参数设置
默认值 λ = 1064 nm（Nd:YAG）、w₀ = 100 μm、z = 100 mm、M² = 1.0（衍射极限）。z < zR 时光束近似准直，z > zR 时发散主导。
沿 z 方向的光束包络
横轴＝z (mm) 0〜500／纵轴＝±w(z) [μm]／从束腰（z=0）左右对称展开的双曲线／绿色虚线＝瑞利长度 ±zR／黄色竖线＝当前 z 位置／颜色（蓝→红）＝轴上强度 I(z) = I₀(w₀/w(z))²
当前 z 处的圆形高斯横截
中心强度最高／径向按 I(r) = I₀·exp(-2r²/w(z)²) 衰减／白圈＝光束半径 w(z)（强度降至 1/e² 的位置）／显示直径＝2·w(z)
理论与主要公式
高斯光束（TEM₀₀）是傍轴 Helmholtz 方程的最低阶解，横向呈高斯分布、纵向以双曲线从束腰 $w_0$ 展开。
距离 $z$ 处的光束半径：
$$w(z) = w_0 \sqrt{1+\left(\frac{z}{z_R}\right)^{\!2}}$$
瑞利长度与远场发散半角（含 $M^2$ 因子）：
$$z_R = \frac{\pi w_0^2}{M^2 \lambda},\qquad \theta_{\mathrm{div}} = \frac{M^2 \lambda}{\pi w_0}$$
轴上强度（功率守恒）：
$$I(z) = I_0 \left(\frac{w_0}{w(z)}\right)^{\!2}$$
$w_0$ 为束腰半径（强度降至 $1/e^2$ 处的半径），$\lambda$ 为真空波长，$M^2$ 为光束质量因子（$M^2 \ge 1$，衍射极限 TEM₀₀ 为 1）。$z \ll z_R$ 时近似准直，$z \gg z_R$ 时渐近为半角 $\theta_{\mathrm{div}}$ 的圆锥。
什么是高斯光束模拟器？
🙋
课本上说激光「沿直线传播」，但显然到很远的距离会扩散。这个工具能算这个吗？
🎓
问题问得好。真实的激光光束并非完全平行，而是按高斯光束规律 w(z) = w₀√(1+(z/zR)²) 沿 z 方向呈双曲线展开。本工具的默认参数（λ=1064 nm、w₀=100 μm、M²=1）下，「计算结果」中的瑞利长度 zR 约 29.53 mm，z=100 mm 处光束半径达到 353 μm。红光激光指示器（650 nm、w₀≈0.5 mm）的 zR 约 1.2 m，因此几米内看上去仍「近似平行」。
🙋
29.53 mm 比想象中短不少。「瑞利长度」具体是什么？
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瑞利长度 zR 是「光束半径增大到 √2 倍（横截面积加倍）的距离」。z < zR 时光束近似准直，z > zR 时发散主导。公式为 zR = πw₀²/(M²λ)，将 w₀ 加倍则 zR 提升 4 倍 — 这正是激光切割与光刻所说的「焦深 DOF」。在本工具把 w₀ 从 100 μm 拉到 200 μm，可看到 zR 由 29.53 mm 提升到约 118 mm。
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M² 表示「实际光束相对于理想 TEM₀₀ 高斯模式的可聚焦程度」。M² = 1 是衍射极限（最佳），M² = 5 时发散角扩大 5 倍、瑞利长度缩为 1/5。He-Ne 与单模光纤激光器约 M² ≈ 1.05–1.1，多模 Nd:YAG 约 5–25，高功率光纤激光器约 1.1–1.5。在本工具把 M² 从 1.0 拉到 5.0：zR 由 29.53 mm 缩到 5.91 mm，发散角 θ 由 3.39 mrad 增到 16.93 mrad。这就是激光切割机规格除「Output Power」外还要写「M² ≤ 1.3」的原因。
🙋
右侧图中 z 越远，截面越大、颜色越淡。这与能量守恒矛盾吗？
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观察很到位。在没有吸收/散射的理想条件下，光束总功率 P 沿传播守恒；但轴上强度 I(z) = I₀·(w₀/w(z))² 随 z² 衰减——光束变粗，单位面积强度自然下降。例如 z=1 m 处 w 约 3.4 mm（直径 6.78 mm），面积比 (w₀/w)² ≈ 0.00087，轴上强度仅为束腰处的约 1/1147。这正是激光安全规范对「近场与远场最大允许照射量 MPE」单独规定的物理原因。本工具的色彩渐变（蓝→红）即可视化此 I(z)。
常见问题
瑞利长度 zR 是从束腰开始光束半径增大到 sqrt(2) 倍（横截面积加倍）的距离，由 zR = pi w0^2 / (M^2 lambda) 给出。z 远小于 zR 时光束近似平行（准直区），z 远大于 zR 时进入远场，渐近为半角 theta = M^2 lambda / (pi w0) 的圆锥。本工具默认参数 lambda=1064 nm、w0=100 微米、M^2=1 时 zR ≈ 29.53 mm；将束腰加倍到 200 微米后 zR 提升 4 倍至约 118 mm。激光切割的焦深与显微物镜的景深都由这个 zR 决定。
M^2 是把实际光束与理想 TEM00 高斯模式做比较的无量纲数：M^2 = 1 是衍射极限（理论最佳），M^2 越大越难聚焦、发散也更大。典型值大致为：He-Ne 与单模激光二极管 M^2 ≈ 1.05，单模光纤激光器 M^2 ≈ 1.1，多模 Nd:YAG M^2 ≈ 5–25，高功率盘片激光器 M^2 ≈ 1.5–3。在本工具把 M^2 从 1.0 拉到 5.0，可见瑞利长度按 1/M^2 缩短，发散角按 M^2 增大。在激光切割与微加工中 M^2 越小越能同时获得细焦点和大焦深。
高斯光束的「半径 w(z)」定义为光强降至轴上强度的 1/e^2（约 13.5%）处的距离，并非强度的半高全宽 FWHM，而是光学设计的惯用定义。直径为 2 w(z)，FWHM 与之关系大致为 FWHM ≈ 1.18 w（约 0.59 × 2w）。激光安全规范 IEC 60825-1 在计算最大允许照射量 MPE 时有时使用 FWHM 或 1/e 直径而非 1/e^2，因此查看任何光束尺寸规格时务必确认其定义来源。本工具采用光学行业惯用的 1/e^2 半径，stat-card「1 m 处光束直径」也输出 2·w(1m)。
本工具假设傍轴近似下的 TEM00 高斯模式，忽略：(1) TEM10、TEM11 等高阶模式的叠加；(2) 透镜聚焦/准直（ABCD 矩阵法另由其他工具处理）；(3) 大气湍流与热透镜导致的波前畸变；(4) 散射与吸收介质中的传播；(5) 强度分布的偏振依赖性。实际高功率激光中热透镜可使有效 M^2 恶化 2–3 倍；km 级大气路径下，由 Cn^2 结构常数导致的束斑展宽可能比理论值大 2–10 倍。本工具足以做初期尺寸估算与教学使用；精密设计请配合 Zemax 或 VirtualLab Fusion 等物理光学软件。
实际应用
激光切割、焊接与微加工：切割钢板的 CO₂ 激光（λ=10.6 μm、w₀=50 μm、M²≈1.2）瑞利长度只有约 0.74 mm，光路（准直＋聚焦）必须设计得足够，以保证焦深大于板厚。光纤激光（λ=1.07 μm、w₀=20 μm、M²=1.1）相同条件下 zR 提升至约 1.07 mm。在本工具变化波长与 M²，可直观看到为何短波长、高质量光纤激光成为切割市场主流——细焦点与长焦深兼得。EUV 光刻（λ=13.5 nm）将这一逻辑推到亚纳米级聚焦。
光通信与光纤耦合：单模光纤（SMF-28，1550 nm 处模场直径 10.4 μm）的耦合效率在入射高斯光束的束腰、波前曲率、偏心与模式匹配时最高。在本工具设 w₀=5.2 μm（SMF-28 模场半径）、λ=1550 nm、M²=1，得 zR ≈ 54.8 μm，意味着耦合透镜定位容差需达微米级。这是 CFP、QSFP 模块装配必须采用「主动对准」的物理依据。
激光测距与 LiDAR：典型车载 LiDAR（λ=905 nm、w₀=2 mm、M²=1.5）在 100 m 处束腰半径约 22 mm（直径 44 mm），这决定了「点云分辨率 vs 探测距离」的折衷。在本工具把 w₀ 从 0.5 mm 拉到 5 mm，可直观感受短距离高分辨率与长距离高功率密度需要不同的最佳 w₀。FMCW LiDAR 与盖革模式单光子型同样依赖束腰设计决定 SNR 与探测距离。
共焦显微镜与光镊：高数值孔径共焦物镜（NA=0.9、λ=488 nm）将光束聚到 w₀ ≈ 0.34 μm，zR ≈ 0.75 μm，从而实现 μm 级光学切片。光镊将光束聚到 w₀ ≈ 0.5 μm 焦点处捕获微珠/细胞/纳米粒子，其力刚度 ∝ P/w₀⁴，可达 pN 量级。在本工具把波长设在 400–800 nm，把 w₀ 在 0.5–5 μm 之间扫描，可直观体会衍射极限分辨率与捕获力的关系。
常见误解与注意事项
最常见的误解是「激光完全平行」。任何实际激光均因衍射而发散，下限为 θ_min = λ/(πw₀)（M²=1）。例如 532 nm 绿光指示器（w₀=1 mm）的 θ ≈ 0.17 mrad，1 km 处光斑约 17 cm。本工具中把 w₀ 缩小，θ 反比例增大 — 这正是「束腰越细，扩展越快」的光学版位置-动量不确定关系。激光武器与星际通信构想中采用大口径出射的物理依据正在于此。
第二个误区是「光束直径在任何位置都是唯一的」。高斯光束有多种直径定义：1/e²（约 13.5%）半径、FWHM、D86（包含 86% 功率的直径）等。本工具采用的 1/e² 标准与 FWHM 数值差约 1.7 倍（FWHM ≈ 1.18·w）。阅读激光数据手册时务必确认「Beam diameter (1/e²) = 4 mm」之类规格的来源定义；进行 IEC 60825-1 安全计算时常需换算到 1/e 直径再求 MPE。本工具「1 m 处光束直径」即 2·w(1m) 即 1/e² 直径。
最后一个陷阱是「相信规格表上 M²=1 即可」。实际中长时间高功率连续运行时，热透镜效应使有效 M² 恶化 2–3 倍并不罕见。例如 100 W 光纤激光器规格 M²=1.1，预热后实际可能为 M²=1.5，导致焦点位置与束腰偏移、加工精度下降。在本工具比较 M²=1.0 与 M²=2.0：瑞利长度与峰值焦点强度均按 4 倍变化。生产系统应使用光束分析仪定期测 M²，并通过扩束镜或空间滤波器维持设计值。