参数设置
隔离有效的条件是频率比 r=ω/ω_n 超过 √2≈1.414，且 TR<1。
振动隔离实时动画
下=受激振的基础（输入波）/ 上=隔离支座上的机械（传递波）/ 右=TR-r曲线与当前工作点（红色）。共振 r=1（红色虚线），隔离边界 r=√2（绿线）。
TR-r曲线图（按阻尼比分组）
横轴=频率比 r（对数）/ 纵轴=传递率 TR（对数）/ 绿色区域=隔离有效域（r>√2 且 TR<1）/ 红圆=当前点
理论和主要公式
基础的正弦振动通过弹簧和阻尼器传递到设备的比例称为"位移传递率 TR"。该值由单自由度粘性阻尼系统的频率响应推导。
自然角速度 ω_n 和自然振动数 f_n。k为弹簧常数，m为质量：
$$\omega_n = \sqrt{k/m},\qquad f_n = \frac{\omega_n}{2\pi}$$
频率比 r 和阻尼比 ζ。c为粘性阻尼系数：
$$r = \frac{\omega}{\omega_n},\qquad \zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}$$
位移传递率 TR 和隔离率 IE：
$$TR = \sqrt{\frac{1+(2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}},\qquad IE = 1 - TR$$
r=1时为共振点，TR最大。隔离效果仅在 r>√2≈1.414 时出现，此前 TR≥1，不是隔离而是放大。
振动隔离器模拟器是什么
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振动隔离就是在机器底下放橡胶垫的东西吧？真的能停止振动吗？
🎓
粗略来说就是这样。不过实际上它不是"消除振动"，而是"降低传递的比例"。基础的震幅与机器接收的震幅之比称为"传递率TR"。例如TR=0.13意味着只有13%被传递，即87%被隔离。用模拟器试试初始值（m=100kg, k=100000N/m），应该能看到TR大约13%的效果。
🙋
明白了。但是"频率比 r"的滑块…不对，拖动ω时红点在曲线上左右移动。中间（r=1）的红色竖线是什么意思？
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那是共振点。强制频率ω与机械系的自然振动数ω_n一致时，振动会被最大放大。公式 $TR=\sqrt{(1+(2\zeta r)^2)/((1-r^2)^2+(2\zeta r)^2)}$ 的分母 $(1-r^2)^2$ 在r=1时为零，所以r=1时发生共振。如果减衰为零，TR会趋向无穷。试试把ζ接近0、r设为1，TR应该会变成很大的数字。
🙋
真的！那减衰比越大越好吗？我把ζ改成1.0，山形变平缓了。
🎓
这是个陷阱。增大ζ时，曲线右侧，即隔离区域（r>√2）的TR会上升，隔离效果反而变差。你看各ζ的曲线在r=√2附近交于一点，之后会交叉分离。实际机器在启动停止时必须经过共振点，所以需要共振抑制。但常用频域也需要隔离效果，因此通常选择ζ=0.05～0.15这样的"适度减衰"来平衡两者。
🙋
绿色的竖线r=√2≈1.414是"隔离边界"，超过这条线才算隔离是吧？
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完全正确，这是振动隔离的铁律。r<√2时TR≥1，不是隔离而是放大。实务中的经验法则是"把强制频率的0.5倍以下设为自然振动数（即r≥2）"。例如50Hz马达，则ω_n=2π·25 rad/s以下，即f_n≤25Hz。办法是选择较软的弹簧降低f_n。这是基本设计思路。
常见问题
防振橡胶体积小、成本低、阻尼比为0.05～0.10，适合空调和小型机械广泛使用。金属线圈弹簧阻尼几乎为零、低频效果好，但共振时摇晃幅度大，必须配合阻尼器使用。气动悬架可将固有振动数降低到1Hz左右，用于精密设备和大型车辆。基本原则是选择能将固有振动数设置在加振频率√2倍以下的方式。
不是。在共振点（r=1附近）增大阻尼比能抑制峰值，但在隔离区域（r>√2）增大阻尼比会导致传递率TR升高，隔离效果恶化。用模拟器拖动ζ滑块可以看到曲线相交。实际应用中，由于起动停止时必须通过共振点，通常将ζ设置在0.05～0.15范围内来平衡共振抑制和高频隔离。
当强制频率（运行转速或激励源频率）接近机械系的固有振动数时，共振会放大振动，导致设备损伤、噪声和周边影响严重。在设备规划阶段计算ω_n=√(k/m)，确保其不超过运行频率的0.7倍，通过调整支架刚度k满足"ω/ω_n>√2"的隔离条件，这是第一步。
基本原理相同：通过将建筑物的固有周期延长至地震动的主要周期之外（即降低ω_n）来降低传递率。免震建筑通过积层橡胶或滑动支承降低刚性，将固有周期延长至3～5秒。但若阻尼过小，隔离层会产生大位移，因此需要油阻尼器或铅阻尼器提供适当阻尼。设计思想与机械振动隔离基本相同。
实际应用
空调机和冷冻机的机械基础：屋顶安装的空调机和冷冻机的压缩机旋转会产生振动，如果传到楼下会影响居住舒适度。针对运行转速（如1500rpm=25Hz）选用防振橡胶或防振弹簧，把固有振动数降到5～10Hz，使其在隔离域r=2.5～5运行。用模拟器试试f_n=5Hz、ω=25Hz×2π，会得到隔离率90%以上的效果。
精密设备的隔振台：电子显微镜、半导体曝光机、光学平台等对传来的微米级地面振动也很敏感。气动悬架隔振台将固有振动数降至1～3Hz，可隔离5Hz以上的地面振动90%以上。高级产品还通过主动控制反向力补偿，实现低频区隔离。
汽车悬架系统：路面凹凸（5～20Hz）通过将车身固有振动数设为1～1.5Hz来隔离。这就是"乘坐舒适度"的本质，由弹簧常数、质量和阻尼器的微妙平衡决定。运动型车提高固有振动数优先路面追随性，豪华车降低固有振动数优先乘坐舒适。这是权衡的典型例子。
建筑物隔震和制振：隔震建筑通过积层橡胶将固有周期延至3～5秒，远离地震动的优势周期（0.5～2秒），降低传递率。制振阻尼器（油阻尼器、粘弹性阻尼器等）提供减衰，抑制共振时的大位移。把整栋建筑看作单自由度系统的做法与机械振动隔离本质相同。
常见误解和注意事项
最常见的误解是认为"越软的弹簧隔离效果越好"。虽然降低固有振动数能增大频率比r、改善隔离，但弹簧太软会导致静挠度过大、装置倾斜，甚至启动时大幅晃动。实务中选择弹簧常数时要在"隔离性能"和"装置稳定性"之间权衡，静挠度通常控制在10～50mm。试试用模拟器把k改成100，会得到f_n=0.16Hz这样不现实的值。
次常见的误解是认为只需"避开共振点r=1"就行。但实际机器启动停止时必然经过共振点。例如60Hz马达，启动的0到数秒内必然经过0～60Hz，其中必须通过r=1。此时若减衰太小，峰值振幅会极端放大，导致设备损伤。模拟器试试ζ=0加r=1，TR会发散。需要综合考虑过渡响应。
最后要注意，本模拟器处理的是"位移传递率"，"力传递率"在单自由度系也使用同样公式。基础位移幅度向机器的传递比、机器上的强制力向基础的传递比，两者在单自由度系统中都遵从公式 TR=√((1+(2ζr)²)/((1-r²)²+(2ζr)²))。但加速度传递率或两自由度系统（Zaiser型动力阻尼器）的公式不同。对复杂系统需要用有限元分析（FEA）综合多个模态。