默认值为 λ = 1064 nm（Nd:YAG）、w₀ = 100 μm、z = 100 mm、M² = 1.0（衍射极限）。z < z_R 为近似平行光束，z > z_R 为发散主导的远场。
横轴=z (mm) 0～500／纵轴=±w(z) [μm]／从腰部（z=0）左右对称扩展的双曲线／绿破线=瑞利长度 ±z_R／黄竖线=当前 z 位置／颜色（蓝→红）=轴上强度 I(z) = I₀(w₀/w(z))²
中心为最高强度／径向方向按 I(r) = I₀·exp(-2r²/w(z)²) 衰减／白圆=光束半径 w(z)（强度降至 1/e² 处）／显示直径=2·w(z)
高斯光束（TEM₀₀）是旁轴 Helmholtz 方程的最低阶解，横向强度呈高斯分布，纵向从腰部 $w_0$ 开始按双曲线状扩展。
传播距离 $z$ 处的光束半径：
$$w(z) = w_0 \sqrt{1+\left(\frac{z}{z_R}\right)^{\!2}}$$
瑞利长度和远场发散半角（含 $M^2$ 因子）：
$$z_R = \frac{\pi w_0^2}{M^2 \lambda},\qquad \theta_{\mathrm{div}} = \frac{M^2 \lambda}{\pi w_0}$$
轴上强度（功率守恒）：
$$I(z) = I_0 \left(\frac{w_0}{w(z)}\right)^{\!2}$$
其中 $w_0$ 为光束腰部半径（强度降至 1/e² 处的半径），$\lambda$ 为真空波长，$M^2$ 为光束品质系数（$M^2 \ge 1$，衍射极限 TEM₀₀ 时为 1）。当 $z \ll z_R$ 时光束近似平行，当 $z \gg z_R$ 时渐近于半角为 $\theta_{\mathrm{div}}$ 的圆锥。
高斯光束模拟器是什么
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我被教导激光光学说激光光是"平行传播"的，但实际上到远处时会散开，对吧？这个工具是用来计算的吗？
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很好的问题。激光光严格来说不是平行的，而是称为高斯光束的"双曲线状"传播。方程是 w(z) = w₀√(1+(z/z_R)²)。用本工具看一下默认值（λ=1064 nm、w₀=100 μm、M²=1）的"计算结果" — 瑞利长度约 29.53 mm，z=100 mm 处光束半径扩展到 353 μm。激光笔（红色 650 nm、w₀ ≈ 0.5 mm）的情况 z_R ≈ 1.2 m，所以数米范围内看起来"几乎平行"。
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呃，29.53 mm 比我想象的要短。"瑞利长度"是什么长度？
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瑞利长度 z_R 是"光束半径变为 √2 倍（截面积变为 2 倍）的距离"。z < z_R 时近似平行，z > z_R 时发散主导。公式是 z_R = πw₀²/(M²λ)。w₀ 增加一倍，z_R 就增加 4 倍 — 这就是激光切割和光刻中所说的"焦深（DOF）"这个重要参数。用本工具把 w₀ 滑块从 100 → 200 μm 移动，看看 z_R 从 29.53 mm 伸长到约 118 mm。
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M² 是"实际光束与理想 TEM₀₀ 高斯相比聚焦性能差多少"的无量纲量，M² = 1 为衍射极限（最好），M² = 5 时发散角变 5 倍，瑞利长度缩为 1/5。He-Ne 和单模光纤激光约 M² ≈ 1.05，Nd:YAG 多模约 5～25，光纤激光高功率品约 1.1～1.5。用本工具把 M² 从 1.0 改到 5.0，看 z_R 从 29.53 mm 缩到 5.91 mm，发散角从 3.39 mrad 扩到 16.93 mrad。激光切割机选购时，不仅要看"输出功率"，"M² ≤ 1.3"成为规格要求的原因就在这里。
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右下的图表中，z 越远截面越大，强度（颜色）越淡，这和能量守恒矛盾吗？
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很好的观察。光束的"总功率 P"在传播中保存（理想情况下无吸收无散射）。但轴上强度 I(z) = I₀·(w₀/w(z))² 随 z² 反比衰减 — 因为光束截面扩大，单位面积强度下降。比如 z=1 m 处 w 约 3.4 mm（直径 6.78 mm），面积比 (w₀/w)² ≈ 0.00087，轴上强度约下降到腰部的 1/1147。这就是激光安全标准里"光源附近和远场最大允许暴露量（MPE）"分别规定的物理原因。本工具的颜色渐变（蓝→红）就是可视化这个 I(z)。
常见问题
什么是高斯光束的瑞利长度 z_R？
瑞利长度 z_R 是从光束腰部到光束半径变为 √2 倍（截面积变为 2 倍）的距离，由 z_R = πw₀²/(M²λ) 给出。在 z ≪ z_R 的区域，光束近似为平行光束，称为"准直区域"；在 z ≫ z_R 的区域为远场，发散角约为 θ ≈ M²λ/(πw₀) 的圆锥。本工具的默认值（λ=1064 nm、w₀=100 μm、M²=1）显示 z_R ≈ 29.53 mm，将腰部径 w₀ 增加一倍至 200 μm 时，z_R 增至约 118 mm。激光切割的焦深设计和显微镜物镜的景深由此 z_R 决定。
光束品质 M² 表示什么？
M² 是相对于理想 TEM₀₀ 高斯模式评估光束聚焦性能的无量纲量，M² = 1 为衍射极限（理论最佳值），M² > 1 表示聚焦性能越差、发散越大。He-Ne 和单模半导体激光约 M² ≈ 1.05，单模光纤激光约 M² ≈ 1.1，Nd:YAG 多模约 M² ≈ 5～25，高功率圆盘激光约 M² ≈ 1.5～3。本工具可以将 M² 从 1.0 改到 5.0 观察瑞利长度缩短 1/M² 倍、发散角扩大 M² 倍。在激光切割和精微加工中，M² 越小越能实现狭窄焦点和大焦深的结合。
光束半径 w(z) 和直径有什么区别？
高斯光束的"半径 w(z)"定义为轴上强度降至 1/e²（≈13.5%）处的距离，这不是强度半高全宽 FWHM，而是光学设计中约定俗成的定义。直径为 2w(z)，与 FWHM ≈ 1.18·w（≒ 0.59·2w）相关。激光安全标准（IEC 60825-1）的最大允许暴露量计算可能使用 FWHM 或 1/e 直径而非 1/e² 直径，因此必须确认光束径规格的出处定义。本工具采用光学行业标准的 1/e² 半径显示，"1 m 处光束直径"输出也是 2·w(1m)。
本工具不考虑哪些实际物理现象？
本工具在旁轴近似下假设 TEM₀₀ 高斯模式，不考虑：(1) 高阶模式（TEM₁₀、TEM₁₁ 等）的叠加，(2) 透镜聚焦和准直（ABCD 矩阵法见另一工具），(3) 大气湍流和热透镜效应导致的波面畸变，(4) 散射和吸收介质中的传播，(5) 强度分布的偏振依赖性。实际高功率激光中，热透镜使实效 M² 恶化 2～3 倍，km 量级大气传播中，Cn² 结构常数导致光束扩展达理论值的 2～10 倍。本工具足以用于初期设计尺寸确定和教学，精密设计应配合 Zemax 或 VirtualLab Fusion 等物理光学模拟器。
实际应用
激光切割、焊接、微细加工： 金属板的 CO₂ 激光切割（λ=10.6 μm、w₀=50 μm、M²≈1.2）的 z_R ≈ 0.74 mm 非常短，为保证板厚以上的焦深，光学系统（准直+聚焦）设计至关重要。光纤激光（λ=1.07 μm、w₀=20 μm、M²=1.1）在同样条件下 z_R ≈ 1.07 mm。用本工具改变波长和 M²，可直观看出为何近红外光纤激光成为切割业界主流 — 短波长和高光束品质结合实现细焦点和长焦深的优势。半导体制造的 EUV 光刻（λ=13.5 nm）更极端，实现 sub-nm 级聚焦。
光通信·光纤耦合： 单模光纤（SMF-28、1550 nm 处模场直径 10.4 μm）的耦合效率，入射高斯光束的 w₀、波面曲率、偏心与模式匹配程度越高越好。用本工具设置 w₀=5.2 μm（SMF-28 模场半径）、λ=1550 nm、M²=1，可看出 z_R ≈ 54.8 μm，耦合透镜的位置公差达 μm 级。光通信模块（CFP、QSFP）装配为什么要"主动对准"，物理根据就在这里。
激光测距·LiDAR： 自动驾驶 LiDAR（典型值 λ=905 nm、w₀=2 mm、M²=1.5）在 100 m 远处光束半径约 22 mm（直径 44 mm），这决定了"点云分辨率"与"最大检测范围"的权衡。用本工具把 w₀ 从 0.5 → 5 mm 改变，体验短距离需要细分辨率和远距离需要保持功率密度这两个用途的最优 w₀ 不同。FMCW LiDAR 或 Geiger 模式单光子型中，光束腰部设计也决定了信噪比和检测距离。
共焦显微镜·光学镊子： 共焦显微镜物镜（NA=0.9、λ=488 nm）把光束聚焦到 w₀ ≈ 0.34 μm，z_R ≈ 0.75 μm 极短的瑞利长度实现 μm 级光学切片。光镊（光学陷阱）用 w₀ ≈ 0.5 μm 的聚焦光束焦点捕捉粒子（微珠、细胞、纳米粒子），力常数 ∝ P/w₀⁴ 产生 pN 级力。用本工具把波长改为 400～800 nm，w₀ 改为 0.5 → 5 μm，可直观看出显微镜分辨率极限与陷阱力的关系。
常见误解与注意点
最常见的误解是"激光光是完全平行传播的" 。实际上任何激光都因衍射而发散，下限是 θ_min = λ/(πw₀)（M²=1）。比如 532 nm 绿色激光笔（w₀=1 mm）发散角也有 θ ≈ 0.17 mrad，1 km 远处约 17 cm 变宽。用本工具把 w₀ 改小，看 θ 反比增大 — 这是量子力学不确定性原理（位置 × 动量的 Fourier 对偶）在光学中的体现。激光武器或星际通信为何用大 w₀，物理根据就在这里。
次常见的是"光束直径测量位置确定了就能一次决定" 的误解。高斯光束有多种定义：1/e²（13.5%）半径、FWHM（半高全宽）、D86（86% 功率封闭直径）等，本工具等光学业界标准的 1/e² 半径与 FWHM 数值差约 1.7 倍（FWHM = 1.18·w）。读激光规格书时必须确认"Beam diameter (1/e²) = 4 mm"这样的定义出处，安全计算（IEC 60825-1）适用 MPE 时要转换为规格要求的定义（多数是 1/e）。本工具的"1 m 处光束直径"是 2·w(1m) 即 1/e² 直径。
最后是"实际激光也是理想高斯（M²=1）" 不确认光束品质的情况。规格上 M²=1 的激光，温度上升时因热透镜效应实效 M² 可恶化到 2～3。比如 100 W 光纤激光规格 M²=1.1，长时间连续运转后可能变成 M²=1.5，焦点位置和径偏离预期，加工精度下降。用本工具把 M² 分别设为 1.0 和 2.0 比较，瑞利长度和焦点强度的差别极为明显（1/4 倍）。实机中应定期用光束轮廓仪测 M²，通过光束扩展器或空间滤波维持光束品质。