默认值：V = 2.0 m/s、y = 0.50 m、q = 1.0 m²/s、g = 9.81 m/s²。q 独立用于临界水深 y_c 计算，V 和 y 用于弗劳德数 Fr 计算。
蓝色=水面和水流（按深度 y 绘制）／棕色=河床／箭头=流向与速度矢量／Fr<1 时水面平静，Fr>1 时波澜翻腾高速水膜，Fr≈1 时临界波形可视化／背景色随流动分类变化（蓝=常流，绿=临界流，橙=急流）
横轴=流速 V (m/s)／纵轴=水深 y (m)／绿色曲线=临界水深 y_c(V) 即 Fr=1 的边界线／曲线上方=常流区 (Fr<1)，下方=急流区 (Fr>1)／黄色圆点=当前 (V, y) 点
弗劳德数是流动惯性力与重力（表面波速）的比值，是判断明渠流常流·急流的指标。矩形明渠中由单位宽度流量 q 可直接求取临界水深和临界速度。
弗劳德数定义：
$$\mathrm{Fr} = \frac{V}{\sqrt{g\,y}}$$
矩形明渠临界水深（Fr=1 时的水深）：
$$y_c = \left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}$$
临界速度（临界水深时的流速）：
$$V_c = \sqrt{g\,y_c}$$
流动分类：
$$\mathrm{Fr} \lt 1\,\,(\text{常流}),\quad \mathrm{Fr} = 1\,\,(\text{临界流}),\quad \mathrm{Fr} \gt 1\,\,(\text{急流})$$
$V$ 为平均流速 [m/s]、$y$ 为水深 [m]、$g$ 为重力加速度 [m/s²]、$q$ 是用于临界水深计算的独立单位宽度流量 [m²/s]。若要作为物理上一致的状态处理，请调整到 $q \approx V\cdot y$。$\sqrt{gy}$ 表示浅水波传播速度，Fr=1 时流速与波速相等。
弗劳德数模拟器概述
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水力学课上讲的"弗劳德数"，和雷诺数是一样的东西吗？都是判断流动状态的数字吧？
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两者都是无量纲数，但反映的物理完全不同。雷诺数 Re = ρVL/μ 是"惯性力与粘性力的比"，判断流动是层流还是湍流。弗劳德数 Fr = V/√(gy) 是"惯性力与重力（表面波速）的比"，判断明渠流是常流还是急流。河流这种有水面接触空气的流动，表面波物理起主导作用，所以弗劳德数是关键。本工具默认输入 V=2 m/s、y=0.5 m 时，Fr ≈ 0.903，判定为"常流"。
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"常流"和"急流"具体区别在哪里？看水渠我有点分不清楚。
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简单说，常流是"下游的扰动能向上游传播"的流动，急流是"下游信息无法向上游传递"的流动。比如在灌溉渠里扔个石头，常流的话波纹会向上游扩散，但急流就只是流走了。堰下游的薄高速水膜就是急流典型特征，下游必然发生"水跃"才能变回常流。本工具把 V 改成 6 m/s、y 改成 0.3 m，就会看到 Fr ≈ 3.5 属于急流域，画布下面的水面会波澜翻腾、泛起白色泡沫。
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"临界水深 y_c"有什么用呢？为什么改变 q 的时候它也变？
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好问题。临界水深 y_c = (q²/g)^(1/3) 是给定单位宽度流量 q 时 Fr=1 的水深，是"深缓流和浅急流"的分界水深，同时也是比能最小的水深。实际水深 y > y_c 就是常流，y < y_c 就是急流，一下子判定出来。本工具默认 q=1.0 m²/s、g=9.81 m/s² 会算出 y_c=0.467 m，现在 y=0.5 m 略深于临界值，所以 Fr<1 是常流。农业水利的量水堰和帕歇尔开度，就是故意缩窄水路使水深掉到 y_c，产生"限界流"，这样流量和水深形成一一对应，便于测流。
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概念一样，但特征长度不同。船的情况通常写成 Fr = V/√(gL)，这里 L 是船长。船舶的造波阻力就由 Fr 支配，特别是 Fr ≈ 0.4~0.5 时造波阻力有个峰值（"速度墙"）。豪华客轮通常 Fr < 0.3 以求平稳，驱逐舰和渡轮设计在 Fr ≈ 0.3~0.5，高速滑行艇 Fr > 1 的时候完全脱水滑行。从 1870 年代 W·弗劳德提出的"弗劳德相似律"到今天，造船试验都是靠让原型和模型的弗劳德数相等来做缩尺设计的。本工具右边的图表独立地动 V 和 y，可以直观看 Fr=1 的边界线怎么跑的，这对理解流动物理特别有帮助。
常见问题解答
为什么 Fr=1 是特殊的分界线？
因为 Fr=1 时流速 V 与浅水波速 √(gy) 相等，这是波能否向上游传播的临界点。常流（Fr<1）波速比流速快，下游扰动以波的形式向上游传播，水面形状由下游条件决定。急流（Fr>1）流速比波速快，下游的信息传不回上游，水面形状只由上游条件决定。在物理上，矩形明渠 Fr=1 时比能 H = y + V²/(2g) 达到最小值，意思是同样的流量用最少的能量，这是为什么量水堰和帕歇尔开度要刻意产生临界流的根本原因。
本工具里的单位宽度流量 q 与全流量 Q 有什么关系？
单位宽度流量 q [m²/s] 是每米宽渠道的流量，和全流量 Q 的关系是 q = Q/B（B 是渠宽）。用 q 的好处是对矩形渠道的临界水深 y_c 和比能曲线只需考虑 q，不用每次都分离水道宽度。本工具就是这样设计的：q 独立作为滑块用来算 y_c 和 V_c，V 和 y 另外独立变化，可以对比"如果按临界条件运行会怎样"和"实际流动距离临界有多远"。实务中的做法是先由 q = V·y 求得实际的单位宽度流量，再查表或计算转换成 y_c，判定是常流还是急流。
弗劳德数与水跃（hydraulic jump）什么关系？
从急流（Fr>1）过渡到常流（Fr<1）的转变必然伴随水跃。这是坝放流道下游常见的现象。根据动量守恒有贝朗热公式：共轭水深比 y₂/y₁ = (√(1+8Fr₁²) - 1) / 2，描述水跃前后水深的关系。本工具如果 Fr 远大于 1，意味着下游将发生剧烈水跃释放能量，最后回到常流状态。大坝减速工程的设计常以上游弗劳德数 Fr₁ ≈ 4.5~9（"定常水跃"区间）为目标，兼顾跳水效率和稳定性。使用本工具搭配"水跃计算器"，可以一体化设计射流入口条件和跳水特性。
非矩形断面（梯形、圆形等）能用这个工具吗？
弗劳德数的通用定义是 Fr = V/√(gD)，其中 D = A/T（A 是过水断面积，T 是水面宽度）称为水力深度。矩形渠道中 D = y，本工具的公式成立。但梯形、圆形等复杂断面需要额外计算 D，临界水深方程也变得复杂。比如梯形渠（底宽 b、边坡 m）的 D = (b·y + m·y²) / (b + 2m·y)，y_c 的求解需要迭代。本工具是矩形渠教学用模拟器，复杂断面实务设计推荐用 HEC-RAS 等专业水工软件，或按渠型逐次反算 y_c。但"Fr=1 是临界、Fr 越大越接近急流"这个规律在任何断面都通用。
实际应用案例
河流和水渠设计： 河道改造或灌溉渠设计时，标准做法是维持 Fr ≈ 0.3~0.7 的稳定常流状态。Fr 接近 1 会导致水面剧烈起伏，不稳定容易掏刷堤防。Fr > 1 的急流速度太快会冲刷护岸。本工具可以把设计的 V 和 y 代入，立刻看到 Fr 值和与临界水深的关系，评估设计余量。故意产生急流的场景（落差工、陡坡段）需在下游建减速池，靠水跃消耗能量，再平稳接入下游常流。
大坝放水道与减速工程： 大坝下游的溢洪道会产生 Fr = 4~10 的高速急流。本工具输入 V=10 m/s、y=0.4 m 会得到 Fr ≈ 5，这是典型"定常水跃"上游条件。减速工需要接纳这股急流，与下游贮水深度相接，使水跃稳定发生在设计区域内，按贝朗热关系公式进行能量消散。美国开垦局（USBR）和陆军工程兵团（USACE）的标准设计图表全是按弗劳德数分类的（弱跳、振荡跳、定常跳、强跳）。
流量测量设备（堰、帕歇尔开度）： 通过局部缩窄或设置台阶强制产生 Fr=1（临界流），此时水深 y_c 与流量形成一一对应关系，无需测速只看水深就能推算流量。这是矩形堰和帕歇尔分流槽的工作原理，在农田灌溉和排水管理中广泛应用。本工具改变 q 看 y_c 怎么变，能直观感受堰高和流路宽度的设计参数。
船舶工程与弗劳德相似律： 船舶以船长为特征长度的弗劳德数 Fr_L = V/√(gL) 支配造波阻力。模型试验必须让原型船与模型船的 Fr_L 相同（弗劳德相似律，W·弗劳德 1870 年代首创）才能准确外推阻力和动力。例如全长 200 m 的船用 1/50 模型做试验，模型航速应该是 1/√50 ≈ 0.141 倍原型速，这样才能相似。本工具帮助理解弗劳德数的物理本质，对学习船舶设计也有帮助。
常见误区与注意事项
最常见的误区是把弗劳德数和雷诺数混淆 。它们是完全不同的物理量，弗劳德数涉及重力，雷诺数涉及粘性。闭管流（管道）用雷诺数判断层流还是湍流，明渠流用弗劳德数判断常流还是急流。现实中河流既需要用雷诺数判断湍流特性，也要用弗劳德数判断水面形状，两者都重要，是二维的流动分类。本工具专注弗劳德数，需要分析粘性效应时请参考"雷诺数"工具。
另一个容易出错的地方是认为 Fr<1 就是安全的常流 。实际上 Fr ≈ 0.8~1.0 的"近临界"状态水面极不稳定，微小扰动会引起共振现象使水深大幅振荡。河道和渠道设计要留足安全余量，通常不让 Fr 超过 0.7。本工具里逐步增加 V 看 Fr 逼近 1 时，临界水深 y_c 会越来越接近实际水深 y，设计的弹性空间消失，这就是为什么要避免"近临界"运行。
最后，不要被"弗劳德数只是个简单比值"的假象迷惑 。Fr 的分母是 √(gy)，所以把水深砍一半也只能让 Fr 增加 √2 倍，但流速翻倍就能让 Fr 翻倍。换言之改变流速比改变水深"更容易"推向急流，这在水路设计中很关键：坡度稍一陡峭就容易冲出急流，水深变化反应相对缓和。本工具的 V 和 y 都可独立动，正是为了体会这种非对称的敏感性，才能练就水利设计的直觉。把 Fr 看成"波速与流速的关系"而不只是"数字比"，才是真正理解明渠流动的开始。