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量子和磁共振模拟器

自旋进动模拟器 — Larmor 进动和 NMR/MRI 基础

快速解答
拉莫尔进动的角频率为 ω_L = γ·B₀（γ=旋磁比、B₀=静磁场），频率 f_L = ω_L/(2π)。横向磁化按 M_x(t) = M₀·cos(ω_L·t)·e^(−t/T₂) 衰减；质子（γ = 2.675×10⁸ rad/s/T）在 1.5 T 磁场中约以 63.85 MHz 进动。

可视化静磁场中磁矩进行的 Larmor 进动。改变 B_0、γ、T_1、T_2，直观学习 MRI 中质子以 63.85 MHz 进动的机制和弛豫现象。

参数设置
预设场景
核素预设
静磁场 B_0
T
旋磁比 γ (×10⁷ rad/s/T)
×10⁷
RF 振幅 B_1 (µT)
µT
初始翻转角 θ₀
°
纵向弛豫时间 T_1
s
横向弛豫时间 T_2
s
RF 脉冲 (B_1)
旋转坐标系
弛豫 (T_1/T_2)

默认值 γ = 26.75×10⁷ rad/s/T 为质子（¹H）的数值。系统会根据物理约束 T_2 ≤ T_1 自动限幅。

计算结果
—
Larmor f_L
—
极角 θ
—
Mx
—
My
—
Mz
—
M_xy（横向）
—
|M|
—
Rabi ω₁/2π
0.0
时间 t [ms]
自旋进动和弛豫曲线
B₀ 轴 (z) 磁化强度 M 进动轨迹 RF B₁

上=磁化矢量 M 的 xy 平面投影（进动圆随 T_2 衰减）／下=纵向弛豫 M_z(t) 和横向弛豫包络线 M_xy(t)

理论和主要公式
M_z(t) 纵向弛豫（T₁） M_xy(t) FID 包络线（T₂）
计算结果
—
Larmor 频率 f_L
—
Larmor 角频率 ω_L
—
纵向弛豫 T_1
—
横向弛豫 T_2
理论与主要公式

静磁场 B_0 中的磁矩 μ 在转矩 dμ/dt = γ μ × B_0 的作用下，以恒定角速度绕磁场轴进动。

Larmor 角频率 ω_L 与 Larmor 频率 f_L。γ 为旋磁比：

$$\omega_L = \gamma B_0, \qquad f_L = \frac{\omega_L}{2\pi}$$

共振 RF (B_1) 引起的 Rabi 章动。90° 脉冲时间：

$$\omega_1 = \gamma B_1, \qquad t_{90} = \frac{\pi}{2\,\omega_1}$$

90 度脉冲后的自由进动（横向弛豫以 T_2 指数衰减）：

$$M_x(t) = M_0\cos(\omega_L t)\,e^{-t/T_2}$$

纵向磁化的饱和恢复（纵向弛豫的时间常数为 T_1）：

$$M_z(t) = M_0\left(1 - e^{-t/T_1}\right)$$

将质子（γ = 2.675×10⁸ rad/s/T）置于 MRI 的 1.5T 磁场中，Larmor 频率约为 63.85 MHz。

自旋进动模拟器是什么

🙋
我没听说过"自旋进动"，这是 MRI 中使用的概念吗？
🎓
正是 MRI 的根本。简单地说，原子核是"小磁铁"，放在强磁场中时，会绕磁场方向以恒定角速度做圆锥运动。这就是 Larmor 进动。就像陀螺在重力中进动一样，重力相当于磁场 B_0，陀螺的形状相当于"旋磁比 γ"。上面的滑块增加 B_0 时，Larmor 频率卡片会按比例增加，你会看到这一点。
🙋
我看到默认值的 1.5T 中写着 63.85 MHz。这是在测量什么以 63 MHz？
🎓
这意味着质子（氢原子核）在 1.5T 中每秒进动约 6,385 万次。MRI 设备向身体施加与该频率完全相同的无线电波（射频），使质子"共鸣"。切断电波后，质子又发出该频率的电波——接收它并转换成图像就是 MRI 的本质。尝试在模拟器中将 B_0 改为 3T。Larmor 频率会跳到约 127 MHz。这是 3T MRI 信号强度增加的原因。
🙋
移动 T_1 和 T_2 滑块时，下面的曲线伸缩。这两个有什么区别？
🎓
T_1 是"自旋与磁场方向对齐所需的时间"，T_2 是"进动的磁化沿不同相位衰减所需的时间"。例如脑白质和灰质的 T_1 和 T_2 不同，改变扫描方法时一个会显示为亮白，另一个为黑色。这就是 MRI 对比度的来源。你会看到设置 T_2 大于 T_1 时会自动降低，因为"相位衰散前就已对齐"在物理上是不可能的。
🙋
我听说脂肪和水的值完全不同。具体有什么区别？
🎓
好问题。1.5T 中脂肪的 T_1 ≈ 0.3s，T_2 ≈ 0.08s 很短，但纯水的 T_1 ≈ 4s，T_2 ≈ 2s 很长。在 T_1 加权图像（短 TR）中脂肪显白，水显黑。在 T_2 加权图像（长 TE）中水显白，脂肪显暗。在模拟器中尝试将 T_1 从 0.3 改到 4.0，会看到蓝色曲线的上升速度完全不同。这直接变成 MRI 的显示方式。

常见问题

γ 是核磁矩 μ 与角动量 L 的比（γ = μ/L），对每个核种都是固有常数。质子的 g 因子约为 5.586 很大，因此 γ = 2.675×10⁸ rad/s/T 也很大，这是 MRI 中选择质子（氢原子）的主要原因。¹³C 是 γ = 6.73×10⁷，³¹P 是 1.08×10⁸，核种间约相差一个数量级。相同磁场中改变核种可改变 Larmor 频率，多核 NMR 中通过切换频率进行测量。
T_1 过程（纵向弛豫）是能量传递到晶格的现象，必然引起相位错乱。而 T_2 过程（横向弛豫）仅由自旋间相位错乱驱动。因此 T_2 弛豫速度不小于 T_1 弛豫速度，时常数中 T_2 ≤ T_1 总是成立。生体组织中 T_2 通常是 T_1 的几分之一，纯水中两者几乎相等。在实际 MRI 扫描中，通常是 T_2*（T_2 星）—— "包括磁场不均性的表观 T_2" —— 控制信号衰减。
短时施加与 Larmor 频率相同频率的无线电波（RF 脉冲）时，磁化开始绕 B_1 轴进行 Rabi 振荡。通过调整脉冲宽度使磁化转 90 度的叫 90 度脉冲，转 180 度倒转的叫 180 度脉冲（反演脉冲）。90 度脉冲后，xy 平面进动的磁化产生 FID（自由诱导衰减）信号，180 度脉冲用于自旋回波法补偿 T_2* 衰减。所有 MRI 扫描序列都由这些的组合构成。
虽然是同一质子，但由于周围分子环境不同，周围电子产生的屏蔽磁场不同，Larmor 频率会微小偏移（ppm = 百万分之一量级）。这是化学位移，对有机化合物结构测定不可或缺。例如乙醇 CH₃CH₂OH 的 ¹H NMR 中，CH₃、CH₂、OH 质子各显示不同峰，可读出分子结构。MRI 中这个效应表现为"脂肪位移伪影"，用脂肪抑制序列消除。

现实应用

医学 MRI 成像：最大的应用领域。利用质子 Larmor 进动无创、无辐射地对生体氢分布成像。脑肿瘤、脊髓损伤、关节软骨、心肌梗死等，X 光和 CT 难以捕捉的软组织对比度一目了然，成为现代医疗的核心诊断设备。1.5T 是标准，3T 用于高分辨率，7T 用于研究。

NMR 分光法化学结构解析：有机化学、药学、生化学中，化合物结构测定离不开 NMR。通过化学位移和 J 耦合（自旋-自旋耦合）读出分子内原子连接，确定新药候选或天然物结构。蛋白质 NMR——用溶液中确定蛋白质立体结构——与 X 射线晶体学并列为结构生物学的主要手段。

固体物理和材料科学：固体 NMR（MAS-NMR）是研究玻璃、陶瓷、电池材料局部结构的强力手段，对非晶试样也可获得原子排列信息。锂离子电池正极材料或全固态电池研究中，通过 Li 核 NMR 追踪充放电时结构变化。

量子计算和原子钟：用核自旋或电子自旋作为量子比特的"核磁共振量子计算机"是量子计算最初的实现平台。原子钟的一种 CPT（相干群聚陷阱）时钟也通过原子自旋进动精密测量动作。

常见误解和注意事项

最常见的误解是，把"Larmor 频率是核自转速度"搞反了。实际上 Larmor 频率是由量子力学决定的"核磁矩进动运动的角频率"，与核自转是不同的。1.5T 中质子以 63.85 MHz 进动的意思是，磁化矢量每秒约绕磁场轴转 6,385 万圈。模拟器上段的进动圆直观可视化了这一古典磁化矢量模型（Bloch 描像）。

其次常见的误解是，以为 T_1 和 T_2 可以独立自由设定。物理上必然 T_2 ≤ T_1 成立。这是因为 T_2 过程必然包含 T_1 过程的贡献，模拟器中若设 T_2 > T_1 也会自动限制。生体组织中 T_2 通常是 T_1 的 10~30%，而分子运动快的纯水中两者接近（T_1 ≈ T_2 ≈ 数秒）。扫描序列的 TE、TR 设定就是为了最大化利用各组织的 T_1、T_2 差异。

最后要注意的是，本模拟器仅可视化古典 Bloch 方程的自由进动，不包含量子效应、RF 脉冲、梯度磁场效应。实际 MRI 扫描含有梯度磁场的位置编码、选择性激励 RF 脉冲、k 空间采样、傅里叶变换成像等众多工序。本工具仅作为 NMR/MRI 出发点的"Larmor 进动和弛豫"直观入门材料。序列设计和实际成像需要通过专业书籍和临床培训系统学习。

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使用指南

  1. 用滑块在 0.5～3.0 T 范围内设定静磁场 B₀。临床 MRI 通常为 1.5 T 或 3.0 T。
  2. 选择核种的旋磁比 γ。¹H 是 42.58 MHz/T，¹³C 是 10.71 MHz/T 为标准值。
  3. 输入 T₁（纵向弛豫时间）和 T₂（横向弛豫时间）（毫秒单位），观察磁化恢复和衰减。脑白质 T₁ 约 600 ms，T₂ 约 80 ms。
  4. Larmor 频率 f_L = γB₀ / 2π 和角频率 ω_L = γB₀ 自动计算，用于 NMR 脉冲频率设计。

具体计算例

1.5 T MRI 设备的 ¹H 成像时：输入 B₀ = 1.5 T、γ = 2.675 × 10⁸ rad/(T·s)，得 Larmor 频率 f_L = 63.86 MHz、角频率 ω_L = 4.008 × 10⁸ rad/s。灰质设 T₁ = 800 ms、T₂ = 100 ms 时，90° 脉冲后 T₁ 时间内磁化恢复约 63%，T₂ 时间内横向磁化衰减至 37%。3.0 T 时频率翻倍至 127.7 MHz，RF 线圈设计和频率调谐改变。

实务注意事项