气体常数 R = 0.08206 L·atm/(mol·K)。V_m 由牛顿法迭代求解 f(V_m) = (P + a/V_m²)(V_m - b) − RT = 0。默认值对应氮气 (a≈1.36, b≈0.0387)。
蓝线＝van der Waals 等温线（温度 T）／灰线＝理想气体 PV=RT／橙线＝临界等温线 T=T_c／黄点＝当前工作点 (V_m, P)
纵轴＝Z = PV_m/(RT)／横轴＝P (atm)／蓝线＝van der Waals／灰虚线＝Z=1 理想气体／黄点＝当前 P 处的 Z
范德瓦尔斯状态方程在理想气体方程的基础上加入了分子吸引 (a/V_m²) 与排斥体积 (b) 的修正：
$$\left(P + \frac{a}{V_m^2}\right)(V_m - b) = R\,T$$
压缩因子表征偏离理想气体的程度：
$$Z = \frac{P\,V_m}{R\,T}$$
由临界点条件（dP/dV_m = d²P/dV_m² = 0）可得：
$$T_c = \frac{8a}{27\,R\,b}, \qquad P_c = \frac{a}{27\,b^2}, \qquad V_c = 3b$$
由于 V_m 是隐式量，用牛顿法以理想气体值 V_m_0 = RT/P 为初值进行迭代。R = 0.08206 L·atm/(mol·K)。
什么是范德瓦尔斯气体模拟器
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高中学的 PV=nRT，听说在实际气体上会偏差，能差多少？
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这个工具就是用来演示这一点的。默认值对应氮气：a=1.35, b=0.039, T=300 K, P=50 atm。计算给出 V_m ≈ 0.480 L/mol，Z = PV_m/(RT) ≈ 0.974。如果按理想气体 V_m = RT/P = 0.492 L/mol、Z 严格等于 1。可见在这个状态下实际氮气比理想模型大约多压缩了 3%。
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说明里说 Z<1 是吸引力占主导，物理上怎么理解？
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范德瓦尔斯方程中的 a/V_m² 项表示分子间的吸引，它使气体被"拉到一起"，比理想值所需的体积更小，所以 Z<1。在非常高压时，分子被挤到接近自身体积，b（排斥体积）开始起作用，反抗进一步压缩，Z 就升到 1 以上。把 P 拖到 200 atm，可以看到 Z 越过 1。
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右边显示临界温度 T_c ≈ 125 K，这个数字是什么意思？
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高于 T_c 时，无论多大压力都无法液化气体。氮气 T_c ≈ 126 K（约 −147°C），所以常温下无论施加多大压力，氮气始终是气体；要得到液氮必须冷却到 100 K 以下。CO₂ 的 T_c = 304 K，刚好高于室温，所以室温下 70 atm 就能液化，超市里的二氧化碳钢瓶就是这样工作的。
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把 T 调到 T_c 以下，左图变成有波浪的曲线，这是什么？
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把 T 调到 100 K 试试。van der Waals 曲线出现了"山和谷"，这是三次方程有三个实根的数学表现。物理上用 Maxwell 等面积法则把波浪用一条水平线（饱和蒸气压线）连起来，左侧是液体、右侧是气体，中间不稳定区不会被观测到。van der Waals 用两个参数 a, b 就能定性地描述气液转变，这是其历史性贡献。
常见问题
a, b 应该取什么值？
典型气体的 van der Waals 常数（单位：a 为 L²·atm/mol²，b 为 L/mol）：He a=0.034 b=0.024、H₂ a=0.247 b=0.027、N₂ a=1.36 b=0.0387、O₂ a=1.36 b=0.0319、CO₂ a=3.59 b=0.0427、H₂O a=5.46 b=0.0305、NH₃ a=4.17 b=0.0371。本工具默认值对应氮气。a 越大表示分子间吸引越强（更容易液化），b 越大表示分子物理尺寸越大。
气液共存区如何处理？
在 T < T_c 时 van der Waals 方程关于 V_m 有三个实根：最大根是气相、最小根是液相、中间根物理上不稳定。本工具用从理想气体值出发的牛顿法迭代，自然收敛到气相根，因此即使在两相共存压力下也给出气相摩尔体积。完整的 Maxwell 等面积法构造未在此显示。如需精确的相平衡计算，建议使用 Soave-Redlich-Kwong 或 Peng-Robinson 方程。
对应状态原理是什么？
引入约化变量 T_r = T/T_c, P_r = P/P_c, V_r = V_m/V_c，van der Waals 方程变为 (P_r + 3/V_r²)(V_r - 1/3) = 8T_r/3，其中不再含与物质有关的常数 a, b。这就是对应状态原理的理论基础：任何两种气体在相同 T_r, P_r 下的 Z 近乎相同。工程上常用的 Z(T_r, P_r) 压缩因子图正是基于此，用于估算未知物质的状态量。
van der Waals 方程的精度如何？
van der Waals 方程是第一个能定性正确描述实际气体行为的方程，包括临界点的存在、气液转变、Boyle 温度等。但其定量精度有限：方程预测的临界压缩因子 Z_c = PV/RT 恒为 3/8 = 0.375，而实际值为 0.27 ~ 0.29，临界点附近误差可达 10 ~ 30%。工程实用中采用 Redlich-Kwong (1949)、Soave-Redlich-Kwong (1972)、Peng-Robinson (1976) 等改进方程，其中 Peng-Robinson 是石油与天然气工业的标准。
实际工程应用
天然气管道设计： 天然气以 70 ~ 100 atm 的高压在管道中输送，已属于明显非理想区。若按 PV=nRT 估算输送能力，会高估体积流量 5 ~ 10%，对压缩机选型和管径设计是致命误差。因此工程中采用 van der Waals 或更精确的 Peng-Robinson 方程来计算 Z 并校正流量。在本工具中将 P 设为 100 atm，可观察到 Z 越过 1，说明实际气体比理想气体更"难压缩"。
液化天然气（LNG）厂设计： 将甲烷液化需要冷却到临界温度 T_c ≈ 191 K 以下并施加合适压力。各组分（甲烷、乙烷、丙烷）的 T_c, P_c 由 van der Waals 方程给出第一估计，结合混合规则确定液化循环（Joule-Thomson 膨胀、混合冷剂级联等）的操作范围。
超临界 CO₂ 萃取： CO₂ 的临界点（T_c=304 K, P_c=73 atm）非常接近常温常压，稍加热加压即可得到兼有气体扩散性和液体溶解力的超临界流体。咖啡豆脱咖啡因、啤酒花精油萃取、化学反应介质等已大规模工业应用，设计计算依赖 van der Waals 型状态方程。
低温工程（cryogenics）： 液氮 (77 K)、液氦 (4.2 K) 的制取、超导磁体冷却、火箭液氢储罐设计等低温场景需要准确的实际气体模型。低温下分子间吸引占主导，a 参数尤为关键；氦气 a 异常小，是其液化极其困难（1908 年才实现）的根本原因。
常见误区与注意事项
最常见的误区是将 van der Waals 方程视为严格的状态方程 。它是第一个能定性正确描述实际气体行为的方程，但定量精度有限：临界点附近误差可达 10 ~ 30%。工程实用中使用 Peng-Robinson 或 SRK 方程，需要更高精度时采用多项式拟合（如 GERG-2008）甚至量子化学计算。本工具应作为教学与概念理解的辅助工具使用。
另一个常见误区是认为 Z=1 就等同于理想气体 。Z=1 只是瞬时比 PV/RT 的值，但实际气体的内能 U(T,V) 和定容比热 C_v(T,V) 仍依赖于体积。Joule-Thomson 系数、绝热膨胀的温度变化、焓 H(T,P) 等热力学量在 Z=1 时也与理想气体不同。处理实际气体热力学时，必须从状态方程出发完整推导各偏微分关系。
还要注意参数 a, b 的温度依赖性常被忽略 。van der Waals 方程把 a, b 当作常数处理，但实际上 a 是温度的弱函数。Soave 引入温度修正函数 alpha(T) 改进了吸引项，得到 SRK 与 Peng-Robinson 方程。在宽温度范围扫描时，本工具的 a, b 应理解为"该温度区域的代表值"，而非高精度预测。