参数设置
尾部阈值 t
σ
样本数 N
提议分布均值 μ
提议分布标准差 σ
随机数由固定种子 seed=42 的 LCG 与 Box-Muller 法生成，相同参数下结果可重现。
计算结果
—
真值 P(X>t)
—
朴素 MC 估计
—
IS 估计
—
方差缩减比 Var_MC/Var_IS
目标分布 p、提议分布 q 与估计值收敛
上半：蓝＝目标 N(0,1)／绿＝提议 q(x)／红虚线＝阈值 t／红色填充＝尾部 x>t 下半：蓝＝朴素 MC 估计／红＝IS 估计／绿虚线＝真值
理论与主要公式
目标分布 $p$ 下的期望可由提议分布 $q$ 的加权样本来评估：
$$I = \mathbb{E}_p[h(X)] = \int h(x)\,p(x)\,dx = \mathbb{E}_q\!\left[h(X)\,\frac{p(X)}{q(X)}\right]$$从 $q$ 抽取 $N$ 个样本 $X_i$，并使用权重 $w(X_i)=p(X_i)/q(X_i)$ 进行修正，得到重要性采样估计量：
$$\hat I_{\text{IS}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} h(X_i)\,w(X_i),\quad X_i \sim q$$对于尾部概率 $P(X>t)$，取 $h(x)=\mathbf 1(x>t)$，$p=\mathcal N(0,1)$，$q=\mathcal N(\mu,\sigma^2)$，权重为
$$w(x)=\frac{\sigma\exp(-x^2/2)}{\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))}$$取 $\mu\approx t$ 时几乎所有样本都落在尾部，方差缩减比 $\operatorname{Var}(\hat I_{\text{MC}})/\operatorname{Var}(\hat I_{\text{IS}})$ 可达数倍乃至上千倍。