默认值：T=5800 K（太阳表面相当）、ε=1.0（黑体）、A=1.0 m²（单位面积）、R=10.0 m（点源观测距离）。E = P/(4πR²) 在 R 远大于辐射体尺寸时成立。
横轴 波长 λ (nm) [0–3000]，纵轴 光谱辐射亮度（相对值）。橙色曲线为普朗克定律，黄色标记为峰值 λ_max。淡色带为可见光带（380〜780 nm）。温度 T 升高时曲线向左（短波长）移动并升高。
横轴 温度 T (K) [100–10000]、纵轴 λ_max (nm)，双对数坐标。蓝色直线为维恩位移定律 λ_max=b/T（斜率 -1）。黄色标记为当前工作点 (T, λ_max)。
黑体辐射的峰值波长与总辐射能量分别由维恩位移定律和斯特藩-玻尔兹曼定律描述。
维恩位移定律：
$$\lambda_{\max}\,T = b,\quad b = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\cdot K}$$
斯特藩-玻尔兹曼定律（单位面积辐射出射度）：
$$q = \varepsilon\,\sigma\,T^{4},\quad \sigma = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K^{4})}$$
总辐射功率与点源近似下距离 R 的辐照度：
$$P = q\,A,\qquad E = \frac{P}{4\pi R^{2}}$$
$T$ 为绝对温度 [K]，$\varepsilon$ 为发射率（黑体为 1），$A$ 为辐射表面积 [m²]，$R$ 为观测距离 [m]，$b$ 为维恩位移常数，$\sigma$ 为斯特藩-玻尔兹曼常数。$\lambda_{\max}$ 是温度 $T$ 黑体光谱峰值对应的波长，温度越高越向短波长一侧移动。
维恩位移定律模拟器是什么
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默认 T=5800 K 时显示 λ_max=500 nm，这是指太阳吗？为什么仅凭温度就能确定峰值波长？
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观察很到位。维恩位移定律 λ_max·T = b（b=2.898×10⁻³ m·K）说明黑体光谱峰值对应的波长仅由温度决定。它由普朗克定律对波长求导并令其为零得到，与尺寸或材料无关（发射率 ε 只改变光谱整体高度，不改变峰值位置）。太阳表面 5800 K 下 λ_max≒500 nm（绿光），白炽灯 2800 K 下 λ_max≒1035 nm（近红外），人体 310 K 下 λ_max≒9.4 μm（中红外）。红外热像仪能看到人体，正是因为人体峰值波长恰好落在红外探测器的灵敏波段。
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右侧 log-log 图是漂亮的直线。斜率 -1 也是从这个公式推出的吗？
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是的。对 λ_max=b/T 两边取对数得 log(λ_max) = log(b) − log(T)，在 log-log 坐标下就是斜率为 -1 的直线。点击「T 扫描」让 T 从 100 到 10000 K 滑动，黄色标记会沿这条直线滑行。截距 log(b)=−2.54（λ 用 nm 时为 +6.46）也可读出，相当于用图解法验证维恩常数 b 的数值。实验中测量多个温度的黑体光谱并放到这张图上，就能反推 Wien 常数，是教科书式的标准做法。
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普朗克曲线下方的淡色带是什么？太阳的峰值正好落在那里。
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那就是可见光带（380〜780 nm）。太阳 5800 K 恰好把峰值放在其中央，这常被作为地球生命主要使用可见光的进化解释。把 T 降到 2000 K 时峰值完全跑到右侧（红外），可见光带几乎没有分量；把 T 升到 10000 K（蓝巨星级别）时峰值跑到紫外，可见光带只剩长波长尾巴。白炽灯偏黄而暗，正是因为温度低于太阳，峰值在红外，可见光分量稀少；LED 则直接用半导体能带激发狭窄可见波段，不受 Wien 分布约束，效率自然高得多。
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stat-card 显示「总辐射功率 P=64.2 MW」「距离 R=10 m 处辐照度 E=51.1 kW/m²」，1 m² 太阳表面在 10 m 外就是 kW 级，太惊人了。
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没错——斯特藩-玻尔兹曼 q=εσT⁴ 对温度是四次方依赖，5800 K 下 q=64.2 MW/m²，A=1 m² 的总辐射功率 P=64.2 MW，点源近似 E=P/(4πR²)=51.1 kW/m²。真实太阳是半径 6.96×10⁸ m 的巨大球面以这个 q 辐射，把 R 延伸到地球轨道 1.496×10¹¹ m，E≒1.4 kW/m²（太阳常数）就完美吻合。本工具基于点源近似（要求 R 远大于辐射体尺寸），但通过 ε 与 A 的组合可估算钨丝、LED 基板、太阳能电池模组、人体等多种辐射体性能，是 CAE 热分析边界条件设置的核心基础公式。
物理模型与主要公式
维恩位移定律由普朗克定律 $B_{\lambda}(\lambda,T) = (2hc^2/\lambda^5) / (\exp(hc/\lambda k_{B}T) - 1)$ 对波长求导并令其为零得到。
$$\lambda_{\max}\,T = b,\qquad b = \frac{hc}{k_{B}\,x_{W}} = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\cdot K}$$
其中 $x_{W}=4.965114\ldots$ 为超越方程 $x e^{x} - 5(e^{x}-1) = 0$ 的数值解，$h$ 为普朗克常数，$c$ 为光速，$k_{B}$ 为玻尔兹曼常数。同一普朗克分布对全波长积分得斯特藩-玻尔兹曼定律 $q = \int_{0}^{\infty} \pi B_{\lambda}\,d\lambda = \sigma T^{4}$，$\sigma = 2\pi^{5}k_{B}^{4}/(15h^{3}c^{2}) = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K^{4})}$。实物体近似为 $\varepsilon\le 1$ 的灰体，$q = \varepsilon\sigma T^{4}$。
表面积为 $A$ 的辐射体总辐射功率为 $P = q A$，点源近似下距离 $R$ 处观测点的辐照度（球面均匀分布）为 $E = P/(4\pi R^{2})$。点源近似要求 $R$ 远大于辐射体尺寸；近场需引入形态系数（view factor），两面间净交换为 $Q_{\mathrm{net}} = \varepsilon\sigma A F_{12}(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})$。
本工具以无量纲自相似形式 $u(x)=(1/x^{5})/(\exp(x_{W}/x)-1)$（$x=\lambda/\lambda_{\max}$）绘制黑体光谱，因此改变温度 $T$ 仅水平缩放曲线而不改变形状——这正是普朗克分布的「Wien-Planck similarity」性质。
实际应用
太阳光与太阳能电池波长设计： 太阳（T≒5800 K）峰值 λ_max≒500 nm，可见光带 380〜780 nm 集中约 43% 的辐射能量。本工具默认值得 q=64.2 MW/m²，A=1 m² 总辐射功率 P=64.2 MW；R 延伸到地球轨道 1.496×10¹¹ m 时 E=1.36 kW/m²（太阳常数）。此即硅太阳能电池（带隙 1.12 eV，长波截止 1100 nm）理论变换效率（Shockley-Queisser 极限 33%）的物理基础，并直接影响串联型与钙钛矿太阳能电池的波长分割设计。
白炽灯与 LED 照明发光效率： 白炽灯钨丝（T≒2800 K）λ_max≒1035 nm（近红外），可见光带仅占长波长尾部，光效仅 10〜15 lm/W。本工具中 T 从 2800→3300 K 升高时 λ_max 从 1035→878 nm 缩短，可见光分量增加，但 q 增大 1.94 倍，Arrhenius 法则下寿命急剧下降。LED 直接用半导体带隙激发狭窄波长，不受 Wien 分布约束，白光 LED 已超 100 lm/W。
红外热像仪与体温计： 人体（T≒310 K）λ_max≒9.4 μm（中红外），氧化钒 VOx 微测辐射热计或 InSb/HgCdTe 量子型探测器可在常温下成像。本工具中 T=310 K 时 λ_max 跑出 0〜3000 nm 图框右侧，说明探测器灵敏波段需匹配 8〜14 μm 大气窗口。应用涵盖发电厂管道劣化诊断、建筑保温缺陷检查、新冠非接触体温筛查等。
恒星分类与色温： 天文学家用恒星颜色反推表面温度。红巨星 Betelgeuse（T≒3500 K, λ_max≒828 nm）、太阳型 G2V（5800 K, 500 nm）、白矮星 Sirius B（25000 K, 116 nm）、蓝巨星 Rigel（11000 K, 263 nm）峰值跨越紫外至红外。本工具中 T 在 100〜10000 K 扫描可视化看出，能将峰值放入可见光带的温度窗口仅约 3700〜7600 K，凸显太阳的特殊性。HR 图（赫罗图）横轴为色温 T，纵轴为光度 σT⁴·4πR_★²，本工具同时计算两者。
常见误区与注意事项
最常见的误解是「波长峰值与频率峰值简单地由 c=λν 联系 」。波长分布 $B_{\lambda}$ 与频率分布 $B_{\nu}$ 通过雅可比 $|d\lambda|=|c/\nu^{2}|d\nu$ 转换，因此即使温度相同峰值位置也不同。波长形式 $\lambda_{\max}T=2898\ \mu\mathrm{m\cdot K}$（$x_{W}=4.965$），频率形式 $\nu_{\max}/T=58.79\ \mathrm{GHz/K}$（$x_{W}'=2.821$），对应波长 $c/\nu_{\max}=5.099\ \mathrm{mm\cdot K}/T$ 比波长峰值大 1.76 倍。阅读论文时务必确认是「波长形式还是频率形式」。本工具统一使用波长形式。
第二常见误区是「实物体不是黑体，所以维恩位移定律不适用 」。在发射率几乎不依赖波长的灰体近似（$\varepsilon(\lambda)\approx\mathrm{const}$）下，峰值位置仍由 b/T 决定（ε 只降低光谱整体高度）。仅对发射率有强波长依赖性的「选择性辐射体」（如腔体、光子晶体、二维材料），有效峰值才偏离黑体预测。本工具将 ε 视为常数，适用于灰体；选择性辐射体需将 $B_{\lambda}(\lambda,T)\,\varepsilon(\lambda)$ 显式积分。
最后一个误区是「点源近似 E=P/(4πR²) 在所有距离都成立 」。该公式仅在辐射体尺寸 √A 远小于 R 的远场成立，近场形态系数 F 远大于 1/(4πR²)。例如直径 D 球状辐射体表面（R=D/2）真实 F=0.5，是点源预测 1/(πD²) 的数倍。CAE 热分析使用面间净辐射交换 $Q_{\mathrm{net}}=\varepsilon\sigma A F_{12}(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})$，形态系数由几何积分或长方体、同轴圆筒、平行平板的闭式给出。本工具适用于「太阳-地球」类远场估算与辐射体表面 q、P 计算。
常见问题
什么是维恩位移定律？
维恩位移定律指出黑体光谱辐射亮度峰值对应的波长 λ_max 与绝对温度 T 之积为常数：λ_max·T = b，b = 2.898×10⁻³ m·K（维恩位移常数）。温度越高，峰值波长越短，向可见光与紫外区移动。本工具默认值 T=5800 K（太阳表面）下 λ_max=2.898e-3/5800≒5.0×10⁻⁷ m=500 nm（绿光区），直观说明了太阳光峰值落在可见光带的物理原因。
斯特藩-玻尔兹曼定律和维恩位移定律有什么区别？
斯特藩-玻尔兹曼定律 q = εσT⁴ 给出黑体（或发射率为 ε 的灰体）单位面积辐射的总能量通量，对温度的四次方有强依赖性；维恩位移定律 λ_max·T = b 给出同一光谱的峰值波长，决定光谱形状。两者都源自普朗克定律 B_λ(λ,T)：对波长积分得到 σT⁴；对波长求导并令其为零得到 b/T，互为相补关系。本工具同屏显示两者。
距离 R 处的辐照度 E 怎么计算？
总辐射功率 P = q·A = εσT⁴·A，假设各向同性点源，在半径 R 的球面上辐照度均匀分布，E = P/(4πR²)。本工具默认值 T=5800 K、ε=1.0、A=1.0 m²、R=10.0 m 下 q≒6.42×10⁷ W/m²、P≒64.2 MW、E≒51.1 kW/m²。延长 R 至地球轨道（1.496×10¹¹ m）可得 E≒1.4 kW/m²（太阳常数）。点源近似要求 R 远大于辐射体尺寸。
把峰值放在可见光带需要多高的温度？
可见光带约为 λ=380〜780 nm，由 T = b/λ_max 反算得 T=2.898e-3/780e-9≒3715 K（红端）至 T=2.898e-3/380e-9≒7626 K（紫端）。白炽灯钨丝温度（约 2800 K）下 λ_max≒1035 nm（近红外），落在可见外，发光效率低；太阳（5800 K）正好把峰值置于可见光中央。本工具中 T 在 100〜10000 K 扫描，可一目了然地看出 λ_max 与可见光带（380〜780 nm 阴影）的关系，可作为白光 LED、太阳能电池波长设计指南。