参数设置
默认 γ = 26.75×10⁷ rad/s/T 为质子（¹H）值。物理约束 T_2 ≤ T_1 会被自动钳制。
自旋进动与弛豫曲线
上方＝磁化矢量 M 的 xy 平面投影（进动圆按 T_2 衰减）／下方＝纵向弛豫 M_z(t) 与横向弛豫包络 M_xy(t)
理论与主要公式
处于静磁场 B_0 中的磁矩 μ，在力矩 dμ/dt = γ μ × B_0 的作用下以恒定角速度绕磁场轴进动。
Larmor 角频率与 Larmor 频率，γ 为磁旋比：
$$\omega_L = \gamma B_0, \qquad f_L = \frac{\omega_L}{2\pi}$$
90° 脉冲后的自由进动（横向信号以 T_2 指数衰减）：
$$M_x(t) = M_0\cos(\omega_L t)\,e^{-t/T_2}$$
纵向磁化的饱和恢复（时间常数 T_1）：
$$M_z(t) = M_0\left(1 - e^{-t/T_1}\right)$$
将质子（γ = 2.675×10⁸ rad/s/T）置于 MRI 1.5T 磁场中，Larmor 频率约为 63.85 MHz。
自旋进动模拟器是什么？
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「自旋进动」这个词听起来很陌生，是 MRI 用到的原理吗？
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它正是 MRI 的根本原理。简单说，原子核就像一块小磁铁，把它放进强磁场中，它就会以磁场方向为轴做圆锥运动——这就是 Larmor 进动。与陀螺在重力下进动几乎一模一样：磁场 B_0 相当于重力，磁旋比 γ 相当于陀螺的几何形状因子。上方滑块调大 B_0，可以看到 Larmor 频率 f_L 卡片随之线性增大。
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默认值 1.5T 对应 63.85 MHz，这个 63 MHz 到底是什么在转？
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它的意思是：处于 1.5T 磁场中的质子（氢核）每秒进动约 6385 万次。MRI 仪器发射与此频率完全相同的射频脉冲，让质子产生「共振」；脉冲关闭后质子又发出同频率的射频信号，仪器接收这些信号即可成像。在模拟器中把 B_0 设为 3T，Larmor 频率会跳升到约 127 MHz——这就是 3T MRI 信号更强的原因。
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调节 T_1 和 T_2 时下方曲线会伸缩。这两者有什么区别？
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T_1 是「自旋向磁场方向重新对齐所需的时间」，T_2 是「进动磁化在 xy 平面失去相位相干性的时间」。脑的白质与灰质 T_1、T_2 不同，改变扫描方法就能让其中一种变白、另一种变黑——这正是 MRI 对比度的来源。若试图把 T_2 设得比 T_1 还大，模拟器会自动钳制，因为「比达到平衡更快地失相位」在物理上不可能。
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好问题。1.5T 下脂肪 T_1 ≈ 0.3s、T_2 ≈ 0.08s，都很短；纯水则 T_1 ≈ 4s、T_2 ≈ 2s，长得多。T_1 加权图像（短 TR）中脂肪亮、水暗；T_2 加权图像（长 TE）中水亮、脂肪暗。把模拟器的 T_1 从 0.3 改到 4.0，可以明显看到蓝色恢复曲线的形状不同——这就是 MRI 影像对比度的直接来源。
常见问题
γ 是核磁矩 μ 与角动量 L 的比值（γ = μ/L），对每种核都是固定常数。质子的 g 因子约为 5.586，相对较大，因而 γ = 2.675×10⁸ rad/s/T 也较大，这正是 MRI 选用质子（氢核）的主要原因。¹³C 的 γ = 6.73×10⁷，³¹P 为 1.08×10⁸，不同核之间约有一个数量级的差异。即使磁场相同，更换核种 Larmor 频率也会改变，多核 NMR 通过切换频率即可测量。
T_1 过程（纵向弛豫）涉及能量向晶格的传递，并必然伴随相位的扰乱；而 T_2 过程（横向弛豫）即使没有能量损失，仅靠自旋间相位差异也能发生。因此 T_2 弛豫速度不可能慢于 T_1 弛豫，换算到时间常数即 T_2 ≤ T_1 始终成立。在大多数生物组织中 T_2 是 T_1 的数分之一；在纯水等系统中两者非常接近。在实际 MRI 扫描中，「含磁场不均匀性的表观 T_2」即 T_2*（T-two-star）往往主导信号衰减。
以 Larmor 频率施加短暂的射频脉冲后，磁化矢量绕 B_1 轴发生 Rabi 振荡。调整脉冲宽度使磁化恰好倾倒 90°，称为 90° 脉冲；翻转 180° 称为 180° 脉冲（反转脉冲）。90° 脉冲之后 xy 平面内进动的磁化产生 FID（自由感应衰减）信号；180° 脉冲用于自旋回波法以补偿 T_2* 衰减。MRI 中所有成像序列都由这两类脉冲的组合构成。
即使是同一种核，因周围电子产生的屏蔽磁场不同，Larmor 频率会发生极小的偏移（ppm，百万分之一量级），这就是化学位移，对有机化合物的结构鉴定不可或缺。例如乙醇 CH₃CH₂OH 的 ¹H NMR 中，CH₃、CH₂、OH 三组质子位于不同位置，可由此解析分子结构。MRI 中这一效应表现为「脂肪位移伪影」，通过脂肪抑制序列加以去除。
现实世界中的应用
医用影像 MRI：最大的应用领域。利用质子的 Larmor 进动，无创、无辐射地成像人体的水分分布。MRI 可以呈现 X 线和 CT 难以看清的软组织对比度，已成为脑肿瘤、脊髓损伤、关节软骨、心肌梗死等诊断的核心装置。1.5T 为临床主力，3T 用于高分辨率，7T 主要用于科研医院。
NMR 谱学与化学结构分析：在有机化学、药学、生化学中，NMR 是确定化合物结构的不可或缺工具。通过化学位移与 J 耦合可读取分子内原子间的连接关系，确认新药候选物与天然产物的结构。在溶液中确定蛋白质三维结构的「蛋白质 NMR」是与 X 射线晶体学并列的结构生物学主流方法。
固体物理与材料科学：固体 NMR（MAS-NMR）是研究玻璃、陶瓷、电池材料局部结构的有力手段，即便对非晶态样品也能获取原子配置信息。在锂离子电池研究中，可用锂核 NMR 跟踪充放电过程中正极材料的结构变化。
量子计算与原子钟：将核自旋或电子自旋的进动作为量子比特的「核磁共振量子计算机」，是量子计算最早期的实现平台之一。一种原子钟——CPT（相干布居陷阱）原子钟也依赖于对原子自旋进动的精密测量。
常见误解与注意事项
最常见的误解是「Larmor 频率就是原子核自转的快慢」。实际上 Larmor 频率是由量子力学决定的「核磁矩进动的角频率」，与核自身的自转毫无关系。1.5T 中的质子以 63.85 MHz 进动，意味着磁化矢量每秒绕磁场轴旋转约 6385 万圈。模拟器上方的进动圆正是对这一经典磁化矢量模型（Bloch 描述）的直观可视化。
其次常见的错误是「以为 T_1 和 T_2 可以独立任意设定」。物理上 T_2 必须满足 T_2 ≤ T_1，因为 T_1 过程也必然贡献相位扰乱。模拟器中若尝试把 T_2 设得大于 T_1，会自动被钳制回 T_1。在生物组织中 T_2 常约为 T_1 的 10–30%；在分子运动很快的体系如纯水中两者接近（T_1 ≈ T_2 ≈ 数秒）。MRI 序列的 TE 和 TR 参数正是根据各组织 T_1 与 T_2 的差异精心设计，以最大化对比度。
最后请注意，本模拟器仅可视化经典 Bloch 方程的自由进动，未包含量子效应、RF 脉冲及梯度磁场的作用。实际 MRI 成像还涉及梯度磁场的位置编码、选择性激发 RF 脉冲、k 空间采样、Fourier 重建等多个环节。请将本工具作为理解 NMR/MRI 起点（Larmor 进动与弛豫）的入门教材，序列设计与真实成像过程仍需通过专业教材与临床培训系统学习。