悬臂梁的弯曲（集中荷载）

悬臂梁的弯曲是 FEA 验证中广泛使用的基准问题。先端挠度 $\delta = PL^3/(3EI)$、固定端最大应力 $\sigma_{max} = PLc/I$ 的严格解存在，可定量检验数值方法实现精度。NAFEMS 入门基准集中也收录了此问题。

完全同意。ASME V&V 10-2006 将 Code Verification 定位为确认解析代码数学正确性的阶段。用严格解问题演示数值解的一致性是第一步。悬臂梁作为入口最理想，在 Euler-Bernoulli 梁理论假设成立范围内，用 1 维梁单元能达到严格一致。

基于 Euler-Bernoulli 梁理论的挠度曲线如下：

弯矩在固定端最大 $M_{max} = PL$，所以最大弯曲应力在固定端的最外层纤维处。

Timoshenko 梁考虑剪切变形。剪切变形导致的挠度增量为 $\delta_s = \kappa PL/(GA)$。$\kappa$ 是剪切修正系数（矩形截面为 $5/6$）。当跨度/截面高度比 $L/h$ 大于 10 时，剪切变形贡献小于 1%，Euler-Bernoulli 理论足够。当 $L/h < 5$ 的深梁时需要 Timoshenko 或 3D 实体单元。

标准设置为 $L = 1$ m、$b = 0.1$ m、$h = 0.05$ m、$P = 1000$ N、$E = 200$ GPa、$\nu = 0.3$。此时理论值为 $\delta_{tip} = 0.160$ mm、$\sigma_{max} = 240$ MPa。

HEX8 用完全积分会产生剪切锁定，梁表现得比实际更硬。在弯曲支配问题中，低阶六面体本质上不利，收敛慢。除非用降阶积分或 B-bar 法，否则精度差。二阶单元的中间节点能准确表达弯曲变形，粗网格就有高精度。

有。FEM 误差估计定理（从 Céa 定理推导）表明，$p$ 阶单元的能量范数误差按 $O(h^p)$ 减小。即线性单元网格尺寸减半则误差约减半，二阶单元约为 1/4。这个理论收敛率能否在实际网格细分中再现，正是 Code Verification 的本质。

典型是应力奇点。悬臂梁固定端本身不是应力奇点，但拘束实现不当会产生局部应力集中，降低收敛率。对策是意识到 Saint-Venant 原理，在离拘束端充分远的位置评估，或用分布拘束。

看目的。梁单元直接离散 Euler-Bernoulli 理论，用最少自由度达到严格解。验证目的用壳或实体时，基础是 Galerkin 法的弱形式离散。

对。悬臂梁规模用直接法（Cholesky 分解）没问题。DOF 达数万时，前处理共轭梯度法内存效率更好。这题的本质不在求解器，而在单元定式化和网格精度确认，应把重点放那儿。

Nastran 用 CBEAM 单元，$w_{tip}$ 精确一致。Abaqus 用 B31（Timoshenko 梁）相同。实体验证时，Abaqus 的 C3D20R（二阶六面体、降阶积分）最常用。Nastran 用 CHEXA（20 节点）。

影响巨大。HEX8 完全积分（2×2×2 Gauss 点）在弯曲问题会锁定。降阶积分（1×1×1）消除锁定但有零能量模式（沙漏模式）风险。B-bar 法或 EAS（Enhanced Assumed Strain）法既避免锁定又抑制沙漏。Abaqus 的 C3D8I（非相容模式）对此问题有效。

用 3 级以上网格计算，Richardson 外推估计渐近解。设网格比 $r$，两个解 $f_h$ 和 $f_{rh}$，则

Grid Convergence Index 是 Roache 提出的指标，ASME V&V 20 也采用。

这是 Solution Verification 的一部分。单一求解器结果可能隐藏实现缺陷。用同一网格（UNV 或 MED 格式共享）跑 Nastran、Abaqus、CalculiX，检验全都收敛到理论解。一个偏离则该求解器的单元定式或边界条件有问题。

节点编号顺序在求解器间不同。Abaqus 逆时针、Nastran 顺时针等。转换时法向反转会导致荷载反向的事故。用 Gmsh 切换输出格式最安全。还要查单元类型对应（如 Abaqus C3D20 和 Nastran CHEXA-20 节点序列不同）。

按 ASME V&V 10 框架进行。

用结构网格。六面体映射网格保证单元大小均匀，满足 Richardson 外推的前提（均一网格比）。自动四面体网格单元尺寸局部波动，Richardson 计算不稳定。

会。梁单元全自由度拘束没问题，但实体单元实现方式影响结果。

无绝对对错，但对比理论解时"在离固定端充分远处评估"是正攻法。Saint-Venant 原理表明，离固定端 $2\sim 3$ 倍梁高后拘束方法影响消失。评估位置明确标注很重要。

必查项如下。

反力不符说明边界条件或荷载设置根本有误。几秒内查出致命缺陷，优先做。新手常在 Nastran 中 FORCE 卡坐标系搞反，荷向反向。反力检查立刻暴露。

按 NAFEMS QSS（品质体系补编）标准，报告应含：

航空航天、核电规制响应中是必须的。通用产业也该存档，5 年后重现同结果是 V&V 核心。Git 仓库加哈希链接也可。

用 SOL 101（线性静解析）。CBEAM 单元用 PBEAM 定义截面，SPC1 拘束固定端，FORCE 施加先端荷载。结果挠度在 DISPLACEMENT，应力在 STRESS，.f06 输出。

用 CHEXA（20 节点），荷载用 RBE3 分配。先端面全节点作 RBE3 从属节点，独立节点受力。RBE2 会让端面刚体化，影响局部应力。PSOLID 卡控积分点，默认 2×2×2（完全积分）推荐。

STEP, NAME=STATIC, PERTURBATION 用线性摄动步。B31 用 BEAM SECTION 定义截面，C3D20R 用 SOLID SECTION 定义材料。固定端 BOUNDARY 用 ENCASTRE（全自由度拘束），荷载 *CLOAD 施加节点力。

怀疑应力输出位置。Nastran 默认输出单元中心应力，Abaqus 输出积分点值，外推算法不同。准确对比须同坐标点提取应力。路径上应力图易看出差异。

Workbench Static Structural 模块是常规，但验证目的用 APDL 直接控制更透明。BEAM188（Timoshenko 梁）或 SOLID186（二阶六面体）。APDL 的 ET,1,SOLID186 指定单元，KEYOPT(1,2) 控积分。

对。Workbench 简便但默认设置不透明。V&V 要全设置明确，插入 APDL Command Snippet 明确指定单元选项，或从头用 APDL 较稳妥。

CalculiX Abaqus 兼容格式，.inp 文件基本相同。C3D20 单元，BOUNDARY 固定拘束，CLOAD 施加荷载。

接触、大变形会出定式差异，线性静解析悬臂梁基本一致。但 CalculiX C3D20 与 Abaqus C3D20 节点序列微妙不同，Gmsh 出 -format inp 直接生 CalculiX 格式更安全。

同一网格（HEX20，20×4×2）对比结果：

Method of Manufactured Solutions（MMS）。悬臂梁严格解只对特定荷载、边界条件有效，MMS 仿造任意解，从中反算外力项作体积力施加，这样可网罗式验证复杂解析代码离散化正确性。

例如设 $u(x,y) = A\sin(\pi x/L)\cos(\pi y/h)$，代入弹性体平衡方程得源项，作体积力施加。制造解与数值解差异评估，暴露梁理论检不出的实体单元定式缺陷（如 Jacobian 计算误差）。

分阶段复杂化：

大挠度：荷载-位移曲线全形（与严格解对比）；弹塑性：屈服荷载 $P_y = \sigma_y Z/L$ 和全塑性矩 $M_p = \sigma_y bh^2/4$；接触：反力分布和边界条件转变。各阶段都有理论值可比，无法对比是危险的。

集成到 CI/CD 管道。求解器版本升级或自定义单元开发时自动跑标准基准组，检验结果在容差内。

位移相对误差 0.1% 以内，应力 1% 以内。网格固定在充分收敛水平。判定过严容易假阳性（浮点舍入、平台差异），有效数字 4~5 位一致足矣。

按顺序排查：

输入文件开头注释明确单位系。例 Nastran：$ UNITS: mm, N, MPa, tonne, s。Abaqus 无单位体系，全靠用户一致，标注更重要。COMSOL 等现代软件在 GUI 明示单位。

实体单元模型的固定端角部应力集中。梁理论假设平面保持，端面局部 3D 效应无法包含。

悬臂梁固定端幾何无奇点，但拘束实现可人为造奇点。典型是端面一节点受力集中成节点奇点。评估位远离角部或 RBE3 分配荷载可消除。

直接法会报"奇异矩阵"，不是不收敛。拘束条件不足导致刚体运动可能，根本错误。悬臂梁典型是：

1. .f06 看 AUTOSPC TABLE 找哪节点哪自由度被追加拘束

Q: 壳单元用偏移吗？