默认值对应太阳表面（T=5800 K、ε=1.0 黑体）面积 A=1.0 m² 的单位面，距离 R=10.0 m 的点源近似观测距离。当距离 R 远大于辐射体尺寸时，E = P/(4πR²) 的点源近似成立。
横轴 波长 λ (nm) [0–3000]，纵轴 光谱辐射亮度（相对值）。橙色曲线为普朗克定律，黄色标记为峰值 λ_max。淡色带为可见光波段（380~780 nm）。升高温度 T 时，曲线向左（短波长）移动并升高。
λ _max 关系（对数-对数）
横轴 温度 T (K) [100–10000]，纵轴 λ_max (nm)，对数-对数显示。蓝色直线为维恩位移定律 λ_max=b/T（斜率 -1）。黄色标记为当前工作点 (T, λ_max)。
黑体辐射的峰值波长和全辐射能量分别由维恩位移定律和斯特凡-玻尔兹曼定律描述。
维恩位移定律：
$$\lambda_{\max}\,T = b,\quad b = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\cdot K}$$
斯特凡-玻尔兹曼定律（单位面积辐射出射度）：
$$q = \varepsilon\,\sigma\,T^{4},\quad \sigma = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K^{4})}$$
全辐射功率和点源近似下距离 R 处的辐射照度：
$$P = q\,A,\qquad E = \frac{P}{4\pi R^{2}}$$
其中 $T$ 是绝对温度 [K]，$\varepsilon$ 是发射率（黑体时为 1），$A$ 是辐射表面积 [m²]，$R$ 是观测距离 [m]，$b$ 是维恩位移常数，$\sigma$ 是斯特凡-玻尔兹曼常数。$\lambda_{\max}$ 是温度 $T$ 的黑体光谱达到峰值的波长，温度越高，峰值波长越短。
维恩位移定律 模拟器简介
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默认值的 T=5800 K 显示 λ_max=500 nm，这是太阳吗？为什么只用温度就能确定峰值波长？
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你观察得很敏锐。维恩位移定律 λ_max·T = b（b=2.898×10⁻³ m·K）说的是黑体光谱的峰值波长仅由温度决定，与尺寸和材质无关（不过发射率 ε 会改变整个光谱的高度）。这是从普朗克定律对波长求偏导并令其为零推导出来的结果。太阳表面 5800 K 时 λ_max≒500 nm（绿色），白炽灯 2800 K 时 λ_max≒1035 nm（近红外），人体 310 K 时 λ_max≒9.4 μm（中红外）。红外热成像仪能看到人体，正是因为人体的 λ_max 恰好在红外波段。
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右边的对数-对数图是完美的直线，斜率是 -1 吗？从公式推出来的？
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完全正确。λ_max=b/T 两边取对数得 log(λ_max) = log(b) − log(T)，在对数-对数图上就是斜率为 -1 的直线。按"T 扫描"按钮让 T 从 100→10000 K 动起来，你会看到黄色标记在那条直线上完美地滑动。这条直线的截距可用来验证维恩常数 b 的数值，是测量温度和波长分布的标准方法。天文学中，通过测量恒星的光谱峰值波长就能反推其表面温度。
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普朗克曲线下面那个淡色带是什么？太阳的峰值正好在里面呢。
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那就是可见光波段（380~780 nm）。太阳 5800 K 的峰值恰好在这个范围内部，这不是巧合——地球生命进化出对可见光敏感的眼睛，正是因为太阳恰好在这个温度。把 T 调到 2000 K 就会看到峰值完全跑到右边（红外），可见光波段只有长波长的裾部有辐射，所以白炽灯又黄又暗。反之调到 10000 K（蓝色巨星），峰值冲到紫外，可见光也只是裾部。LED 的高效率正是因为它不受这个普朗克分布的限制，可以只发射想要的波长。
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统计信息显示"全辐射功率 P=64.2 MW"、"距离 R=10 m 处的辐射照度 E=51.1 kW/m²"。1 m² 的表面在 10 m 外照出 kW 级的强度……太惊人了！
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这就是温度 4 次方依赖的威力。斯特凡-玻尔兹曼定律 q=εσT⁴ 在 5800 K 时给出 q=64.2 MW/m²，1 m² 的全辐射功率就是 64.2 MW，用 E=P/(4πR²) 在 10 m 处得到照度 51.1 kW/m²。实际太阳表面确实按这个公式放出 64.2 MW/m²，经过 1.496×10¹¹ m 的地球轨道距离衰减到 1.4 kW/m²（太阳常数），这正好解释了为什么太阳能电池能发电。本工具虽然用点源近似，但通过调节 ε 和 A，可以模拟白炽灯丝、LED 基板、太阳电池模块、甚至人体的热辐射性能，是热工程设计的基础工具。
物理模型与主要公式
维恩位移定律来自普朗克定律 $B_{\lambda}(\lambda,T) = (2hc^2/\lambda^5) / (\exp(hc/\lambda k_{B}T) - 1)$ 对波长的偏导数。令 $\partial B_{\lambda}/\partial\lambda = 0$ 可得：
$$\lambda_{\max}\,T = b,\qquad b = \frac{hc}{k_{B}\,x_{W}} = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\cdot K}$$
其中 $x_{W}=4.965114\ldots$ 是超越方程 $x e^{x} - 5(e^{x}-1) = 0$ 的数值解；$h$ 是普朗克常数，$c$ 是光速，$k_{B}$ 是玻尔兹曼常数。同样的普朗克分布对所有波长积分得到单位面积辐射出射度（斯特凡-玻尔兹曼定律）：$q = \int_{0}^{\infty} \pi B_{\lambda}\,d\lambda = \sigma T^{4}$，其中 $\sigma = 2\pi^{5}k_{B}^{4}/(15h^{3}c^{2}) = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K^{4})}$。实际物体用发射率 ε≤1 的灰体近似，则 $q = \varepsilon\sigma T^{4}$。
表面积为 $A$ 的放射体的全辐射功率为 $P = q A$；在点源近似下，距离 $R$ 处的辐射照度为等向放射的球面分布 $E = P/(4\pi R^{2})$。点源近似在 $R$ 远大于放射体尺寸时成立；近距离需要用视角系数（view factor）的二面间正净交换式 $Q_{\mathrm{net}} = \varepsilon\sigma A F_{12}(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})$。
本工具用 $u(x)=(1/x^{5})/(\exp(x_{W}/x)-1)$（$x=\lambda/\lambda_{\max}$）的自相似形绘制黑体光谱，这是普朗克分布的重要性质"Wien-Planck 自相似性"：改变 $T$ 时曲线只是水平缩放，形状保持不变。
实际应用领域
太阳光与太阳能电池的波长设计： 太阳（T≒5800 K）峰值在 λ_max≒500 nm，可见光波段 380~780 nm 集中了辐射能的约 43%。本工具用默认参数计算得 q=64.2 MW/m²、全辐射功率 P=64.2 MW、地球轨道距离 R=1.496×10¹¹ m 时的照度 E=1.36 kW/m²（太阳常数），直观解释了硅太阳电池（带隙 1.12 eV、长波长截止 1100 nm）的 Shockley-Queisser 理论极限效率（33%）的物理基础。串联型和钙钛矿型太阳电池的波长分割设计正源于这个普朗克分布。
白炽灯与 LED 照明的发光效率： 白炽灯钨丝（T≒2800 K）的 λ_max≒1035 nm（近红外），可见光波段只占长波长的裾部，发光效率仅 10~15 lm/W。本工具将 T 升至 3300 K 时，λ_max 变为 878 nm，可见成分增加，但温度上升让 q 膨胀 1.94 倍，寿命按 Arrhenius 定律大幅缩短。相反 LED 由半导体带隙直接激发出窄的波长，不受维恩分布限制，白色 LED 可达 100 lm/W 以上。
红外热成像与体温计： 人体（T≒310 K）的 λ_max≒9.4 μm（中红外），用氧化钒 VOx 测辐射计或量子型 InSb/HgCdTe 检测器可在常温拍摄热图像。本工具设置 T=310 K 时 λ_max 飞出图表右边（图表范围 0~3000 nm），说明需要专用的 8~14 μm 大气窗口光学系统。从发电站管道、建筑保温诊断到疫情检温都用到这一原理。
恒星分类与色温： 天文学用恒星光谱的颜色反推其表面温度。红色巨星 Betelgeuse（T≒3500 K、λ_max≒828 nm）、太阳型 G2V（5800 K、500 nm）、白矮星 Sirius B（25000 K、116 nm）、蓝色巨星 Rigel（11000 K、263 nm）的 λ_max 分布从红外到紫外。用本工具扫描 T=100~10000 K 可看到，峰值落在可见光范围（约 3700~7600 K）的温度其实很窄，太阳的特殊性一目了然。赫罗图的横轴是色温 T，纵轴是光度 σT⁴·4πR_★²，本工具同时计算两个定律，可直接用于恒星物理。
常见误解与注意事项
最常见的误解是"波长分布的峰值和频率分布的峰值通过 c=λν 简单对应" 。实际上波长分布 B_λ 和频率分布 B_ν 因为变量变换的雅可比行列式 |dλ|=|c/ν²|dν 而峰值位置不同。波长分布的峰在 λ_max T=2898 μm·K（对应 x_W=4.965），频率分布的峰在 ν_max/T=58.79 GHz/K（对应 x_W'=2.821），换算到波长是 c/ν_max=5.099 mm·K/T，竟是波长峰的 1.76 倍。读论文时必须区分"波长表示还是频率表示"。本工具统一采用波长表示。
其次常见的误解是"实物体不是黑体，所以维恩位移定律不适用" 。灰体近似（发射率 ε 波长基本无关）下，峰值波长仍是 b/T（ε 只改变整体高度）。但"选择性放射体"（如空腔型、光子晶体、二维材料）发射率有强烈的波长依赖性 ε(λ)，实际峰值会偏离黑体预测，需要对 B_λ(λ,T)·ε(λ) 积分。本工具用常数 ε，适用于灰体；选择性放射体需要数值积分。
最后是"点源近似 E=P/(4πR²) 对所有距离都成立" 的误解。本式只在远场成立（R 远大于放射体尺寸），近距离时视角系数 F 远大于 1/(4πR²)。例如直径 D 的球体表面（R=D/2）的真实 F=0.5，点源式预测的值（≈1/(4πD²/4)=1/(πD²)）要大得多。CAE 热分析应该用多面间正净交换 $Q_{\mathrm{net}}=\varepsilon\sigma A F_{12}(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})$，视角系数通过几何积分或闭形式（长方体、同轴圆筒、平行平板）求得。本工具适合"太阳-地球"这样的远场估算和放射体表面的 q、P 计算。
常见问题
什么是维恩位移定律？
维恩位移定律是黑体的光谱辐射亮度达到峰值的波长 λ_max 与绝对温度 T 的乘积为常数的规律，表示为 λ_max·T = b，其中 b = 2.898×10⁻³ m·K（维恩位移常数）。温度越高，峰值波长越短，向可见光~紫外波段移动。在本工具中输入默认值 T=5800 K（太阳表面相当）会得到 λ_max=2.898e-3/5800≒5.0×10⁻⁷ m=500 nm（绿色附近），直观确认了太阳光在可见光波段有峰值的原因。
斯特凡-玻尔兹曼定律与维恩位移定律有什么区别？
斯特凡-玻尔兹曼定律 q = εσT⁴ 给出黑体（或发射率 ε 的灰体）单位面积放出的全辐射能量通量，与温度的 4 次方强烈相关。而维恩位移定律 λ_max·T = b 给出同一光谱的"峰值波长"，决定了波长分布的形状。两者都来自普朗克定律 B_λ(λ,T)，将其对所有波长积分得到 σT⁴，对波长求偏导并令其为零得到 b/T，是相辅相成的关系。本工具在同一屏幕上同时显示这两个规律。
距离 R 处的辐射照度 E 如何计算？
将全辐射功率 P = q·A = εσT⁴·A 视为等向放射的点源，则距离 R 处半径为 R 的球面上照度均匀分布，表示为 E = P/(4πR²)。在本工具中输入默认值 T=5800 K、ε=1.0、A=1.0 m²、R=10.0 m，会得到 q≒6.42×10⁷ W/m²、P≒64.2 MW、E≒51.1 kW/m²。实际太阳（半径 6.96×10⁸ m）的表面上 q=64.2 MW/m²，将距离延伸到地球轨道（R=1.496×10¹¹ m）时得到 E≒1.4 kW/m²（太阳常数），这就是对应的计算思路。点源近似在 R 远大于辐射体尺寸时成立。
如何让峰值处于可见光波段？
可见光波段约为 λ=380~780 nm，从维恩位移定律 T = b/λ_max 得到温度范围为 T=2.898e-3/780e-9≒3715 K（红端）~ T=2.898e-3/380e-9≒7626 K（紫端）。白炽灯丝温度（约 2800 K）时 λ_max≒1035 nm（近红外），峰值在可见光范围外，发光效率低。太阳（5800 K）恰好峰值在可见光中央，温度绝妙。在本工具中让 T 在 100~10000 K 范围扫过时，可清楚看到 λ_max 与可见光波段（380~780 nm 的阴影）的关系，可作为白色 LED 和太阳能电池波长设计的参考。