$\alpha = R\sqrt{\omega\rho/\mu}$，$\omega = 2\pi f$。主动脉典型值：$R = 10$ mm、$f = 1$ Hz、$\rho = 1060$ kg/m³、$\mu = 3.5$ mPa·s，得 $\alpha \approx 13.8$（惯性主导）。
蓝线＝管壁（半径 $R$）／四条曲线＝一个脉动周期内 4 个相位（$t = 0, T/4, T/2, 3T/4$）的轴向速度 $u(r,t)$／橙色带＝粘性渗透深度 $\delta$。α 较小时呈 Poiseuille 抛物线，α 较大时中心呈活塞状＋壁面薄边界层并伴有相位滞后。
横轴 $\alpha$（对数 0.1〜100）／绿带＝准稳态（$\alpha < 1$）／黄带＝过渡（$1 \le \alpha < 10$）／红带＝惯性主导（$\alpha \ge 10$）／黄●＝当前 $\alpha$。曲线为归一化惯性度（相位滞后）。
沃默斯利数的定义：
$$\alpha = R\,\sqrt{\dfrac{\omega\,\rho}{\mu}},\quad \omega = 2\pi f$$
粘性渗透深度（Stokes 层厚度）及其与 $\alpha$ 的关系：
$$\delta = \sqrt{\dfrac{\mu}{\rho\,\omega}},\quad \alpha = \dfrac{R}{\delta}\,\sqrt{2}\;\;(\text{近似})$$
峰值雷诺数（假设峰值速度 $U_\mathrm{peak}=1$ m/s）：
$$\mathrm{Re}_\mathrm{peak} = \dfrac{\rho\,U_\mathrm{peak}\,(2R)}{\mu}$$
$R$ 为血管半径 [m]，$f$ 为心率 [Hz]，$\omega = 2\pi f$ 为角频率 [rad/s]，$\rho$ 为血液密度 [kg/m³]，$\mu$ 为动力粘度 [Pa·s]。$\alpha < 1$ 为准稳态（类 Poiseuille），$1 \le \alpha < 10$ 为过渡，$\alpha \ge 10$ 为惯性主导（主动脉、心率 1 Hz）。
什么是沃默斯利数
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血流动力学教材总提到沃默斯利数，它和雷诺数有什么不同？为什么脉动流要专门定义一个无量纲数？
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沃默斯利数 $\alpha = R\sqrt{\omega\rho/\mu}$ 在「时间尺度」上度量「惯性 vs 粘性」之比。雷诺数基于平均速度，但脉动流场中速度周期变化，振荡产生的「振荡惯性」也很重要。本工具的默认值（$R=10$ mm、$f=1$ Hz、$\rho=1060$ kg/m³、$\mu=3.5$ mPa·s）下 $\alpha = 13.79$，正是主动脉、心率 1 Hz 的典型值，完全处于惯性主导区。
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α 较大时速度分布就不是 Poiseuille 抛物线了？圆管断面图中 4 条颜色不同的曲线中心几乎都是水平直线。
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没错，这就是「环形效应（annular effect）」。α 较大时中心区域作活塞式整体运动，仅在壁面附近形成薄边界层（粘性渗透深度 $\delta$）。默认下 $\delta = 0.725$ mm，仅占 10 mm 半径的 7%。壁面流体被粘性「制动」相位滞后，最高速瞬间（$t=T/4$）甚至会出现中心与壁面方向相反的情况。
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把血管半径 R 改为 0.5 mm 后，α = 0.69，进入「准稳态」。这接近毛细血管的情况吗？
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是的。细动脉、冠状动脉末梢（α < 1）每个瞬间都建立 Poiseuille 抛物线，符合「准稳态」流动。此时流阻公式 $\Delta P = 8\mu L Q/(\pi R^4)$ 直接可用。相反，主动脉、大静脉 α > 10 为惯性主导，CFD 计算必须使用 Womersley 解析解或非定常 N-S 方程。
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把心率 f 调到 3 Hz（运动时 180 bpm），α 上升到 23.9。剧烈运动时主动脉的惯性更主导了？
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是的。α ∝ √f，心率提升 3 倍 α 增长 √3 ≈ 1.73 倍。运动时峰值流速也从 1 m/s 升到 2〜3 m/s，峰值 Re 从 6000 升至 15000 以上，进入湍流区。运动员主动脉中脉动与湍流同时出现，这正是心血管疾病风险评估、人工瓣膜与支架设计的关键所在。
常见问题
沃默斯利数的解析解是如何推导的？
对圆管内振荡流（脉动流）线性化 Navier-Stokes 方程，假设 $u(r,t) = U(r) e^{i\omega t}$ 可归结为贝塞尔方程。解为 $U(r) = \dfrac{G}{i\omega\rho}\left[1 - \dfrac{J_0(\alpha i^{3/2} r/R)}{J_0(\alpha i^{3/2})}\right]$，其中 $G$ 为压力梯度幅值、$J_0$ 为第一类贝塞尔函数。$\alpha \to 0$ 退化为 Poiseuille 抛物线，$\alpha \to \infty$ 趋近活塞流＋壁面 Stokes 层。本工具为可读性使用 Poiseuille 与中心活塞之间的近似插值，定量分析需采用贝塞尔解或非定常 CFD。
除血管外，沃默斯利数还在哪些领域重要？
凡是含振荡的管内流动皆有应用：活塞泵液压管、内燃机进排气、波动泵（人工心脏）、海洋振荡水柱、脉冲药物递送等。例如内燃机进气管 $f$ = 50〜200 Hz、$R$ = 25 mm，空气 $\rho \approx 1.2$ kg/m³、$\mu \approx 1.8\times10^{-5}$ Pa·s 得 $\alpha \approx 130$〜260，强惯性主导，工程师利用波动共振实现「惯性增压」。MEMS 微泵、声流（acoustic streaming）、毛细管粘度计的振荡修正等也必参考此基本量。
弹性管（管壁顺应性）中的脉动流是否同样适用？
刚性管使用 $\alpha = R\sqrt{\omega\rho/\mu}$ 即可。弹性管还需引入管波速度 $c$（Moens-Korteweg 关系 $c = \sqrt{Eh/(2\rho R)}$），即 Womersley-Witzig 弹性分析。参数 $M^2 = (\omega R/c)^2$ 同时起作用，波的反射与脉搏波形（脉波）也很关键。真实主动脉脉波速度 $c$ = 4〜10 m/s、$f$ = 1 Hz、$R$ = 10 mm 时 $M \approx 0.006$〜0.016 极小，准稳态波动近似成立，因此 $\alpha$ 仍决定流场主要结构。动脉硬化时 $c$ 增大，PWV（脉搏波速度）成为重要临床早期指标。
脉动血流的 CFD 模拟有哪些数值设置建议？
必须同时匹配 $\alpha$ 和 Re。当 $\alpha$ 较大时壁面 Stokes 层 $\delta = \sqrt{\mu/(\rho\omega)}$ 必须用 5〜10 个网格分辨，即 $\Delta r \le \delta/5$。主动脉 $\delta \approx 0.7$ mm 对应 $\Delta r \approx 0.1$ mm。时间步取每周期 100〜200 步（$\Delta t \le T/100$），抛去前 3〜5 个启动周期，对第 5〜10 周期取周期平均。湍流模型仅在 Re_peak > 4000 时使用 LES 或 k-ω SST，否则层流足够。ANSYS Fluent、OpenFOAM（transientSimpleFoam、pimpleFoam）的标准做法是将 Womersley 解析速度分布作为入口时变边界条件。
实际应用
心血管 CFD 分析： 主动脉瘤破裂风险、颈动脉狭窄、心室血流分析皆处于 $\alpha > 10$ 的惯性主导区，定常 Poiseuille 分析不够，必须采用非定常 N-S 方程。ANSYS Fluent、SimVascular、CFX、Abaqus 等基于患者 MRI/CT 几何，用心动周期流量波形作为入口边界条件，运行 5〜10 个周期取周期解。本工具主动脉默认值（$\alpha = 13.79$、Re_peak = 6057）正是此类计算的典型对象。
人工心脏与循环支持装置： VAD（心室辅助装置）、ECMO 血泵生成或承受脉动流，沃默斯利数相似律是设计核心。动物试验阶段 $\alpha = 5$〜15 数据外推至临床患者时，需同时匹配 $\alpha$ 与 Re_peak，评估溶血风险（壁面剪切应力 > 150 Pa 破坏红细胞）与血栓风险（停滞时间 > 1 秒触发凝血）。NIPRO、Terumo、Abbott 等国际厂商均以此为标准流程。
脉搏波速度（PWV）与动脉硬化诊断： PWV 作为早期动脉硬化临床指标，与沃默斯利分析密切相关。健康成人 PWV ≈ 5〜8 m/s，硬化进展时升至 12〜15 m/s，反映管壁弹性 $E$ 增加（由 Moens-Korteweg $c = \sqrt{Eh/(2\rho R)}$ 反推）。在日本，PWV 检测被广泛用于人间ドック与特定健診的「血管年龄」评价，是沃默斯利流体力学直接服务于公共卫生的典型案例。
内燃机进排气管设计： 四冲程发动机进气管 $\alpha = 50$〜300，极端惯性主导，利用波动效应实现「惯性增压」。进气末段的负压波在管端反射为正压波，恰好在下一次进气冲程到达。F1、MotoGP 等高转速发动机将进气管长设计为 1/4 波长共振，在沃默斯利数约 100 的区域提升 5〜10% 的容积效率。GT-POWER、AVL Boost、Wave 等 1D 流体声学 / 波动求解器为标准工具。
常见误解与注意事项
最常见的误解是 「血流＝Poiseuille 流」 。该假设仅在 R < 0.5 mm（α < 1）的细动脉成立，主动脉与冠状动脉主干则完全不适用。本工具将 R 改为 0.5 mm 即得 $\alpha = 0.69$，准稳态区，可直接套用 $\Delta P = 8\mu L Q/(\pi R^4)$；但在 R = 10 mm 的主动脉，由于相位滞后与中心活塞效应，Poiseuley 阻力公式可能高估实际压力梯度 50% 以上。临床血流动力学评估必须按血管尺寸切换模型。
其次常见的是 「α 大就代表湍流」 。α 是「振荡惯性」与粘性的比值，与表示「平均惯性」的雷诺数不同。主动脉 α = 13.8 仍以层流为主，仅收缩期峰值瞬间（Re_peak > 4000）可能局部进入湍流。仅凭 α 判定湍流是常见错误，必须同时评估 Re_peak。本工具默认 Re_peak = 6057，处于收缩期可能出现短暂湍流爆发的临界值。
第三是 「Womersley 解析解适用于所有血流」 的误解。Womersley 解假设「直管、刚性壁、牛顿流体、单频率、轴对称」，而真实血管含分叉、弯曲、弹性壁与非牛顿流变（低剪切时红细胞聚集致粘度升高）。例如分叉处会出现二次流（Dean 涡），线性理论无法描述。Womersley 数对教学与基础理解极其有用，但患者个体化临床计算需结合患者 MRI 几何、非定常 CFD 与非牛顿模型（如 Carreau-Yasuda）。