音速 $v$ 传播。当速度为 $v_s$ 的音源发声时，观测者静止的观测频率 $f'$ 由原频率 $f$ 表示为 $f' = f \frac{v}{v - v_s}$。音源越接近观测者，分母越小，频率越高；越远离，频率越低。反之，观测者以速度 $v_o$ 运动时，音源静止则 $f' = f \frac{v + v_o}{v}$，观测者越接近音源频率越高。当音源速度超过音速时，波面重叠形成马赫圆锥，产生冲击波。圆锥半顶角 $\theta$ 由 $\sin\theta = \frac{v}{v_s}$ 给出，这是超音速领域的特征现象。本工具实时计算这些公式，通过圆形波面动画、频率图表和冲击波可视化，帮助直观理解。
多普勒效应公式
当声源或观测者运动时，观测到的频率会发生变化（多普勒效应）。对声速 $v$、声源频率 $f$，观测频率 $f'$ 由下式给出。
$f' = f\,\dfrac{v \pm v_o}{v \mp v_s}$
其中 $v_o$ 为观测者速度，$v_s$ 为声源速度。符号取法使得靠近时频率升高（音调变高），远离时降低（观测者靠近时分子取 $+$，声源靠近时分母取 $-$）。救护车警笛靠近时听起来音调高、驶过后变低，正是这一效应。
冲击波与应用
当声源速度超过声速（$v_s > v$）时，波前相互叠加，形成圆锥状的冲击波（音爆）。以马赫数 $M=v_s/v$ 表示时，冲击波的半顶角由 $\sin\theta = 1/M$ 给出。
多普勒效应不仅发生于声波，也发生于光（电磁波）；天体远离时波长被拉长，表现为红移，是宇宙膨胀的证据。其应用十分广泛，用于速度测量（多普勒雷达、测速枪）、医学超声血流测量（彩色多普勒）、气象雷达等。本模拟器可改变声源与观测者的速度，观察频率的变化。
现实应用
工业实际应用例
汽车工业中，被动声纳和多普勒速度计用于车辆接近警报系统开发。具体来说，丰田和博世采用的毫米波雷达通过多普勒效应精确检测前方车辆的相对速度，实现碰撞回避支援和自适应巡航控制（ACC）。风电行业中，装在风机舱顶的激光雷达（如 Vaisala 产品）通过测量风速的多普勒频移，进行叶片桨距控制优化。
研究和教育应用
大学物理实验和声学工程课程中，本模拟器作为教材可视化波面的压缩和膨胀。特别是在航空航天学院，学生可以实时观察超音速流中马赫圆锥的形成过程，直观理解冲击波产生条件。医学院超声诊断实习前期，学生通过本工具先学习血流速度测量（多普勒法）原理，提高临床实习效率。
与CAE分析的协联及实务定位
本模拟器在CAE工具（如 ANSYS Fluent、COMSOL Multiphysics）执行的声学分析之前的阶段使用。设计阶段通过快速参数扫描了解频率移动趋势后，再转入详细的有限元分析，从而减少车辆风切音降低和飞机发动机噪声对策等开发工时。在实务中，还可用于实验测量的前期检讨和 CAE 结果的有效性确认（基准检验）。
常见误解和注意事项
很多人认为"观测者远离音源时观测频率必然降低"，但实际上，即使观测者远离，如果音源以足够高的速度接近，频率仍可能上升。相对速度的方向和大小都会影响结果，有时会出现反直觉的情况。
有人以为"冲击波（马赫圆锥）仅在音源超音速时瞬间产生"，但实际上超音速状态持续期间，圆锥形波面一直存在。本模拟器中保持音源速度在音速以上时移动，你可以看到马赫圆锥角度随速度变化实时改变。
有人说"观测周频率公式仅对音源和观测者直线运动有效"，实际上存在包含角度分量的通用公式。本模拟器为简化起见仅考虑一维运动，讨论斜向多普勒效应时需要额外补正。