参数设置
滤波器类型
扫描运行时阶数 N 周期变化，极点在单位圆内移动，响应变陡。移动任意滑块即切换为手动设计。双线性变换保证所有极点都在单位圆内（稳定）。
z 平面与频率响应（实时设计）
左＝z 平面极点（× 红）与零点（○ 黄）／右＝幅度响应 |H|（蓝）与截止 f_c（绿）。阶数 N 越高滚降越陡，所有极点都在单位圆内（稳定）。
理论·主要公式
模拟Butterworth低通是通过带内增益最大平坦设计的经典滤波器。利得平方给定为：
$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + (\omega/\omega_c)^{2N}}$$
其中ω_c是截止角频率，N是阶数。以分贝表示的利得：
$$G(\omega) = 20\,\log_{10}|H(j\omega)|$$
在通过带边ω_p要求−A_p（默认3 dB），在阻止带边ω_s要求−A_s以上衰减时，最小必需阶数为：
$$N_{\min} = \left\lceil \frac{\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{A_s/10}-1}{10^{A_p/10}-1}\right)}{2\,\log_{10}(\omega_s/\omega_p)} \right\rceil$$
高频侧的渐近滚降为−6N dB/oct（=−20N dB/dec）。阶数越高越陡峭。
IIR滤波器设计模拟器简介
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听说过"IIR滤波器"这个说法，但Butterworth是什么呢？我首先应该看什么？
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简单说，Butterworth就是"通过带平坦到没有凸凹的低通"。公式只需要一个：$|H(j\omega)|^2 = 1/(1+(\omega/\omega_c)^{2N})$。模拟器的蓝色曲线就是用分贝表示的这个式子。看绿色破线（截止f_c），正好在$-3$ dB处切过去。
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确实是。我把阶数N从1提升到12，从截止开始的下降变得越来越陡了。
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对，那就是滚降。$-6N$ dB/oct的速度下降。N=4就是$-24$ dB/oct，N=8就是$-48$ dB/oct。模拟器的"滚降"卡片也显示这个值。看一下f_s的卡片，f_s=500 Hz、N=4时应该显示约$-55.9$ dB。这是从$5^8 \approx 3.9\times 10^5$算出来的。
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从设计规格反推的"至少需要这么多"的阶数。如果说"到f_p为止要在$-3$ dB内，到f_s要降$-40$ dB"，那么$N_{\min} = \lceil \log_{10}((10^{A_s/10}-1)/(10^{A_p/10}-1))\,/\,(2\log_{10}(f_s/f_p)) \rceil$就能确定。初始值（f_c=100, f_s=500, A_s=40）下N_min是3。实际用N=4，是为了应付制造偏差和设计余度。
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这里有坑。极点靠近虚轴，系数对误差变得敏感，在定点DSP里一个舍入误差就容易发振。实现的标准做法是分解成2阶段（SOS）。另外，群延迟会大幅增加，阶跃响应会出现严重的铃波。实际上是把N_min加个1～2作为余度。
常见问题
如果通过带平坦性最优先，选Butterworth；同阶下想尽可能陡峭，选Chebyshev；最陡峭则选Elliptic（Cauer）。Chebyshev允许通过带（I型）或阻止带（II型）纹波，Elliptic两个带都有纹波。在声学或测量系统中，因为相位相对素直，Butterworth更受欢迎；在通信的信道分离等需要陡峭性的应用中，Elliptic被使用。
最常见是双线性变换。令s = (2/T)·(1−z⁻¹)/(1+z⁻¹)，将s平面左半面映射到z平面单位圆内。由于频率轴发生ω_a = (2/T)·tan(ω_d·T/2)的失真，设计前必须进行预扭曲（prewarp）来补正目标频率。脉冲不变变换可保持接近线性的相位，但除低通外需注意混叠。
FIR有有限长冲激响应，易实现线性相位、总是稳定；但同样陡峭度需要更多抽头数（运算量大）。IIR用反馈以少系数达到陡峭响应，但相位非线性，系数误差会导致不稳定。实时控制、DSP低延迟应用用IIR；图像处理、时间序列分析且厌烦相位失真的用FIR。
直接形（Direct Form I/II）一次性实现高阶，系数量子化会让极点移动，容易不稳定。实务中要分解成2阶段（SOS：biquad）级联，靠近的极点对配在一起，分配增益防止溢出。定点DSP还要防止量化噪音再循环。MATLAB的zp2sos、SciPy的sosfilt是标准工具。
现实应用
传感器计测的预处理：加速度传感器、压力传感器输出上叠加了高频电气噪声和结构振动。Butterworth低通因通过带平坦、相位失真相对小，被广泛用作"保持计测值振幅信息同时只除去带外噪声"的反混叠滤波器或平滑滤波器。
声学与音频设备：扬声器分频网络、采样前反混叠滤波、回放时的重建滤波等，音频系统各处都用IIR低通。Butterworth频率特性光滑、没有色彩着色，是高保真应用中滤波器设计的起点。
通信与无线：基带处理的调制解调、IF/RF阶段的带限制、软件无线电（SDR）的信道选择等，为提取信号所需带宽而广泛应用IIR滤波器。选择性强的场景用Elliptic，想降低群延迟的场景用Butterworth。
控制工学与伺服系统：作为伺服控制环路内抑制共振和高频噪声的凹陷/低通，嵌入IIR滤波器。因为相位滞后会削弱稳定裕度，保持必需阶数且不过度切割很重要。Butterworth相位特性温和，对控制带的影响易估算。
常见误解与注意事项
最常见的误解是"阶数越高滤波器越好"。确实高阶滚降陡峭，但极点靠近虚轴导致系数对误差极度敏感，一点舍入误差就在定点实现中导致不稳定。模拟器选N=12看起来理想，但实现几乎一定需要2阶段分解。现实方针是"从N_min起，加一点余度"。
第二常见是误认为"截止f_c处信号完全被切掉"。Butterworth的截止是利得达到$-3$ dB的点，不是信号消失的地方。$-3$ dB是功率的一半、幅值约0.707倍，f_c附近的信号依然通过。要完全消除，正确做法是明示阻止带边f_s和要求衰减A_s，反推N_min。
最后要注意的是本模拟器显示的是"模拟（连续时间）"频率特性。要作为数字IIR实现，需要通过双线性变换等进行离散化，这时频率轴会因预扭曲而失真。模拟设计里的f_c，取样频率$f_s^{(\text{sa})}$过低时实际数字滤波器的截止会偏离。标准流程是连续时间验证 → 预扭曲 → 双线性变换。