参数设置
α = R·√(ωρ/μ)，ω = 2πf。主动脉代表值 R = 10 mm、f = 1 Hz、ρ = 1060 kg/m³、μ = 3.5 mPa·s 时 α ≈ 13.8（惯性支配）。
圆管截面搏动速度分布
蓝框＝血管壁（半径 $R$）／4 条曲线＝搏动周期内 4 个相位（t = 0, T/4, T/2, 3T/4）的轴向速度 $u(r,t)$／橙色薄带＝粘性侵入深度 $\delta$。α 小时呈 Poiseuille 抛物线，α 大时呈中心活塞＋壁面位相滞后的「环形效应」。
流动区域图（α 轴）
横轴＝α（对数 0.1~100）／绿带＝准稳定区（α < 1）／黄带＝过渡区（1 ≤ α < 10）／红带＝惯性支配区（α ≥ 10）／黄●＝当前 α。曲线表示壁面与中心位相差（惯性度）。
理论·主要公式
Womersley 数定义：
$$\alpha = R\,\sqrt{\dfrac{\omega\,\rho}{\mu}},\quad \omega = 2\pi f$$
粘性侵入深度（Stokes 层厚）与 α 的关系：
$$\delta = \sqrt{\dfrac{\mu}{\rho\,\omega}},\quad \alpha = \dfrac{R}{\delta}\,\sqrt{2}\;\;(\text{近似})$$
峰值 Reynolds 数（假设峰值速度 $U_\mathrm{peak}=1$ m/s）：
$$\mathrm{Re}_\mathrm{peak} = \dfrac{\rho\,U_\mathrm{peak}\,(2R)}{\mu}$$
$R$ 为血管半径 [m]、$f$ 为心脏搏动频率 [Hz]、$\omega = 2\pi f$ 为角速度 [rad/s]、$\rho$ 为血液密度 [kg/m³]、$\mu$ 为动粘性 [Pa·s]。α < 1 时准稳定（Poiseuille 样），1 ≤ α < 10 时过渡，α ≥ 10 时惯性支配（主动脉·心脏搏动 1 Hz）。
什么是 Womersley 数
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在血流教科书中经常看到「Womersley 数」，这和 Reynolds 数有什么区别？为什么脉动流需要另外一个无量纲数？
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Womersley 数 $\alpha = R\sqrt{\omega\rho/\mu}$ 是基于时间尺度测量「惯性 vs 粘性」的无量纲数。Reynolds 数基于平均速度，但脉动流中速度周期性变化，所以「振动引起的惯性」也要单独考虑。本工具的默认值（$R=10$ mm、$f=1$ Hz、$\rho=1060$ kg/m³、$\mu=3.5$ mPa·s）得到 α = 13.79，这是主动脉·心脏搏动 1 Hz 的典型值，完全处于「惯性支配」区域。
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α 值很大时速度分布不再是 Poiseuille 抛物线，对吧？圆管截面图中 4 条彩线中心几乎是直线。
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完全正确，这就是「环形效应（annular effect）」。α 大时管中心如活塞般整体运动，仅在壁面附近形成薄的边界层（粘性侵入深度 $\delta$）。默认值下 $\delta = 0.725$ mm，半径 10 mm 的仅占 7%。壁面流体因粘性被「减速」，位相滞后，最高流速瞬间中心与壁面流向可能相反。
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血管半径改为 0.5 mm 时 α = 0.69，变成「准稳定」了。这接近毛细血管吗？
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正是。细动脉（细动脉·冠状动脉末端）中 α < 1 呈准稳定流，每个时刻的速度分都可用 Poiseuille 抛物线近似。这里 $\Delta P = 8\mu L Q/(\pi R^4)$ 公式完全适用。反过来，大动脉和大静脉 α > 10 属于惯性支配，需要 Womersley 解析解或非定常 N-S 方程来解。
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心脏搏动频率改为 3 Hz（运动时 180 次/分）时 α = 23.9，剧烈运动时惯性支配更强了…
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是的，α ∝ √f，心脏搏动增大 3 倍时 α 增大 √3 ≈ 1.73 倍。运动时峰值流速也变大（U_peak：1 → 2~3 m/s），峰值 Re 也从 6000 涨到 15000 以上，可能进入乱流区。运动员的大动脉同时面临脉动与乱流，成为心血管疾病风险评估、人工瓣膜和支架设计的关键。
常见问题
对圆管内振动流（脉动流）的 Navier-Stokes 方程线性化，设 $u(r,t) = U(r) e^{i\omega t}$，可化为 Bessel 方程，解为：$U(r) = \dfrac{G}{i\omega\rho}\left[1 - \dfrac{J_0(\alpha i^{3/2} r/R)}{J_0(\alpha i^{3/2})}\right]$，其中 $J_0$ 为第一类 Bessel 函数，$\alpha = R\sqrt{\omega\rho/\mu}$ 为参数。当 α → 0 时得 Poiseuille 抛物线，α → ∞ 时得活塞流 + 壁面 Stokes 层。本工具为可读性采用定性近似（Poiseuille 与中心活塞的线性加权），定量计算需要 Bessel 解或非定常 CFD。
所有「管道内振动流」都会用到，如液压管路（活塞泵）、内燃机吸排气管、波动泵（人工心脏）、海浪能利用、医疗脉动给药等。例如内燃机吸气管，$f$ = 50~200 Hz、$R$ = 25 mm、空气中 $\rho$ ≈ 1.2 kg/m³、$\mu$ ≈ 1.8e-5 Pa·s，得 α ≈ 130~260 的强惯性支配，可利用「波动共鸣」设计超压增压。生体外还有 MEMS 微泵、声流（acoustic streaming）、毛细粘度计振动补正等，都涉及振动·粘性·惯性的交互。
刚性管的 Womersley 数是 α = R√(ωρ/μ)，但血管壁弹性变形时，加入脉波速度 $c$（Moens-Korteweg 式 $c = \sqrt{Eh/(2\rho R)}$），变为 Womersley-Witzig 弹性解析。参数 $M^2 = (\omega R/c)^2$ 同时参与，脉波的反射与传播（脉压波形）变重要。实际大动脉脉波速度 $c$ = 4~10 m/s、$f$ = 1 Hz、$R$ = 10 mm 时 $M$ ≈ 0.006~0.016 极小，「准稳定波动近似」成立，因此流场主要由 Womersley 数决定。动脉硬化时 $c$ 增大，脉波速度上升，脉波传播速度（PWV）测量已成临床早期诊断指标。
需要同时满足 α 与 Re 的相似律。α 很大时，壁面 Stokes 层 $\delta = \sqrt{\mu/(\rho\omega)}$ 需要至少 5~10 个网格单元分辨，网格目标 $\Delta r \le \delta/5$。大动脉 $\delta$ ≈ 0.7 mm 时，$\Delta r$ ≈ 0.1 mm。时间步长取一周期 100~200 步，$\Delta t \le T/100$，计算 3~5 周期处理初始瞬态，分析结果取 5~10 周期的周期平均。乱流模型仅当 Re_peak > 4000 时才用 LES 或 k-ω SST，否则层流计算足够。ANSYS Fluent、OpenFOAM（transientSimpleFoam/pimpleFoam）中标准做法是从 Womersley 解读入速度分布时间序列作为入口边界条件。
实际应用
心血管 CFD 分析：主动脉瘤、颈动脉狭窄、心室壁血流分析中 Womersley 数 α > 10 属惯性支配，定常 Poiseuille 分析会严重不准，必须用非定常 Navier-Stokes 进行脉动 CFD。ANSYS Fluent、SimVascular、ABAQUS/CFX 等从患者 MRI/CT 生成网格，心搏流量波形作入口边界条件，计算 5~10 周期的周期解。本工具的主动脉默认值（α = 13.79、Re_peak = 6057）正是这类分析的对象。
人工心脏与辅助循环设备设计：VAD（辅助人工心脏）、ECMO 血液泵产生或接纳脉动流，Womersley 数相似律设计是核心技术。动物实验得到 α = 5~15 的数据向临床人类外推时，同时匹配 α 与峰值 Re 的相似模型来评估溶血风险（壁面剪应力 > 150 Pa 破坏红细胞）与血栓风险（停留时间 > 1 秒凝血）。国内外主要厂商（Nipro、Terumo、Abbott）都用这套设计流程。
脉波传播速度（PWV）与动脉硬化诊断：与 Womersley 分析相关联，脉波传播速度测量已确立为早期动脉硬化临床指标。健康成人 PWV ≈ 5~8 m/s，硬化进行时 12~15 m/s 上升，反映管壁弹性率 $E$ 增加，由 Moens-Korteweg 式 $c = \sqrt{Eh/(2\rho R)}$ 逆算。日本「血管年龄」测量已列入人工检查与特定健康诊断，Womersley 流体力学直接关系公众健康。
内燃机吸排气管设计：四冲程发动机吸排气管中 α = 50~300 非常高，采用「惯性过增压（inertia supercharging）」设计为定式。吸气行程末期负压波在管端变为正压波，与下一吸气行程重合，管长设计为共振频率的 1/4 波长。F1、MotoGP 等高转速发动机调整吸气管长至 Womersley 数 ≈ 100 区间，可提升实际效率 5~10%。GT-POWER、AVL Boost、Wave 等 1D-CFD 求解器已成标准。
常见误解和注意事项
最常见误解是「血流 = Poiseuille 流」的思维定势。这仅对细动脉以下的细血管（R < 0.5 mm、α < 1）成立，大动脉·冠状动脉主干完全不适用。本工具中 R = 0.5 mm 时 α = 0.69 进入准稳定，Poiseuille 公式 $\Delta P = 8\mu L Q/(\pi R^4)$ 直接可用，但 R = 10 mm 主动脉时位相延迟与中心活塞效应让 Poiseuille 阻力式对实际压力梯度过高评估 50% 以上。临床血流动力学评估需按血管径选择不同模型。
其次常见误解是「α 大 = 乱流」。α 是惯性 vs 粘性之比，但「振动惯性」与 Reynolds 数的「平均惯性」是两回事。主动脉 α = 13.8 仍以层流为主，仅峰值收缩期 Re_peak > 4000 的瞬间才局部乱流。用 Womersley 数单独判断乱流会出错，必须同时评估 Re_peak。本工具默认值 Re_peak = 6057，达到收缩期部分乱流突发的临界值。
最后，「Womersley 解适用于所有血流」的误解。Womersley 解假设「直管」「刚性壁」「牛顿流体」「单一频率」「轴对称」，而实际血管有分岔、弯曲、弹性、血液非牛顿性（红细胞聚集导致低剪切粘度增大）。例如动脉分岔处产生二次流（Dean 涡）Womersley 单独无法描述。教育与基础理解中 Womersley 数极为有用，但患者个体临床计算必须结合患者 MRI 形状 + 非定常 CFD + 非牛顿模型（Carreau-Yasuda 等）。