默认值：n_1=1.00（空气）、n_2=1.50（玻璃）、θ_i=30°、β=0.5（自然光）。s 偏振比率 β 表示入射光中 s 偏振成分的比例，β=1 为纯 s 偏振，β=0 为纯 p 偏振，β=0.5 为非偏振（自然光）。
蓝带=媒质1（n_1）／绿带=媒质2（n_2）／黄=入射光／红=反射光（角度等于 θ_i）／青=折射光（角度 θ_t，符合斯涅尔定律）／白虚线=法线
横轴=入射角 θ_i（0°～89°）／纵轴=反射率 R（0～1）／蓝=R_s／橙=R_p／绿=R_unpol／绿虚线竖线=布儒斯特角／黄竖线=当前 θ_i
菲涅尔反射公式给出两媒质界面处 s 偏振与 p 偏振的反射系数。通过斯涅尔定律 $n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_t$ 求得透射角 $\theta_t$。
s 偏振（电场垂直于入射面）与 p 偏振（电场平行于入射面）的反射系数：
$$r_s = \frac{n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t},\quad r_p = \frac{n_2\cos\theta_i - n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_i + n_1\cos\theta_t}$$
反射率与非偏振（β 为 s 偏振比率）反射率：
$$R_s = r_s^2,\ R_p = r_p^2,\ R_{\text{unpol}} = \beta R_s + (1-\beta) R_p$$
布儒斯特角（$r_p = 0$）与临界角（$n_1\gt n_2$ 时）：
$$\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1},\qquad \sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$
$n_1, n_2$ 为屈折率（无量纲），$\theta_i, \theta_t$ 为入射角与透射角。当 $n_1 \lt n_2$ 时不发生全反射。
菲涅尔反射公式 模拟器简介
🙋
我知道斯涅尔定律，但"菲涅尔反射公式"是什么？这和折射有什么区别吗？
🎓
很好的问题。斯涅尔定律告诉光线"弯折的方向"，而菲涅尔公式告诉光线"多少百分比被反射，多少被透射"——它按偏振分量给出。Augustin-Jean Fresnel 在 1823 年根据弹性波动论推导了这个公式，是光学设计的基础。在本工具的默认值（n_1=1.00、n_2=1.50、θ_i=30°、β=0.5）下看"计算结果"。R_s ≈ 0.058、R_p ≈ 0.025、非偏振 R ≈ 0.041、布儒斯特角 56.31°。即使空气到玻璃，30° 入射也只有约 4% 反射。
🙋
为什么 s 偏振和 p 偏振的反射率不同？它们都是光啊。
🎓
关键在于电场相对于界面的方向。s 偏振（德语 senkrecht，垂直）的电场垂直于入射面，p 偏振（德语 parallel，平行）的电场平行于入射面。从边界条件和麦克斯韦方程推导，这两种偏振态有不同的反射系数。你在本工具中把 θ_i 从 0° 拖到 89°——R_s 单调增加，但 R_p 在途中降至 0 再上升。这个"R_p 变零的角度"就是 1812 年 David Brewster 发现的布儒斯特角。
🙋
布儒斯特角！我听说过偏光太阳镜。实际怎么用的？
🎓
最常见应用就是偏光太阳镜和相机的偏光滤镜。从水面、湿路面、车前挡玻璃反射的光，在布儒斯特角附近 p 偏振成分几乎为零，只有强烈的 s 偏振反射。偏光镜内的偏光膜吸收水平方向（s 偏振）的振动，反射光眩光被削弱 70～90%。本工具中改 n_1=1.00、n_2=1.33（水），你会看到 θ_B ≈ 53.06°——这是"消除水面反射眩光效果最好的角度"。职业摄影师旋转偏光镜找最优角度，原理一样。
🙋
如果 n_1 比 n_2 大呢？图表会不会变得很奇怪？
🎓
完全正确！改 n_1=1.50（玻璃）、n_2=1.00（空气）试试。临界角 θ_c = arcsin(1/1.5) ≈ 41.81°，超过这个角就是 R_s = R_p = 1（全反射）。光纤通信就用全反射——光芯（n≈1.47）与包层（n≈1.46）界面，光可以无损耗地传输几十公里。工具中会出现 θ_c 的竖虚线，那个角度以上曲线贴在上限。布儒斯特角也在这种情况向内移动，θ_B ≈ 33.69°。光线图也显示全反射时折射光消失，出现"全反射 (TIR)"字样。
常见问题
什么是菲涅尔反射公式？
菲涅尔反射公式用于描述两个不同屈折率媒质边界处光的反射与透射，按偏振分量给出。由 Augustin-Jean Fresnel 在 1823 年根据弹性波动论推导。s 偏振（电场垂直于入射面）与 p 偏振（电场平行于入射面）的反射系数 r_s、r_p 不同，反射率由 R = r² 计算。本工具在默认值（n_1=1.0、n_2=1.5、θ=30°、β=0.5 自然光）下显示 R_s ≈ 0.058、R_p ≈ 0.025、非偏振 R ≈ 0.041、布儒斯特角 θ_B ≈ 56.3°。
什么是布儒斯特角，为什么 p 偏振消失？
布儒斯特角 θ_B 是 p 偏振反射率为 0 的特殊入射角，由 tan θ_B = n₂/n₁ 给出。此角度下反射光与折射光夹角为 90°，p 偏振（平行于入射面的电场）的偶极辐射方向与反射方向一致，因偶极指向特性而不被辐射。玻璃（n=1.5）对应 θ_B ≈ 56.3°，水（n=1.33）为 53.1°。将工具中 θ 调至 56.31°，R_p 降至 0，反射光完全变为 s 偏振。偏光太阳镜与相机反射除去滤镜均基于此原理。
当 n₁ > n₂ 时，临界角与全反射如何关联？
光从屈折率高的媒质（光密，n₁）进入屈折率低的媒质（光疏，n₂）时，入射角超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 会发生全反射，R_s = R_p = 1。例如玻璃（n_1=1.5）到空气（n_2=1.0）的情况，θ_c ≈ 41.8°，超过此角度光被 100% 反射。在工具中改 n_1=1.5、n_2=1.0，并将 θ 从 0°～89° 变化，可观察在 θ_c 处反射率急剧上升进入全反射区域的 R-θ 曲线行为。光纤传输原理正是利用全反射。
本工具未考虑哪些物理现象？
本工具仅处理菲涅尔方程的实数表示形式，不包括吸收介质（金属等需要复屈折率 n+ik）、薄膜干涉（多层膜的建设性与破坏性干涉）、光的波长色散、表面粗糙度散射、量子效应。实际的减反膜与高反镜设计需使用 TFCalc 或 Essential Macleod 等薄膜计算软件，考虑多层干涉效应。本工具足以用于单一界面偏振反射的基础理解与估算，适合作为光学设计的初步评估工具。复屈折率的金属反射计算需参考专门工具。
实际应用
减反膜（AR 膜）： 相机镜头、眼镜、手机屏幕的减反膜利用薄膜干涉，将菲涅尔公式计算的单层界面反射（玻璃→空气约 4%）降至几乎 0%。理想情况是膜厚 λ/4、屈折率为 √(n 基底) 的单层膜（如 MgF₂），现代高级镜头采用 10 层以上多层膜在全可见域实现反射率 0.5% 以下。本工具中观察 R_unpol，无膜玻璃垂直入射也有 4% 反射——20 片透镜的变焦镜头透光率会降至 (0.96)²⁰ ≈ 44%，说明 AR 技术的重要性。
偏光太阳镜与偏光滤镜： 从水面、路面、车体反射的光在布儒斯特角附近呈现 p 偏振近零、s 偏振强烈的特性。偏光太阳镜内的偏光膜吸收水平方向（s 偏振）振动，反射光眩光被削弱 70～90%。釣魚者利用偏光眼镜看清水下鱼群，汽车驾驶员利用它消除对向车辆大灯反射。本工具中将 θ 调至 θ_B 附近可观察 R_p 降至 0，直观体验偏光滤镜原理。
光纤通信： 玻璃光纤的芯与包层界面设计使光线入射角超过临界角，通过全反射无损传输。本工具中设 n_1=1.47（芯）、n_2=1.46（包层），θ_c ≈ 83.3° 被显示——这个角以内的光才能被光纤约束。单模光纤在超过 100 km 距离实现损耗仅 0.2 dB/km。
太阳电池和建筑玻璃： 太阳电池通过表面织构加工与 AR 膜将反射率从 30%（未加工硅）降至 1% 以下，提升光电转换效率。建筑用 Low-E 玻璃通过增加红外反射率提升冷暖空调效率。本工具中将 n_2 改为 3.5（硅），无膜硅在垂直及 60° 入射时反射率分别约 30% 与 35%，说明为何 AR 技术至关重要。
常见误解与注意事项
最常见的误解是"布儒斯特角时反射光为零" 。实际上，θ_B 时仅 p 偏振反射率 R_p 为 0，s 偏振 R_s 仍然反射。非偏光（自然光）入射时，β=0.5 下 R = 0.5(R_s + 0) = R_s/2，例如玻璃在 θ_B 时 R ≈ 0.074，绝非 0。要完全消除反射必须预先将入射光偏振为 p 偏振。本工具中将 β 改为 0.0（纯 p 偏振），才能在 θ_B 看到 R = 0。
其次常见"入射角越大反射率越大" 的误解。s 偏振 R_s 确实从 0° 到 90° 单调增加，但 p 偏振 R_p 是非单调曲线——在布儒斯特角降至 0 后急剧上升。这源自麦克斯韦方程的边界条件，由 Brewster 在 1812 年经验发现、Fresnel 在 1823 年理论证明。本工具右图中橙色的 R_p 曲线明显显示必在 θ_B 处触及 0，随后快速上升——这正是布儒斯特角的物理含义。
最后，"菲涅尔公式都是实数，无需复屈折率" 是不对的。金属（银、铝、金）和半导体反射计算必须用复屈折率 n + ik（k 为消衰系数）。本工具仅限透明电介质（玻璃、水、塑料）。例如可见光（550 nm）下铝的 n ≈ 0.96、k ≈ 6.69——仅用实数 n 代入菲涅尔公式会严重低估反射率。复数版菲涅尔公式（包含相位变化）需专门模拟器或椭偏仪数值计算，是薄膜光学和材料表征的标准工具。