固定端力矩模拟器 — 两端固定梁的 FEM 法基础

固定端弯矩（Fixed-End Moment, FEM）是两端完全固定的梁在载荷作用下固定端产生的弯矩，是转角位移法与弯矩分配法（Hardy Cross）的出发点。对跨长 $L$：

均布载荷下两端大小相同，均为 $wL^2/12$，跨中为 $wL^2/24$（正）。偏心集中载荷时，靠近载荷一端的 FEM 较大（$a=b=L/2$ 时两式均化为 $PL/8$）。

求解超静定刚架的转角位移法与弯矩分配法（Hardy Cross）均以 FEM 为起点：

1. 锁定全部构件：假定各节点转动被约束，由上表求各构件 FEM。
2. 不平衡弯矩：在各节点求 FEM 之和（不平衡弯矩）。实际节点可转动，故将其释放。
3. 分配：按各构件刚度 $K=I/L$ 成比例的分配系数分配不平衡弯矩。
4. 传递：所分配弯矩的一半传递至另一端（传递弯矩）。
5. 迭代：重复分配与传递直至不平衡弯矩足够小，得各端最终弯矩。

因此 FEM 是超静定结构分析的基本单元。在本模拟器中改变载荷与位置体会 FEM 的变化，有助于理解刚架分析。

刚接合框架结构设计：在 RC 或钢框架结构中，柱梁刚接合时，每个构件通常按「两端固定梁」建模，先求固定端力矩，再用挠角法或固定法求解节点回转角，最后得到整体应力。本工具展示的 M_A、M_B 正是这种「初始固定力矩」，是反复迭代计算的出发点。

连续桥梁分析：多跨连续桥的各跨可初步按两端固定梁建模，使用 FEM 表作基础，再根据节点刚度比分配力矩。通过本工具改变荷载位置 a，观察 M_A、M_B 比值的变化，能直观理解荷载位置如何影响两端的力矩分配。

机械轴的弯矩计算：机床主轴或传动轴等两端由轴承约束的轴，其弯矩计算也用同样的公式。可将自重作为均匀分布荷载，滑轮或齿轮负荷作为集中荷载，重叠计算轴承位置的力矩，再用 $\sigma = Mc/I$ 求弯曲应力。

有限元软件的校核：使用商业 FEM 软件（Ansys、Abaqus 等）建立梁单元模型后，常用本工具计算简单的两端固定加集中/分布荷载工况，与软件结果对照，检查输入条件的正确性。若偏差超过 ±5%，需检查支点条件或荷载单位。

最常见的误解是：「两端固定 = 完全刚体支持」而不加任何保留地假设。实际结构中完全固定支持很罕见，即使混凝土墙中的嵌入式钢梁也允许微小旋转。实务中常将「固定度」（fixity）表示为 0（铰接）到 1（完全固定）之间的系数，在本工具的完全固定结果与简支梁结果之间插值。设计时为保险起见，往往取较小的固定端力矩、较大的跨中力矩。

其次，误认为固定端力矩只由「材料强度」决定。固定端力矩公式 $M_A = -P a b^2/L^2$ 或 $M_A = -w L^2/12$ 中没有弹性模量 E 和截面惯性矩 I，它只由荷载 P、w 和几何尺寸 L、a 决定。改变 EI 不会改变力矩本身，只改变挠度和支点反力分配。本工具固定 EI 值的原因正在于此。

最后，符号规定与图的方向容易混淆。本工具采用「下向荷载使梁上面受拉」为正的规定，所以两端固定梁的 M_A、M_B 显示为负值。BMD 中负力矩向上（梁上方膨出）表示，两端向上，跨中向下，形成「拱形」。不同教材的符号和图示方向可能相反，必须明确自己使用的规定后再讨论，以避免现场的误会。