参数设置
默认值为地球（GM=398600 km³/s²、R=6378 km）。h1=400 km 即 LEO，h2=35800 km 接近 GEO，合计 Δv ≈ 3.85 km/s 对应标准发射场景。
转移轨道几何
中央＝中心天体／蓝圆＝出发轨道 r1／绿圆＝目标轨道 r2／黄虚线＝半椭圆转移轨道／黄点＝Δv1 施加点／绿点＝Δv2 施加点
霍曼效率曲线
横轴＝半径比 r2/r1（1〜100，对数）／纵轴＝合计 Δv/√(μ/r1)。最大值附近（比 15.6）处效率约 0.536。黄点＝当前半径比。
理论与主要公式
霍曼转移是绕同一中心天体半径 $r_1$ 与 $r_2$ 两个圆轨道之间用两脉冲连接的最小能量路径。在出发／目标两端切向施加脉冲，中间以半椭圆相连。
第一脉冲 Δv1（出发圆轨道 → 转移椭圆的近点）：
$$\Delta v_1 = \sqrt{\frac{\mu}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2 r_2}{r_1+r_2}} - 1\right)$$
第二脉冲 Δv2（转移椭圆的远点 → 目标圆轨道）：
$$\Delta v_2 = \sqrt{\frac{\mu}{r_2}}\left(1 - \sqrt{\frac{2 r_1}{r_1+r_2}}\right)$$
转移时间为转移椭圆（半长轴 $a=(r_1+r_2)/2$）的半周期：
$$t_{\mathrm{tx}} = \pi\sqrt{\frac{(r_1+r_2)^{3}}{8\,\mu}}$$
$\mu = GM$ 为中心天体引力常数 [km³/s²]，$r_i = R + h_i$ 为轨道半径 [km]，Δv 单位 [km/s]，转移时间单位 [s]。地球时 $\mu = 398600$ km³/s²，$R = 6378$ km。
什么是霍曼转移轨道模拟器
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通信卫星从地表一口气送到 GEO，对吧？大概要多少燃料？
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这里你抓到一个关键点——其实不是"一口气"送到。通常先送到 LEO（高度 400 km 附近的驻留轨道），再用霍曼转移做两次脉冲送到 GEO。按本工具默认值（h1=400 km、h2=35800 km）算，合计 Δv ≈ 3.85 km/s。从齐奥尔科夫斯基方程看，这是个不小的数值。
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原理上行，但 Δv 会更大。先在出发圆轨道切向施加较小的 Δv1（约 2.39 km/s），轨道变为近点 r1、远点 r2 的半椭圆。运行半周到达远点时再切向施加 Δv2（约 1.45 km/s），即可乘上圆轨道速度进入 GEO。两次相加仍然是理论最小（半径比 11.94 以下时）的"圆→椭圆→圆"分段策略。
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开普勒第三定律。转移椭圆的半长轴 a=(r1+r2)/2，椭圆完整周期 T=2π√(a³/μ)，运动半周即转移时间 t_tx = π√(a³/μ)。在 LEO→GEO 默认值下约 5.30 小时。火星转移（地→火星）由于 a 较大约 8.5 个月，太阳邻近→海王星等极端情形需要数十年。把 h2 调大时，看一下右下方"霍曼效率曲线"会更直观。
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很好的观察点。Δv_total/√(μ/r1) 并非半径比 R=r2/r1 的单调函数——它在 R≈15.58 处取峰值 0.536，之后缓慢下降。这与"半径比超过某值后，双椭圆转移（三次脉冲）反而更省"这一经典结论相联（双椭圆胜出始于 R≈11.94，依中间轨道选取而异）。月球、火星级目标用霍曼足够，但更远目的地值得考虑其他策略。
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可以。把 GM 设为太阳值 1.327×10¹¹ km³/s²，R 取一个大于行星半径的占位值，h1 设为地球距日 1 AU = 1.496×10⁸ km，h2 设为火星 2.279×10⁸ km，即可估算行星间霍曼转移的 Δv。但实际行星际任务还需要地球／火星各自重力圈脱出／捕获的 Δv，因此这里给出的只是"以太阳为中心的转移部分"。本工具将 GM 上限设为 1.5×10⁶ km³/s²（约地球的 4 倍、月球级以下），针对地球周回用例优化。
常见问题
理想霍曼转移假设瞬时脉冲（无穷大推力、时间为 0），但实际发动机有有限燃烧时间。化学推进时即便 Δv 达数 km/s，燃烧也只需数分钟，对轨道周期（数小时～数日）来说接近"瞬时"，霍曼公式加修正即可用于工程。电推进（离子发动机）等 Δv 小、燃烧持续数月的情形需用低推力连续噴射轨道处理，与霍曼是另一类最优化问题。本模拟器作为化学推进／脉冲近似的标准教学使用最合适。
双椭圆转移使用三次脉冲：出发轨道 → 远点很大的第一椭圆 → 近点较小的第二椭圆 → 目标轨道。在"远点很大"处圆轨道速度小，轨道变更所需 Δv 也小。解析分析表明，目标轨道半径超过出发轨道的约 11.94 倍时（中间远点取无穷远的渐近值），双椭圆的合计 Δv 反小于霍曼。但双椭圆转移时间显著加长（超过霍曼的 2 倍），实际运行中需视任务约束综合权衡。
霍曼转移前提是两个圆轨道共面。倾角不同的情况下需另加"平面变更"的 Δv，一般估算为 2v sin(Δi/2)（Δi 为倾角变更角，v 为该点速度）。实务中将其与 Δv1 或 Δv2 矢量合并同时进行可节省燃料，称为联合机动（Combined Maneuver）。GEO 卫星发射时选择靠近赤道的发射场（ESA 的库鲁、JAXA 的种子岛）可节省倾角变更的 Δv。本模拟器专为共面情形设计，不涉及倾角变更。
概略如下：地球周回 LEO→月球（地心，r2≈384400 km）约 5 天。地球→火星（日心，r1=1.0 AU，r2=1.524 AU）约 8.5 个月，地球→木星约 2.7 年，地球→海王星约 30 年。本模拟器针对地球周回（GM=398600 km³/s²）优化，日心任务可手算或将 GM 改为太阳值并将半径换算成 km 后估算。实际任务中常用引力辅助（swing-by）缩短时间，Voyager 与 Cassini 是典型案例。
实际应用
静止卫星发射（LEO→GTO→GEO）：通信卫星、气象卫星通过霍曼转移送入 GEO（高度 35786 km）。实际上从发射场直接送入 LEO（高度 400 km 前后的驻留轨道），再以 Δv1 ≈ 2.4 km/s 进入 GTO（地球同步转移轨道，转移椭圆），5.3 小时后到达远点施加 Δv2 ≈ 1.45 km/s 进入 GEO 即标准流程。SpaceX Falcon 9、Ariane 5、H-IIA / H3、ULA Vulcan 等几乎所有商用发射均采用此模式。
行星际探测器的轨道设计：地→火星、地→金星、地→木星等主要行星际任务以日心霍曼转移为基本骨架。例如 NASA 火星探测（Mariner〜Perseverance）、ESA Mars Express、ISRO Mangalyaan、JAXA Nozomi／Akatsuki／Hayabusa2 等都以地球轨道与目标行星轨道间的霍曼半椭圆为出发点，再优化发射时机（发射窗口）与到达姿态。实机中加入中途微调（TCM, Trajectory Correction Maneuver），核心仍是霍曼公式。
ISS 补给／载人对接：SpaceX Dragon、Cygnus、Soyuz、Shenzhou 等 ISS 补给／载人飞船发射后接近 ISS 轨道（高度 ≈ 400 km，近圆轨道）时使用多次霍曼类机动组合。需严密计算相位匹配与相对位置，本工具的 Δv 解析是运行判断的起点。
空间望远镜／科学卫星的轨道变更：HST 服务任务、JWST 的 L2 晕轨道注入、ESA Gaia 的 L2 注入等，在各自的中继轨道间使用霍曼类两脉冲机动。L2 等半稳定点的注入以霍曼近似解为起点，结合"李雅普诺夫轨道接近 + 微调"组合是标准做法，本模拟器最适合学习其第一阶段。
常见误解与注意点
最常见的误解是"霍曼转移永远是最优"。霍曼在"两脉冲・共面・圆轨道间"的框架下 Δv 最小，但半径比超过 11.94 后三脉冲双椭圆转移 Δv 更小。此外还需考虑平面变更（轨道倾角不同）、发射时机约束（发射窗口）、引力辅助（swing-by）、发动机推力约束等，实际任务中常选择霍曼以外的策略。请把本工具的输出视为"理想化的 Δv 下限参考值"。
其次是"脉冲近似总是正确"的误解。化学推进时即便 Δv 达数 km/s，燃烧也只需数分钟，对轨道周期来说接近瞬时。但电推进（离子发动机、霍尔推进器）等推力为 100 mN 级、Δv 达成需数月时，整条轨道呈螺旋变化，"两点瞬时噴射"模型失效。电推进任务（Hayabusa、Dawn、BepiColombo）所需 Δv 大于霍曼，但比冲 Isp 高一个数量级故燃料反少——另一类权衡。
最后，"中心天体的引力场是理想质点"的假设是有限度的。地球并非完全球，赤道附近的鼓起（J2 摄动）长期使轨道面进动，太阳光压、大气阻力、第三体引力（月球、太阳）均带来不可忽略的修正。GEO 卫星每年需约 50 m/s 的 Δv 进行轨位保持（station-keeping），这与本工具计算的"注入时 Δv"是分开的运行成本。设计初期可用本模拟器估算，详细分析则用 STK、GMAT、Orekit 等专业软件。