K(T) = K_0·exp(|ΔH_ads|/(R·T))。气体常数 R = 8.314 J/(mol·K)。吸附热 ΔH_ads 为负值（放热），输入其绝对值。
上半：当前条件下 θ vs p（对数轴，红点＝当前点，虚线＝θ=0.5 与 p_50）。下半：T=250, 298, 400, 600 K 等温线对比。
朗缪尔模型假设表面具有等价吸附位点并形成单分子层。由吸附与脱附速率在平衡时相等的条件可导出等温线：
覆盖率（占据位点分数）。K 为平衡常数，p 为分压：
$$\theta = \frac{K\,p}{1 + K\,p}$$
平衡常数的温度依赖（van't Hoff 形式）。R 为气体常数，ΔH_ads 为吸附热（放热为负）：
$$K(T) = K_0 \exp\!\left(\frac{-\Delta H_\text{ads}}{R T}\right)$$
半饱和压（θ = 0.5）。K 越大，越低压力即可达到半饱和：
$$p_{50} = \frac{1}{K}$$
低压下（Kp ≪ 1）θ ≈ Kp（亨利区）；高压下（Kp ≫ 1）θ → 1（饱和）。等温线形状仅取决于乘积 Kp。
什么是朗缪尔吸附等温线模拟器
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"吸附等温线"我第一次听说。是描述气体分子吸附到固体表面的方程吗？
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没错，就是这样。简单来说，保持温度不变，改变气体压力，问"表面位点被占据的比例是多少"——这就是等温线。朗缪尔在 1918 年提出了最简单的版本，只需一行就能写出：$\theta = Kp/(1+Kp)$。试着拖动上方的"压力 p"滑块，覆盖率 θ 会从 0 升到 1，呈现近似 S 形的曲线。
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好问题。实际等温线有"亨利区""过渡区""饱和区"三张面孔，每张通常跨越 100 倍以上的压力。线性轴下低压区被压成一条细线，看不出名堂。对数轴让低压段的斜率（等于 K）和高压平台（θ → 1）能同时显示。把压力从 0.01 扫到 1000 kPa，你就能体会对数轴的好处。
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把温度调高后，下半图的曲线纷纷向右移动。是不是温度高就难吸附？
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正是如此。吸附通常是放热反应，根据勒夏特列原理，温度升高会使平衡偏向脱附。公式写出来 $K(T)=K_0\exp(|\Delta H|/RT)$：T 越大，指数项越小，K 越小。K 减小意味着半饱和压 $p_{50}=1/K$ 增大——即达到相同覆盖率需要更高压力，这就是"曲线右移"的物理含义。冰箱除臭剂和低温吸附之所以高效，也是这个温度依赖性在起作用。
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把"吸附热"调大后，即使很低的压力也接近饱和。这也和温度有关吗？
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关系非常大。|ΔH| 越大，表面与分子的结合越强——化学吸附为 40-400 kJ/mol，物理吸附为 5-40 kJ/mol。把吸附热调到 40 kJ/mol 左右，K 会迅速增大，1 kPa 时 θ 就几乎贴近 1 了。催化剂活性位点的核心就是这种"强而快地吸附，反应后干净脱附"的平衡，调控 ΔH 几乎占据了催化研究的大部分工作。
常见问题
化学吸附与物理吸附下朗缪尔模型的适用性是否相同？
化学吸附位点单一且呈单层，朗缪尔模型拟合较好。物理吸附相互作用较弱，易形成多层，低压段尚可，高覆盖率需用 BET 模型。常用线性化作图 1/θ vs 1/p 或 p/n vs p，若呈直线即说明朗缪尔模型适用。
催化剂工程中如何使用该等温线？
在 Langmuir-Hinshelwood 动力学中，反应速率为 r = k θ_A θ_B，覆盖率由等温线给出。低覆盖率时速率随压力线性增加，饱和区则保持不变（与压力无关），最优压力落在两者之间。在金属表面测量 CO 或 H_2 等温线，是确定温度/压力操作窗口的标准方法。
气敏传感器灵敏度与覆盖率有什么关系？
半导体气敏传感器（如 SnO2）的电导率随表面氧覆盖率变化。低浓度区呈现线性响应 θ ≈ Kp，决定传感器的动态范围；高浓度区饱和，响应趋于平稳。设计上通过温度或催化剂掺杂调节 K 值，使亨利区斜率（灵敏度）和 p_50（量程中心）符合目标浓度要求。
朗缪尔与 BET、Freundlich 模型有何区别？
BET 将朗缪尔扩展到多层吸附，假设第二层及以后的吸附能等于液化热，是 N2 比表面积测定（BET 法）的标准模型。Freundlich 为经验式 $\theta = K p^{1/n}$，对非均匀表面适用性好但无法描述饱和。朗缪尔是均匀位点、单层吸附的理想参考模型，是教科书与催化模型的基础。
实际应用
多相催化剂设计与运行： 汽车尾气净化、氨合成、甲醇重整等多相催化反应中，反应速率强烈依赖催化剂表面吸附种的覆盖率。朗缪尔型覆盖率模型是 Langmuir-Hinshelwood 速率方程的出发点，用于温度、压力、组成的优化、反应器设计与催化剂寿命预测。
多孔吸附剂的分离与纯化： 活性炭、沸石、MOF（金属有机框架）等吸附剂用于气体分离与水处理时，各组分的吸附等温线决定分离性能。压力变换吸附（PSA）与温度变换吸附（TSA）利用 K(T, p) 的依赖性，通过加压-减压循环分离气体。空气分离氮氧、CO2 回收等已广泛应用。
气敏传感器与环境监测： 半导体式与电化学式气敏传感器的响应取决于待测气体的表面吸附量。亨利区的线性区给出传感器的动态范围，p_50 即为量程中心。低浓度大气污染物（NOx、CO、VOC）检测器的设计需通过加热元件控制 K(T) 的温度依赖性。
制药与食品的吸湿等温线： 药品与食品的稳定性取决于水分活度，产品中的水分含量由环境湿度的吸附平衡决定。低水分活度区可用朗缪尔型描述，高水分活度区则需 BET 型。这些数据是保存条件、包装设计与货架期预测的基础。粉末药物的吸湿性评估是制剂开发的重要环节。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为朗缪尔等温线适用于任何吸附现象 。该模型建立在"等价位点""单层""无侧向相互作用""ΔH 恒定"四项理想化假设之上。真实表面存在台阶、扭折、缺陷等异质性，相邻吸附分子也有斥力或引力相互作用。特别是在高覆盖率或物理吸附形成多层时，朗缪尔式与实测值会系统偏离。将数据以 1/θ vs 1/p 作图，若不呈直线，应改用 Freundlich、Temkin 或 BET 等其他模型。
第二个常见错误是忽略 K 的温度依赖性，认为"一条等温线就够" 。由于 K 经 ΔH 与 T 呈指数变化，温度相差 50 K 时 K 可变化数倍至数十倍。在模拟器下半面板对比 T=250-600 K 的四条曲线，可以看到同一 ΔH 下曲线在压力轴上几乎右移了三个数量级。实际工艺设计必须确认运行温度区间内的 K 值。反过来，由多温度等温线作 van't Hoff 图 ln K vs 1/T，可由斜率实验求得 ΔH。
最后请注意不要混淆"覆盖率 θ"与"吸附量 n" 。θ 是"占据位点数与总位点数之比（0-1）"，无量纲；n 是"单位质量吸附剂上的摩尔数（mol/g）"等实测量。两者关系为 n = n_max · θ，最大吸附量 n_max 由表面积与位点密度决定。用等温线拟合实验数据时，需先将 n 换算为 θ（即先估算 n_max）。BET 比表面积测定本质上也是用此思路。朗缪尔拟合的可靠性很大程度上取决于对"总位点数"的估计精度。