K(T) = K_0·exp(|ΔH_ads|/(R·T))。气体常数R = 8.314 J/(mol·K)。假设ΔH_ads为放热（负），输入|ΔH_ads|。
气体分子在空位点上反复吸附与脱附，提高压力 p 使位点逐渐填满，单分子层达到饱和（θ→1）。绿色=占有位点，灰色=空位点。
上半部=当前条件的θ vs p（对数轴，红圆点=当前点，虚线=θ=0.5和p_50）/下半部=T=250, 298, 400, 600 K的等温线对比
朗格缪尔模型假设表面的等价吸附位点进行单分子层吸附，从吸附和脱附速率达成平衡的条件推导。
覆盖率（占有位点分率）。K为平衡常数，p为分压：
$$\theta = \frac{K\,p}{1 + K\,p}$$
平衡常数的温度依存性（范特霍夫型）。R为气体常数，ΔH_ads为吸附热（放热为负）：
$$K(T) = K_0 \exp\!\left(\frac{-\Delta H_\text{ads}}{R T}\right)$$
θ = 0.5时的半饱和压。K越大，半饱和压越低：
$$p_{50} = \frac{1}{K}$$
低压（Kp ≪ 1）时θ ≈ Kp为线性（亨利域）。高压（Kp ≫ 1）时θ → 1为饱和。等温线形状仅由K和p的乘积决定。
朗格缪尔吸附等温线模拟器简介
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我第一次听说「吸附等温线」这个概念。这是把气体在固体表面粘附的现象用公式表示吗？
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完全正确！简单来说，在恒定温度下改变气体压力时，固体表面位点的占有率会变化，这个关系就是等温线。朗格缪尔模型是1918年由欧文·朗格缪尔提出的最基础的模型，用一个简洁的公式表示：$\theta = Kp/(1+Kp)$。上面的模拟器里，试试拖动「压力p」的滑块。你会看到覆盖率θ从0变到1，形成近似S形曲线。
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我注意到图表的横轴用的是对数刻度。不用普通直线刻度行吗？
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好眼光！实际上等温线有三个截然不同的区域：「亨利区」、「过渡区」和「饱和区」，压力范围可能跨越100倍甚至更多。如果用线性刻度，低压部分会被压缩看不清。对数轴能让我们同时清晰看到：低压区的斜率（等于K）和高压区的饱和平台（θ → 1）。在模拟器里把p从0.01 kPa拖到1000 kPa，你就能体会到对数轴的优势了。
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我拉高温度滑块时，下面那组曲线全部向右移动了。这是说温度升高时吸附变困难了吗？
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正好相反——吸附通常是放热反应，按勒夏特列原理，提高温度会推动平衡向脱附方向移动。从公式上看，$K(T) = K_0\exp(|\Delta H|/RT)$，温度T越大，指数的分母越大，K值就越小。K减小意味着半饱和压$p_{50}=1/K$变大——也就是说，要达到相同的覆盖率需要更高的压力，这就表现为「曲线右移」。这也是为什么冰箱里的除臭剂在低温下效果好，温度升高就失效的原因。
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我把「吸附热」调大时，即使压力很低也接近饱和了。这跟温度有关系吗？
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密切相关。|ΔH|越大说明表面和分子的结合越强——化学吸附通常40～400 kJ/mol，物理吸附是5～40 kJ/mol。在模拟器里把吸附热改到40 kJ/mol左右试试，你会看到K的值急剧增加，即使只有1 kPa压力，θ也会贴近1。触媒的活性位点设计就在于「强吸附保证反应进行，但又要容易解吸」的微妙平衡，这个ΔH的值决定了很大一部分。
常见问题
朗格缪尔模型对化学吸附和物理吸附的适用性不同吗？
化学吸附由于位点特异性强和单分子层特性明显，朗格缪尔模型适用性较好。物理吸附是弱相互作用，容易发生多层吸附，低压区有一定的朗格缪尔性，但高覆盖率时需要用BET模型扩展。实验检验的方法是用1/θ vs 1/p或p/n vs p的线性化形式绘图，直线性好就说明朗格缪尔模型适用。
这条等温线在催化剂设计中如何使用？
Langmuir-Hinshelwood机制中，反应速率表示为吸附物种覆盖率的乘积：r = k θ_A θ_B。低压时r ∝ p呈线性，饱和区时r趋于常数（与压力无关），最优压力往往在两者之间。向金属表面的CO或H₂吸附等温线，可以确定操作窗口。温度和压力的权衡对反应器设计和运行效率至关重要。
气体传感器的灵敏度与覆盖率有什么关系？
半导体式气体传感器（如SnO₂）表面氧物种的覆盖率变化导致电导率改变。在低浓度亨利域，θ ≈ Kp呈线性，这是传感器的线性响应范围。高浓度时饱和效应出现，灵敏度下降，这限制了传感器的动态范围。通过改变K值（温度、催化剂掺杂）可以调节检测范围的位置和宽度。亨利域的斜率对应「灵敏度」，p₅₀对应「检测范围的中心」。
BET模型和Freundlich模型与朗格缪尔的区别是什么？
BET处理多层吸附，第2层及以上的吸附热等于液化热，适用于相对压力0.05～0.35的范围（如N₂吸附测比表面积，77K）。Freundlich是经验式$\theta = K p^{1/n}$，适合不均一表面，但无法表现饱和。朗格缪尔是均一位点、单分子层的理想模型，是触媒模型的基准，在教科书和基础研究中最重要。选择模型要看数据的拟合范围和物理背景。
实际应用
非均相催化反应的设计与操作： 汽车尾气净化、合成氨、甲醇转化等非均相催化过程的反应速率强烈依赖于催化剂表面吸附物种的覆盖率。朗格缪尔型覆盖率模型是Langmuir-Hinshelwood速率方程的基础，直接用于温度、压力、组成的优化，反应器设计和催化剂寿命预测。
多孔吸附剂的分离和净化： 活性炭、沸石、金属有机框架(MOF)等材料的吸附等温线决定分离性能。压力变温吸附(PSA)、温度变温吸附(TSA)利用朗格缪尔型K(T,p)的依赖性，通过加压-减压循环实现气体分离。空气中N₂、O₂的分离，CO₂的捕获都有大规模工业应用。
气体传感与环境监测： 半导体式、电化学式气体传感器的响应取决于检测气的表面吸附量。朗格缪尔等温线的亨利区线性特性给出传感器的动态范围，p₅₀是满度值的参考点。低浓度大气污染物(NOₓ, CO, VOC)检测器中，通过内置加热器调节K(T)的温度依赖性来扩大工作范围。
医药和食品的水分活性： 药品和食品的稳定性取决于水分活性，制品中的水分含量由周围湿度的吸附平衡决定。低水分活性域用朗格缪尔模型，高活性域用BET模型描述。数据是储存条件、包装设计、保质期预测的基础，制剂开发中水分吸附评估是必要步骤。
常见误区与注意事项
最普遍的误解是认为「朗格缪尔等温线适用于所有吸附现象」 。该模型建立在「等价位点」「单分子层」「无分子间相互作用」「吸附热恒定」四个理想化假设基础上。实际表面存在位点异质性（台阶、拐点、缺陷），相邻吸附分子有排斥力和引力。特别是在高覆盖率和多层吸附（物理吸附）的情况下，朗格缪尔式会系统偏离实验数据。若实验数据的1/θ vs 1/p线性化图不成直线，应考虑Freundlich、Temkin或BET等其他模型。
常见的第二个错误是「只看一条等温线，忽视K的温度依赖性」 。K通过ΔH和T以指数形式变化，仅仅50K的温度差就会使K改变数倍甚至数十倍。模拟器下半部并排显示的T=250～600K四条曲线表明，在相同ΔH下，曲线可能横向移动达3个数量级。实际过程设计时必须确认运行温度下的K值。反之，如果有多温度等温线数据，可通过van't Hoff图ln K vs 1/T的斜率实验测定ΔH。
最后，要区分「覆盖率θ」与「吸附量n」 的概念。θ是「占有位点总数的百分比」，无量纲，范围0～1；n是「单位吸附剂质量的吸附摩尔数」，单位mol/g，是实验可测量。两者的关系是n = n_max · θ，其中n_max是表面积和位点密度决定的常数。用等温线拟合实验数据时，必须先把n转换为θ（需单独测定或估算n_max），这一步的准确度直接影响后续结果。BET比表面积测定也依赖这个转换逻辑。