默认值 n_1 = 1.00（空气）、n_2 = 1.50（玻璃）、θ_i = 30°、β = 0.5（自然光）。s 偏振比例 β 表示入射光中 s 偏振分量的比例：β=1 为纯 s 偏振，β=0 为纯 p 偏振，β=0.5 为非偏振自然光。
蓝带＝介质 1（n_1）／绿带＝介质 2（n_2）／黄＝入射光／红＝反射光（角度等于 θ_i）／青＝折射光（θ_t，斯涅尔定律）／白虚线＝法线
横轴＝入射角 θ_i（0°～90°）／纵轴＝反射率 R（0～1）／青＝R_s／橙＝R_p／绿＝R_unpol／绿色虚线＝布儒斯特角／黄色竖线＝当前 θ_i
菲涅耳反射方程给出两介质界面上 s 偏振与 p 偏振的反射系数。先由斯涅尔定律 $n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_t$ 求出折射角 $\theta_t$。
s 偏振（电场垂直于入射面）与 p 偏振（电场平行于入射面）的反射系数：
$$r_s = \frac{n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t},\quad r_p = \frac{n_2\cos\theta_i - n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_i + n_1\cos\theta_t}$$
反射率与非偏振反射率（β 为 s 偏振比例）：
$$R_s = r_s^2,\ R_p = r_p^2,\ R_{\text{unpol}} = \beta R_s + (1-\beta) R_p$$
布儒斯特角（$r_p = 0$）与临界角（$n_1>n_2$ 时）：
$$\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1},\qquad \sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$
$n_1, n_2$ 为折射率（无量纲），$\theta_i, \theta_t$ 分别为入射角与折射角。当 $n_1 < n_2$ 时不会发生全反射。
什么是菲涅耳反射方程模拟器
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斯涅尔定律我已经知道，可菲涅耳方程跟它有什么不同？不都是讲光怎么折射的吗？
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很好的问题。斯涅尔定律决定光折射的方向，而菲涅耳方程按偏振分别给出反射和透射的能量比例。Augustin-Jean Fresnel 于 1823 年从弹性体波动论推出，是光学设计的根基。本工具默认参数（n_1=1.00、n_2=1.50、θ_i=30°、β=0.5）下，"计算结果"显示 R_s ≈ 0.058、R_p ≈ 0.025、非偏振 R ≈ 0.041、布儒斯特角 56.31°。即从空气以 30° 入射到玻璃，反射率也只有约 4%。
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为什么 s 偏振和 p 偏振的反射率不一样？同样是光，感觉很神奇。
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关键在于电场矢量相对界面的方向。s 偏振（德语 senkrecht，垂直）的电场垂直于入射面，p 偏振（parallel）的电场平行于入射面。由 Maxwell 方程的边界条件可推出两者反射系数不同。本工具中将 θ_i 从 0° 扫到 89°：R_s 单调上升，而 R_p 在某个角度先降到 0 再上升。这个零点正是 1812 年 David Brewster 发现的布儒斯特角。
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布儒斯特角！偏光太阳镜里听过。它在实际中怎么用？
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最常见的应用就是偏光太阳镜与摄影偏振滤镜。水面、湿路面、车窗等表面附近布儒斯特角处反射光的 p 分量几乎为零，主要是 s 偏振。偏光太阳镜内置吸收水平方向（s 偏振）的偏光膜，可去除 70～90% 的眩光。本工具中将 n_1=1.00、n_2=1.33（水），θ_B ≈ 53.06°，正是消除水面眩光的最佳角度。摄影师调整圆偏振滤镜也是同样的原理。
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如果 n_1 比 n_2 大会发生什么？图像应该会有很大变化吧？
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观察很敏锐。本工具中将 n_1=1.50（玻璃）、n_2=1.00（空气），临界角 θ_c = arcsin(1/1.5) ≈ 41.81°，超过该角度 R_s = R_p = 1（全反射，TIR）。光纤通信正利用全反射：光在芯（n ≈ 1.47）与包层（n ≈ 1.46）界面无损反射，可传输数公里。本工具中 θ_c 处出现竖虚线，超过该角度后曲线贴顶。布儒斯特角此时位于内侧 θ_B ≈ 33.69°，R_p 仍为零。光线图中全反射时折射光消失并显示"全反射 (TIR)"字样。
常见问题
什么是菲涅耳反射方程？
菲涅耳反射方程描述光在两种不同折射率介质的界面上反射和透射的比例，并按偏振方向分别给出。Augustin-Jean Fresnel 于 1823 年从弹性体波动理论推导出该方程。s 偏振（电场垂直于入射面）与 p 偏振（电场平行于入射面）的反射系数 r_s、r_p 不同，反射率为 R = r²。本工具默认 n_1=1.0、n_2=1.5、θ=30°、β=0.5（自然光），将显示 R_s ≈ 0.058、R_p ≈ 0.025、非偏振 R ≈ 0.041、布儒斯特角 θ_B ≈ 56.3°。
什么是布儒斯特角？为何 p 偏振反射率会消失？
布儒斯特角 θ_B 是 p 偏振反射率为零的特殊入射角，由 tan θ_B = n_2/n_1 给出。该角度下反射光与折射光夹角恰为 90°，p 偏振（电场平行入射面）的振荡偶极子辐射方向与反射方向重合，因偶极子辐射方向特性而无法向反射方向辐射。对玻璃（n=1.5）θ_B ≈ 56.3°，对水（n=1.33）≈ 53.1°。在本工具中将 θ 设为 56.31° 时 R_p 落到 0，反射光成为纯 s 偏振。偏光太阳镜与摄影偏振滤镜均利用此原理。
n_1 > n_2 时临界角与全反射如何相关？
当光从光密介质（折射率较高的 n_1）进入光疏介质（n_2 较低）时，若入射角超过临界角 θ_c = arcsin(n_2/n_1)，将发生全反射，R_s = R_p = 1。例如玻璃（n_1=1.5）→空气（n_2=1.0）时 θ_c ≈ 41.8°，超过此角度光将 100% 反射。本工具中将 n_1=1.5、n_2=1.0，扫描 θ 从 0° 到 89° 即可在 R-θ 曲线上看到反射率在 θ_c 处跃升至 1，进入全反射区。光纤通信正是利用这种全反射原理。
本工具未考虑哪些物理现象？
本工具仅处理菲涅耳方程的实数表达，忽略了吸收性介质（金属等需复折射率 n+ik）、薄膜干涉（多层膜的相长/相消干涉）、光的波长依赖（色散）、表面粗糙度散射与量子效应。实际增透膜与高反射镜设计需使用 TFCalc、Essential Macleod 等薄膜软件考虑多层干涉。本工具适用于单一界面偏振反射的基础理解与初步估算，可作为光学设计的首次估值。复折射率金属反射计算请参考专门的工具。
实际应用
增透膜（AR 膜）： 相机镜头、眼镜、手机屏幕上的增透膜利用薄膜干涉，将菲涅耳方程预测的单界面反射率（玻璃→空气约 4%）压低到接近 0%。理想单层最优条件为厚度 λ/4、折射率 √(n_substrate)（常用 MgF_2）。现代高级镜头层叠 10 层以上，可在整个可见光范围将反射率降至 0.5% 以下。本工具中观察 R_unpol：未镀膜时正入射也有 4% 反射，20 片透镜组成的变焦镜头透光率仅 (0.96)²⁰ ≈ 44%。
偏光太阳镜与偏振滤镜： 水面、路面、车体附近以布儒斯特角反射的光，p 分量几乎为零，主要是强 s 偏振。偏光太阳镜采用吸收水平（s 偏振）方向的偏光膜，可去除 70～90% 的眩光，方便钓鱼者看清水中的鱼，或减弱夜间对面车辆头灯的反射。本工具中将 θ 设到 θ_B 附近，R_p 落到零、反射光完全偏振，正是偏振滤镜的工作原理。
光纤通信： 玻璃光纤的芯与包层界面，通过设计入射角超过临界角实现无损全反射。本工具中将 n_1=1.47（芯）、n_2=1.46（包层），θ_c ≈ 81.9°，只有进入受光锥角内的光才能被束缚在芯中传输。单模光纤这一选择性更强，已实现 100 km 以上长距离通信、损耗仅 0.2 dB/km。
太阳能电池与建筑玻璃： 太阳能电池通过纹理化与 AR 膜将表面反射率从无加工硅约 30% 降至 1% 以下。Low-E 建筑玻璃通过提高红外反射率提升节能效率。本工具中将 n_2 设为 3.5（硅），未镀膜硅在正入射下 R_unpol 约 30%，60° 入射约 35%，可直观感受 AR 技术对光伏效率的关键作用。
常见误解与注意事项
最常见的误解是"布儒斯特角处反射光为零" 。实际上仅 p 偏振反射率 R_p 在该角度为零，s 偏振 R_s 仍然不为零。对非偏振自然光（β=0.5），R = 0.5(R_s + 0) = R_s/2，例如玻璃（n=1.5）的 θ_B 处 R ≈ 0.078，绝非零。要完全消除反射，必须先将入射光预先偏振为 p 偏振。本工具中将 β 滑块拉到 0.0（纯 p 偏振）后再读 θ_B 处的 R，此时才真正等于 0。
第二个常见误解是"反射率随入射角单调上升" 。s 偏振 R_s 确实从 0° 到 90° 单调增加，但 p 偏振 R_p 在布儒斯特角处先下降至 0、再急速上升，呈非单调曲线。这一现象由 Maxwell 方程的边界条件直接导出，Brewster 于 1812 年凭经验发现，Fresnel 在 1823 年理论证明。仔细观察本工具右图中橙色 R_p 曲线，必在 θ_B 处触及零再陡升，这种非单调性正是布儒斯特角的物理特征。
第三个常见误区是"菲涅耳方程是实数，所以不需要复折射率" 。然而金属（银、铝、金）与半导体的反射计算必须使用复折射率 n + ik（k 为消光系数）。本工具仅适用于 k = 0 的透明介质（玻璃、水、塑料）。例如可见光（550 nm）下铝的 n ≈ 0.96、k ≈ 6.69，仅用实数 n 代入菲涅耳方程会严重低估反射率。复数版菲涅耳方程（含相位变化）需另行使用专门的薄膜或椭偏仪软件。