参数设置
气体常数 R = 0.08206 L·atm/(mol·K)。V_m 通过牛顿法求解 f(V_m) = (P + a/V_m²)(V_m - b) − RT = 0。默认值相当于 N₂ (a≈1.36, b≈0.0387)。
P-V_m 等温线
蓝线＝范德瓦尔斯等温线（温度 T）／灰线＝理想气体 PV=RT／橙线＝临界等温线 T=T_c／黄圆＝当前工作点 (V_m, P)
Z-P 压缩因子曲线
纵轴＝Z = PV_m/(RT)／横轴＝P (atm)／蓝线＝范德瓦尔斯／灰点线＝Z=1（理想气体）／黄圆＝当前 P 处的 Z
理论与主要公式
范德瓦尔斯状态方程在理想气体方程中加入分子间引力 (a/V_m²) 和排除体积 (b) 的补正，这是一个真实气体的实用模型：
$$\left(P + \frac{a}{V_m^2}\right)(V_m - b) = R\,T$$
压缩因子是表示偏离理想气体的无量纲数：
$$Z = \frac{P\,V_m}{R\,T}$$
从临界点条件（dP/dV_m = d²P/dV_m² = 0）可推导：
$$T_c = \frac{8a}{27\,R\,b}, \qquad P_c = \frac{a}{27\,b^2}, \qquad V_c = 3b$$
由于 V_m 是隐函数，用牛顿法进行数值求解。初值为理想气体值 V_m_0 = RT/P。R = 0.08206 L·atm/(mol·K)。
范德瓦尔斯状态方程 模拟器介绍
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高中学过的 PV=nRT，听说真实气体偏离挺大的，到底差多少啊？
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这个模拟器就是来演示这个的。默认是氮气相当的参数（a=1.35, b=0.039），T=300 K，P=50 atm。算出来 V_m ≈ 0.480 L/mol，Z = PV_m/(RT) ≈ 0.974。而理想气体的话 V_m = RT/P = 0.492 L/mol，Z=1。也就是说真实的 N₂ 在这个条件下『容易压缩』，偏离了理想气体大约 3%。
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范德瓦尔斯式里的 a/V_m² 项代表分子之间的吸引力，这个引力把气体『向内拉』，所以用更小的体积就能维持相同的压力。因此 Z<1。反过来，如果压力特别高，分子本身占据的体积（b 项代表）开始起主导作用，那么 Z>1，也就是气体『更难压缩』。把 P 拉到 200 atm，你就会看到 Z 超过 1。
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右边显示『临界温度 T_c ≈ 125 K』，这是干什么用的？
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临界温度就是『超过这个温度，再高的压力也液化不了气体』的温度。氮气是 126 K（−147°C）。所以常温下怎么压缩氮气都还是气体，要做出液氮得冷到 100 K 以下。但 CO₂ 的 T_c = 304 K，比室温只高一点点，所以室温下加 70 atm 左右的压力就能把它液化。这正是超市里液化石油气罐的原理。
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左边那个图，当我把温度降得很低，曲线就变得坑坑洼洼的。这是什么？
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把温度设到 100 K，范德瓦尔斯曲线就会出现『山和谷』。这在数学上是真实的，但物理上不太对。在气液共存的压力范围里，应该按 Maxwell 等面积法则『用一条水平线连接山顶和谷底』，左边是液体，右边是气体，中间是不稳定的。范德瓦尔斯学说的厉害地方就在于，仅用两个参数 a 和 b，就能定性地解释气液共存现象。
常见问题
代表气体的范德瓦尔斯常数（单位：a 是 L²·atm/mol²，b 是 L/mol）有：氦 He: a=0.034, b=0.024／氢 H₂: a=0.247, b=0.027／氮气 N₂: a=1.36, b=0.0387／氧气 O₂: a=1.36, b=0.0319／二氧化碳 CO₂: a=3.59, b=0.0427／水 H₂O: a=5.46, b=0.0305／氨 NH₃: a=4.17, b=0.0371。本工具默认设为氮气相当。a 越大说明引力越强（越容易液化），b 越大说明分子体积越大。
当 T < T_c 时，范德瓦尔斯方程对 V_m 有三个实根，最大根是气相，最小根是液相，中间根物理上不稳定。本工具用牛顿法只求气相的根（最大根），所以在气液共存压力范围内也只显示气相的摩尔体积。严格来说，气液平衡应该用 Maxwell 等面积法则，但本工具是教学用，主要面向超临界流体区域。实际的蒸气压计算应该用 Soave-Redlich-Kwong (SRK) 或 Peng-Robinson 方程。
把范德瓦尔斯方程用无量纲形式 T_r = T/T_c、P_r = P/P_c、V_r = V_m/V_c 来写，就得到 (P_r + 3/V_r²)(V_r - 1/3) = 8T_r/3，完全不依赖 a、b。这意味着『所有气体在相同的 T_r、P_r 下压缩因子 Z 基本一样』。这是工程上非常实用的原理，可以用它来预测未知物质的状态量。
范德瓦尔斯方程是第一个定性正确解释真实气体的模型，抓住了沸点、临界点、气液共存的本质。但定量上有局限，比如它预测临界点的 Z_c = PV/RT 总是 3/8 = 0.375，但真实气体一般是 0.27〜0.29，误差可以达到 10〜30%。实际工程设计用的是 Redlich-Kwong (1949)、Soave-Redlich-Kwong (1972) 或 Peng-Robinson (1976) 等改进方程，其中 Peng-Robinson 在石油、天然气业界是标准。
实际应用
天然气管道设计：用 PV=nRT 计算高压（70〜100 atm）天然气的体积会高估 5〜10%，这在管道容量和压缩机选型上是致命错误。工程师必须用范德瓦尔斯或更精确的 Peng-Robinson 方程来求 Z 因子。本工具设 P=100 atm 时，你会看到 Z>1，真实气体『比理想气体更难压缩』。
液化天然气（LNG）工厂：甲烷液化需要温度低于 T_c = 191 K，同时加适当压力。范德瓦尔斯方程给出各成分（甲烷、乙烷、丙烷等）的 T_c、P_c，结合混合规则就能设计液化流程（焦耳-汤姆逊膨胀、混合冷剂循环等）的效率。
超临界 CO₂ 萃取：CO₂ 临界点在 T_c=304 K、P_c=73 atm，非常接近室温常压，稍微加热加压就能进入『兼具气体扩散性和液体溶解性』的超临界流体状态。用于咖啡脱咖啡因、啤酒花萃取、化学反应媒介等，设计时离不开范德瓦尔斯型方程。
低温工程（极低温技术）：液氮（77 K）、液氦（4.2 K）制造，超导磁石冷却，火箭液氢储罐等，低温时分子引力强烈，范德瓦尔斯的 a 参数特别重要。氦的 a 极小，所以液化氦最困难。
常见误区与注意
最常见的误解是『把范德瓦尔斯方程当成严格的状态方程』。范德瓦尔斯方程是定性正确的第一代真实气体模型，但定量精度有限，特别是在临界点附近和气液共存区误差能达 10〜30%。实用设计得用 Peng-Robinson、SRK 等更精确的方程，或者直接查表数据。本工具是教学工具，目的是帮你理解概念。
另一个常见错误是『Z=1 就能当理想气体』。Z=1 只是说 PV/RT 这个比值正好等于 1，但内能 U(T,V)、热容 C_v(T,V) 等热力学量在真实气体里仍然依赖体积。焦耳-汤姆逊系数、绝热膨胀的温度变化、焓 H(T,P) 等都会和理想气体不同。处理真实气体的热力学必须从状态方程推导的偏微分关系出发，不能马虎。
还要注意范德瓦尔斯常数 a、b 本身的温度依存性。范德瓦尔斯方程把它们当常数，但实际上 a 随温度有弱的变化。更精确的 Soave-Redlich-Kwong 方程中，a(T) 里引入了温度补正项 α(T)。在很宽的温度范围工作时，必须用含温度补正的 SRK 或 Peng-Robinson 方程，而不是简单的范德瓦尔斯。