参数设置
「扫描」将运行转速自动在300～6000 RPM范围内变化，可以确认通过临界转速时的瞬间。
坎贝尔图（自然振动数 vs 旋转速度）
青色=模式1（FW实线·BW虚线）/橙色=模式2/白=发动机阶次线（1×实线·2×虚线·3×点线）/红圆=临界转速/黄竖线=运行转速
临界转速图（条形图）
各条=临界转速的RPM值/黄色水平线=运行转速/红色高亮条=与运行转速最接近的临界转速
理论·主要公式
当转子旋转时，陀螺效应使自然振动模式分裂为前进涡流（FW）和后退涡流（BW）。设旋转速度为 $\Omega$ [rev/s]、静止时的自然振动数为 $f_n$ [Hz]、陀螺耦合系数为 $g$，则：
前进涡流周频（与旋转同向）：
$$f_\text{FW}(\Omega) = f_n + g\,\Omega$$
后退涡流周频（与旋转反向）：
$$f_\text{BW}(\Omega) = f_n - g\,\Omega$$
k 阶发动机阶次励振线：
$$f_\text{exc} = k\,\Omega$$
k× 励振与 m 模式的 FW 交点处的临界转速：
$$\Omega_\text{crit} = \frac{f_{n,m}}{k - g} \quad,\quad N_\text{crit}\,[\text{RPM}] = 60\,\Omega_\text{crit}$$
当运行速度接近某个临界转速时，即使很小的不平衡也会产生大的振动。实务中运行转速与最近的临界转速之间应保持15～20%以上的分离余裕。
坎贝尔图模拟器是什么
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我在涡轮机和压缩机的设计资料中经常看到"坎贝尔图"，但不太明白这个图到底是用来看什么的？
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简单地说，就是一个"在哪个旋转速度会发生共振"的图。横轴是旋转速度（RPM），纵轴是转子的自然振动数（Hz）。与旋转速度成正比的励振线（1×、2×、3×…）与自然振动数曲线的交点就是临界转速。上面的模拟器中黄色竖线是"运行转速"，红圆是"临界转速"。
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等等，自然振动数不是一个固定值吗？为什么曲线会弯曲？
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这正是转子动力学的有趣之处。旋转体会受到"陀螺效应"的影响。转子旋转时，振动模式会分裂成"前进涡流（FW）"和"后退涡流（BW）"。FW是指与转子同向摆动，陀螺效应使其自然振动数随转速升高而上升；BW是指反向摆动，其自然振动数反而下降。试试把模拟器中的"陀螺耦合系数 g"改成0.3，你会看到青色和橙色的线明显分开。
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明白了！白色的1×、2×、3×线是斜线，这是什么励振呢？
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这是与旋转同步的励振周频。1× 是转子的不平衡或错位，2× 是联轴器或轴的偏心，3× 以上是齿轮啮合或叶轮叶片通过等。用公式表示就是 $f = k\,\Omega$，所以k阶励振线的斜率就是k。模拟器中1×是实线，2×是虚线，3×是点线。
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运行转速1500 RPM时，最接近的临界转速显示为1548 RPM（3x M2 BW），余裕只有3.2%。这样安全吗？
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这已经是需要重新设计的区间。API 612和684等回转机械标准要求15～20%以上的分离余裕，所以3.2%不足。可以通过改变轴径或支撑轴承的刚度来改变自然振动数，或者增加阻尼来抑制共振峰。试试把模拟器中的 f_n2 改成90 Hz，你会看到最接近的临界转速发生变化。
常见问题
为了便于教学，采用了简化模型，代表转子的两个代表性低阶模式（通常是第1阶弯曲模和第2阶弯曲模，或平移和倾斜模式）。实际机械中会有数十个模式密集分布，但运行范围内通常只有前2～3个模式会产生影响。因此，2模式×3次励振的组合足以理解临界转速图的本质。f_n1·f_n2 作为静止时（Ω=0）的固有振动数输入。
这是一个无量纲系数，取决于转盘的极惯性矩与横向惯性矩的比、轴承配置、转子长径比等因素。对于长轴发电机转子约0.05～0.10，而对于飞轮或涡轮转盘这样的厚实旋转体约0.15～0.25。本工具的范围设为0.00～0.30，当设为0时退化为经典的"振动数不随转速变化"的模型。
同步励振（1×）与转子同向旋转，不会直接励振BW。但是密封内部的流体力、摩擦、内部阻尼等非同步励振以及地震等外界扰动可能会励振BW。因此设计上不能完全忽视。本工具以虚线显示BW，励振线与BW的交点不标记红圆。FW × k× 的交点（红圆）是实务上最重要的临界转速。
这表示运行转速正好在共振点，即使很小的不平衡也会导致振动幅度急剧增加。转子动力学教科书中称为"临界转速通过"，启动和停止时虽然可以迅速通过，阻尼可以抑制幅度，但在运行点停留是禁忌。本模拟器的条形图中，运行转速的黄线与某条的顶端重合的状态就是这种情况。实务上需要移动运行转速使分离余裕达到15～20%以上，或通过调整刚度和质量来将临界转速移出运行带。
实际应用
蒸汽和燃气涡轮的设计：火电、核电、地热发电厂的蒸汽涡轮以及航空发动机、工业燃气涡轮通常在3000～3600 RPM（航空发动机可达数万RPM）运行。设计初期就要绘制坎贝尔图，确保运行带与最接近的临界转速有15%以上的分离余裕（API 612标准）。还要添加叶片通过频率（NPF）作为励振线，评估叶片振动的干涉。
涡轮机械（压缩机、泵）：离心压缩机、轴流压缩机、大型锅炉给水泵等由于多级叶轮与长轴的组合，自然振动数会密集分布。运行转速会通过多个临界转速，因此需要根据坎贝尔图规划启停顺序，使机械快速通过各临界转速。挤压膜阻尼器或磁气浮轴承等可增加阻尼的设计也是基于这个图。
汽车发动机和传动系统：曲轴和传动轴的扭振也用同样的方法分析。纵轴是扭摆自然振动数，4缸发动机的主励振是2×（点火次序），V8是4×。扭振阻尼器（飞轮内的橡胶或双质量飞轮）用来在临界转速区抑制振幅。
风力涡轮机和机械状态监测：大型风机的转子和机舱会涉及多个模式（叶片展向、拍动、扭转、塔筒弯曲等）的干涉。由于运行转速可变，坎贝尔图用来识别"常时共振带"，通过变速控制避免在危险转速长时间停留。状态监测（CMS）的振动数据也可叠加在坎贝尔图上，及早发现新的励振源或自然振动数移位。
常见误解和注意事项
最常见的误解是认为"临界转速只有一个"。教科书中的Jeffcott转子例题之所以只有一个共振点，是因为只考虑了一个模式×一阶励振。而实际机械有多个模式，励振也不限于1×，还有2×、3×和叶片通过频率等，所以运行带上下必然会出现多个临界转速。本模拟器显示的6个红圆（2模式×3阶）就是在重现这个现象。正确的做法是检查运行带附近的所有临界转速，不能只看"最接近的那一个"。
其次常见的是设计时忽视陀螺效应。当 g=0 时，自然振动数成为与转速无关的水平线，临界转速简化为 $N_\text{crit}=60 f_n / k$。但实际转盘和叶轮都有陀螺效应，正确的公式是 $N_\text{crit}=60 f_n/(k-g)$。例如 f_n=80 Hz、k=1、g=0.1 时，忽视陀螺效应得4800 RPM，实际是5333 RPM，差了533 RPM。这是设计预测与实机测量不符的典型原因。设计时必须包含陀螺效应进行解析。
最后要注意的是不要过度简化为"只要远离运行转速就安全"。坎贝尔图基于线性和粘性阻尼模型，而实际机械中密封力、流体力、内摩擦等非线性和非保守力可能会励振后退涡流或次模式。本模拟器所示的临界转速是"同步励振对前进涡流的励振条件"，仅凭这一点无法判断整体安全。详细设计必须进行完整的固有值解析（复模式解析、稳定性解析）。本模拟器是概念学习和初期检讨的辅助工具，请在此基础上进行更深入的分析。