参数设置
默认值: V = 2.0 m/s、y = 0.50 m、q = 1.0 m²/s、g = 9.81 m/s²。q 仅用于临界水深的计算，V 与 y 用于弗劳德数本身。
明渠侧视图
蓝色＝水面与水流，按水深 y 绘制；棕色＝渠床；黄色箭头＝流动方向与流速向量。Fr<1 时水面平稳，Fr>1 时呈现快速波动的薄水膜并带有白色飞沫，Fr≈1 时为临界波形。背景颜色表示流态（蓝＝缓流、绿＝临界流、橙＝急流）。
V–y 流态区域图（临界水深曲线）
横轴＝流速 V (m/s)，纵轴＝水深 y (m)；绿色曲线＝临界水深 y_c(V)，即 Fr=1 的分界。曲线上方为缓流 (Fr<1)，下方为急流 (Fr>1)；黄色圆点＝当前 (V, y) 工况点。
理论与主要公式
弗劳德数是流动惯性力与重力（或表面波速）的比值，是区分明渠流缓流与急流的关键指标。在矩形明渠中，由单宽流量 q 可直接得到临界水深与临界流速。
弗劳德数定义：
$$\mathrm{Fr} = \frac{V}{\sqrt{g\,y}}$$
矩形明渠的临界水深（Fr = 1 时的水深）：
$$y_c = \left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}$$
临界流速（临界水深下的流速）：
$$V_c = \sqrt{g\,y_c}$$
流态划分：
$$\mathrm{Fr} < 1\,\,(\text{缓流}),\quad \mathrm{Fr} = 1\,\,(\text{临界流}),\quad \mathrm{Fr} > 1\,\,(\text{急流})$$
$V$ 为平均流速 [m/s]，$y$ 为水深 [m]，$g$ 为重力加速度 [m/s²]，$q = V\cdot y$ 为单宽流量 [m²/s]。$\sqrt{gy}$ 为浅水表面波的传播速度，Fr = 1 即流速与波速相等的条件。
什么是弗劳德数模拟器
🙋
水力学课上一直出现弗劳德数，它跟雷诺数有什么区别？两个看起来都是无量纲数，都能划分流态吧？
🎓
两个都是无量纲数，但描述的物理完全不同。雷诺数 Re = ρVL/μ 是惯性力与粘性力的比值，用来判别层流与湍流；而弗劳德数 Fr = V/√(gy) 是惯性力与重力（或表面波速）的比值，用来判别明渠流的缓流与急流。明渠流的自由表面与空气接触，表面波支配着流场，所以弗劳德数是主角。本工具用 V = 2 m/s、y = 0.5 m 时 Fr ≈ 0.903，正是缓流。
🙋
缓流和急流在工程上具体什么不同？看实际渠道并不容易分辨啊。
🎓
简单地说，缓流时下游扰动可以以波的形式逆流向上游传，而急流时则传不上来。在灌溉渠中投块石头，缓流的话波纹会向上下游同时传开；急流的话石头被直接冲走。跌坎正下方的薄而快水膜就是典型的急流，回到缓流时必然伴随水跃消能。在本工具试试 V = 6 m/s、y = 0.3 m，Fr ≈ 3.5 进入急流区，画布上能看到剧烈波动的水膜和白色飞沫。
🙋
为什么要算"临界水深 y_c"？q 滑块一动它就跟着变。
🎓
好问题。临界水深 y_c = (q²/g)^(1/3) 是给定单宽流量 q 下 Fr = 1 的水深，也是比能取最小值的水深，是一个"特殊的水深"。实水深 y > y_c 即缓流，y < y_c 即急流，可一次判定。本工具默认值 q = 1.0 m²/s、g = 9.81 m/s² 时 y_c = 0.467 m，实水深 0.5 m 刚好略大于它，所以是缓流。流量量测中常用堰、Parshall 量水槽等强制产生临界流（y = y_c），构造水深与流量的一一关系，实现稳定测量。
🎓
是同一概念，但船舶上以船长 L 作为特征长度，写成 Fr = V/√(gL)。船体造波阻力由 Fr 支配，特别在 Fr ≈ 0.4〜0.5 出现著名的"速度墙"峰值。豪华邮轮在 Fr < 0.3 平稳航行，渡轮和驱逐舰在 Fr ≈ 0.3〜0.5 运行，滑行艇在 Fr > 1 时直接"滑行"在水面上。模型试验中，使实物与模型的 Fr 相等的"弗劳德相似律"（W. Froude 于 1870 年代提出）至今仍是船舶工程的基本原则。右侧画布独立调整 V 与 y，能直观看出 Fr = 1 边界如何延伸。
常见问题
在 Fr = 1 时平均流速 V 等于浅水表面波速 √(gy)，所以正是波能否逆流向上游传的临界。缓流（Fr < 1）下波速大于流速，下游扰动会通过波传到上游，水面剖面由下游条件控制。急流（Fr > 1）下流速大于波速，下游信息不能到达上游，水面只由上游条件决定。物理上矩形明渠中 Fr = 1 也是比能 H = y + V²/(2g) 取最小值的状态——同一流量以最小水头通过，这正是堰、Parshall 量水槽人为产生临界流的物理依据。
单宽流量 q [m²/s] 是渠道单位宽度的流量，q = Q / B（Q 是总流量 [m³/s]，B 是渠宽 [m]）。在矩形明渠中临界水深 y_c 与比能曲线只依赖于 q，渠宽的影响消失，使用方便。本工具中 q 设为独立滑块，用于计算 y_c = (q²/g)^(1/3) 与临界流速 V_c；水深 y 与流速 V 可独立调节，方便对比"理想临界条件"与"实际流动状态"。实际工程中常先用 q = V·y 求实流的 q，再换算 y_c 进行流态判定。
从急流（Fr > 1）过渡到缓流（Fr < 1）必然伴随水跃。由动量守恒导出共轭水深比 y₂/y₁ = (√(1 + 8 Fr₁²) − 1) / 2（贝朗日方程）。当本工具中 Fr 远大于 1 时，下游会产生水跃，将能量消散后回到缓流。坝下消力池设计常以"稳定水跃"区 Fr₁ ≈ 4.5〜9 为目标，兼顾消能效率与稳定性。配合"水跃计算工具"，可一致地设计入射急流条件与下游消能池。
一般弗劳德数定义为 Fr = V/√(gD)，其中 D = A/T 是水力深度（A 为过流面积，T 为水面宽）。矩形断面下 D = y，与本工具一致。梯形或圆形需另算 D，例如梯形（底宽 b、边坡 m）下 D = (b·y + m·y²) / (b + 2m·y)，临界水深方程也更复杂。本工具假设矩形明渠，是面向教育的模拟器；复杂断面建议使用 HEC-RAS 等专用软件，或按断面对 y_c 进行迭代求解。但"Fr = 1 临界、Fr 越大越急流"的定性规律对各种断面都适用。
现实应用
河道与灌溉渠道设计：河道整治和灌溉渠道设计中，通常以 Fr ≈ 0.3〜0.7 保持稳定缓流为目标。Fr 接近 1 时水面不稳，Fr > 1 时流速过大易引起堤防冲刷与护岸损坏。在本工具输入实际设计的 V 与 y，并将 Fr 与临界水深 y_c 比较，可作为安全裕度评估。若有意产生急流（跌坎、陡槽），下游需设置消力池触发水跃，安全消散能量。
溢洪道泄槽与消力池：坝下溢洪道泄槽 Fr 一般达 4〜10。在本工具输入 V = 10 m/s、y = 0.4 m 得到 Fr ≈ 5.05，正是"稳定水跃"区的典型上游条件。消力池将该急流与下游尾水衔接，使水跃发生在消力池内部，按贝朗日方程消散能量。美国 USBR 与 USACE 的标准设计图表按弗劳德数对水跃进行分类（弱、振荡、稳定、强）。
堰与量水槽的流量量测：通过局部缩窄或抬升强制产生 Fr = 1 的临界流，使水深 y_c 唯一对应流量。这是 Parshall 量水槽和矩形堰的工作原理，广泛用于灌溉与城市排水的流量监测。在本工具改变 q 看 y_c 的变化，对堰高与缩窄宽度的尺寸设计很有帮助。
船舶工程与弗劳德相似律：船舶造波阻力由以船长 L 为特征长度的 Fr_L = V/√(gL) 支配。模型试验中"弗劳德相似律"（使实物与模型的 Fr_L 一致，W. Froude 于 1870 年代提出）至今仍是标准做法。例如 200 m 船舶用 1/50 模型试验时，模型速度需取 1/√50 ≈ 0.141 倍。本工具是船舶工程学生直观体会弗劳德数物理本质的起点。
常见误解与注意事项
最常见的误解是 把弗劳德数与雷诺数混为一谈。二者描述完全不同的物理：弗劳德数是与重力的比值，雷诺数是与粘性的比值。管流的层流-湍流判定用雷诺数，明渠流的缓-急判定用弗劳德数，应分清场合。河道流动中其实两者都重要：用雷诺数判别湍流性，用弗劳德数判定水面形态，是常见的双指标使用方式。本工具专注于弗劳德数，处理粘性效应时请配合"雷诺数"工具使用。
其次常见的是 认为"Fr < 1 即缓流，必然安全"。实际上 Fr ≈ 0.8〜1.0 的"近临界"区域水面非常不稳定，微小扰动会通过共振造成大幅水深变化。河道与渠道设计中通常预留余量将 Fr 控制在 0.9 以下，目标值常取 Fr < 0.7。在本工具逐步增加 V 让 Fr 趋近 1，临界水深 y_c 会接近实水深 y，设计余量随之消失。
最后，过度依赖"弗劳德数只是简单比值，凭直觉就能猜"也是危险的。Fr 分母为 √(gy)，水深减半时 Fr 只增大 √2 倍，但流速翻倍时 Fr 直接翻倍。即流速是改变 Fr 的强敏感量，而水深变化效果较弱。这意味着加陡渠道坡度比改变水深更容易进入急流区。在本工具独立调整 V 与 y，能直观感受到这种非对称敏感性。把弗劳德数不仅视为"数字比值"，而理解为"流速与波速的比较"，是培养明渠设计直觉的第一步。